北师大版八下数学1.4第2课时三角形三条内角的平分线课件

1.4角平分线第一章三角形的证明第2课时三角形三条内角的平分线 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校P的位置，P在何处？ABC情境引入 活动1分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？发现：三角形的三条角平分线相交于一点.三角形的内角平分线 活动2分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.你能证明这个结论吗？ 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．结论：三角形三个角的平分线相交于一点.怎样证明这个结论呢?试一试 点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：试试看，你能写出证明过程吗？ABCPFHDEIGAP是∠BAC的平分线BP是∠ABC的平分线PI=PHPG=PIPH=PG点P在∠BCA的平分线上 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明结论证明：过点P分别作边AB，BC，CA的垂线段PD，PE，PF.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.DEFABCPNM 想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？点P在∠A的平分线上.结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.DEFABCPNM 例1如图，在△ABC中，已知AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.(1)如果CD=4cm，求AC的长；EDABC解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，∴DE=CD=4cm.∵AC=BC，∴∠B=∠BAC.∵∠C=90°，∴∠B=45°.∴BE=DE.在等腰Rt△BDE中， (2)求证：AB＝AC＋CD.证明：由(1)的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC＝AE.∵BE＝DE＝CD，∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD.EDABC 例2如图，在直角△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4，(1)求点O到△ABC三边的距离和.MENABCPOD温馨提示：不存在垂线段———构造应用12 解：连接OC.(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.MENABCPOD 例3如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)A．110°B．120°C．130°D．140°A解析：O到△ABC三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，故BO，CO都是内角平分线，则∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°. 1.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是()A.P为∠A，∠B两角平分线的交点B.P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点C.P为AC，AB两边上的高的交点D.P为AC，AB两边的垂直平分线的交点B【解析】∵点P到∠A的两边的距离相等，∴P在∠A的平分线上.∵PA＝PB，∴点P在AB的垂直平分线上.∴P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点. 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠CBE=∠ABE，且AC=6cm，那么AE+DE=.CABED6cm 3.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在()A.△ABC的三条中线的交点B.△ABC三边的垂直平分线的交点C.△ABC三条角平分线的交点D.△ABC三条高所在直线的交点C 4.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.求证：CF=EB.证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°(已知)，∴CD＝DE(角平分线的性质).在Rt△CDF和Rt△EDB中，CD=ED(已证)，DF=DB(已知)，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB(全等三角形的对应边相等).CFAEDB 拓展思维5.如图，直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处?画出它的位置.l1l2l3 P1P2P3P4l1l2l3 三角形内角平分线的性质性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等应用：位置的选择问题