苏教版必修第一册第3章测评

第3章测评(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1设a=x2-2x+2,b=1-x,则实数a与b的大小关系为(　　)A.a>bB.a=bC.a<bD.与x有关答案A解析因为a-b=x2-x+1=x-122+34>0恒成立,所以a>b.故选A.2.不等式2+x-x2<0的解集为(　　)A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-2,1)C.(-1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案A解析不等式可变形为x2-x-2>0,即(x-2)(x+1)>0,解得x<-1或x>2,所以不等式2+x-x2<0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).故选A.3若不等式ax2+bx-1≥0的解集是x-12≤x≤-13,则a=(　　)A.-6B.-5C.65D.6答案A解析∵不等式ax2+bx-1≥0的解集为x-12≤x≤-13,∴-12,-13为方程ax2+bx-1=0的两个根,∴根据根与系数的关系可得-12×-13=-1a,解得a=-6.故选A.4下列不等式正确的是(　　) A.若a<b,则a2<b2B.若a>b,则ac>bcC.若a>b>0,c>d>0,e>f>0,则ace>bdfD.若a>b>c>0,d>e>f>0,则ad>be>cf答案C解析对于A,若a=-3,b=2,则a2>b2,错误;对于B,若c=0,则ac=bc,错误;对于C,若a>b>0,c>d>0,e>f>0,由不等式的基本性质可得ace>bdf,正确;对于D,若a=3,b=2,c=1,d=3,e=2,f=1,则ad=be=cf=1,错误.故选C.5.若正数x,y满足2x+y=1,则x+2y的最小值为(　　)A.2B.4C.6D.8答案D解析x+2y=2x+yx+2y=2+4xy+xy+2≥4+24=8,当且仅当x=4,y=12时,等号成立.故x+2ymin=8.故选D.6如果两个正方形的边长分别为x,y,且x+y=1,那么它们的面积之和的最小值是(　　)A.14B.12C.1D.2答案B解析由基本不等式可得x2+y2≥2xy,所以2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=1,所以x2+y2≥12,当且仅当x=y=12时,等号成立.因此,两个正方形的面积之和x2+y2的最小值为12.故选B.7.已知正数a,b是关于x的函数y=x2-(m2+4)x+m的两个零点,则1a+1b的最小值为(　　)A.2B.22C.4D.42答案C 解析由题意,正数a,b是关于x的方程x2-(m2+4)x+m=0的两根,可得a+b=m2+4,ab=m>0,则1a+1b=a+bab=m+4m≥2m×4m=4,当且仅当m=4m,即m=2时等号成立.经检验知当m=2时,方程x2-(m2+4)x+m=0有两个正实数解.所以1a+1b的最小值为4.故选C.8.已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α<x<β},α>0,则不等式cx2+bx+a>0的解集是(　　)A.x1β<x<1αB.xx<1β或x>1αC.{x|α<x<β}D.{x|x<α或x>β}答案A解析不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α<x<β},且α>0,则α,β是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0.由根与系数的关系得α+β=-ba,αβ=ca,所以,不等式cx2+bx+a>0可化为cax2+bax+1<0,即αβx2-(α+β)x+1<0,可化为(αx-1)(βx-1)<0.又β>α>0,所以1α>1β>0.因此,不等式cx2+bx+a>0的解集是x1β<x<1α.故选A.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.若1a<1b<0,则下列说法正确的是(　　)A.a<bB.a>bC.a2<b2D.ab<b2答案BCD解析因为1a<1b<0,故a<0,b<0,b<a,即b<a<0,故B正确,A错误.对于C,a2-b2=(a-b)(a+b),而a+b<0,a-b>0,故a2-b2<0,即a2<b2,故C正确.对于D,ab-b2=b(a-b)<0,故ab<b2,故D正确.故选BCD.10若非零实数a,b满足a>b,则下列结论正确的是(　　)A.a+b≥2abB.a2+b2>2abC.|a+b|<2(a2+b2)D.(a+b)1a+1b>4答案BC 解析对于A,若a,b均为负数,则不等式显然不成立,故A错误;对于B,显然成立,故B正确;对于C,在a2+b2>2ab两边同时加上a2+b2,得2(a2+b2)>(a+b)2,则|a+b|<2(a2+b2)成立,故C正确;对于D,取a=2,b=-1,则(a+b)1a+1b=(2-1)×12+1-1=-12<4,则(a+b)1a+1b>4不成立,故D错误.故选BC.11已知y=ax2+bx+c,不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|1<x<3},下列说法正确的是(　　)A.a>0B.a+b+c=0C.关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集是x13<x<1D.如果am2+bm+c>0,则a(m+2)2+b(m+2)+c<0答案BCD解析对于A,ax2+bx+c>0的解集是{x|1<x<3},则a<0,故A不正确;对于B,由题意知x=1是方程ax2+bx+c=0的一个实数根,故a+b+c=0,故B正确;对于C,由题意知x=1和x=3是方程ax2+bx+c=0的两个实数根,则由根与系数的关系得ba=-4,ca=3,则不等式cx2+bx+a>0变为cax2+bax+1<0,即3x2-4x+1<0,解不等式得x的取值范围为x13<x<1,故C正确;对于D,如果am2+bm+c>0,则1<m<3,故3<m+2<5,则a(m+2)2+b(m+2)+c<0,故D正确.故选BCD.12已知x>0,y>0,且2x+y=2,若mxym-1≤x+2y对任意的x>0,y>0恒成立,则实数m的可能取值为(　　)A.12B.98C.107D.2答案ACD解析∵x>0,y>0,∴mxym-1≤x+2y⇔mm-1≤x+2yxy=1y+2x,即mm-1≤1y+2xmin,1y+2x=121y+2x(2x+y)=125+2xy+2yx≥125+22xy·2yx=92, 当且仅当2xy=2yx,即x=y=23时,等号成立.即mm-1≤92,即mm-1-92≤0,即9-7m2(m-1)≤0,解得m≥97或m<1,选项中满足条件的有A,C,D.故选ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13不等式x-1x>0的解集为　　　　　　　　. 答案(-∞,0)∪(1,+∞)解析由x-1x>0,解得x<0或x>1,即原不等式的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).14已知a>0,b>0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为　　　　　. 答案4解析∵ab=1,∴b=1a.∴12a+12b+8a+b=12a+a2+8a+1a=121a+a+8a+1a.令1a+a=t>0,则原式=t2+8t≥2t2·8t=24=4.当且仅当t2=16,即t=4时,等号成立,此时1a+a=4.15定义区间[a,b](a<b)的长度为b-a,若关于x的不等式x2-4x+m≤0的解集的区间长度为2,则实数m的值为　　　　. 答案3解析设x1,x2是方程x2-4x+m=0的两个根,则x1+x2=4,x1x2=m,∴|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=16-4m=2,解得m=3.16有一块直角三角形空地ABC,∠A=π2,AB=250米,AC=160米,现欲建一矩形停车场ADEF,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上,则停车场的面积最大为　　　　平方米. 答案10000 解析设AD=x,AF=y,则BD=AB-AD=250-x,CF=AC-AF=160-y,tan∠ABC=DEBD=CFEF=ACAB,即y250-x=160-yx=160250,整理可得16x+25y=4000,由基本不等式可得4000=16x+25y≥216x×25y=40xy,∴xy≤10000,当且仅当x=125,y=80时,等号成立.因此,停车场的面积最大为10000平方米.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)设x,y为正实数,且x+y=1,求证:1+1x1+1y≥9.证明因为x,y为正实数,且x+y=1,所以1+1x1+1y=1+1x+1y+1xy=1+x+yx+x+yy+x+yxy=3+yx+xy+1x+1y=3+yx+xy+x+yx+x+yy=5+2yx+xy≥5+4yx·xy=9,当且仅当x=y=12时,等号成立.所以1+1x1+1y≥9.18.(12分已知x>0,y>0,且x+4y=40.(1)求xy的最大值;(2)求1x+1y的最小值. 解(1)因为x>0,y>0,所以40=x+4y≥24xy=4xy(当且仅当x=4y,即x=20,y=5时,等号成立).所以xy≤100,因此xy的最大值为100.(2)因为x+4y=40,即140(x+4y)=1,所以1x+1y=140(x+4y)1x+1y=1405+4yx+xy≥1405+24yx·xy=940当且仅当x=2y,即x=403,y=203时,等号成立.所以1x+1y的最小值为940.19.(12分)已知函数y=x+1x-1(x≠1).(1)解不等式(x-1)x+1x-1>3;(2)当x>1时,求x+1x-1的最小值.解(1)由(x-1)x+1x-1>3,得x2-x-2>0.又x≠1,所以解得x>2或x<-1,即原不等式的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).(2)当x>1时,x-1>0,y=x+1x-1=x-1+1x-1+1≥2+1=3,当且仅当x-1=1x-1,即x=2或x=0(舍)时,等号成立. 所以x+1x-1的最小值是3.20.(12分)某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,若该公司从第1年到第n年花在该渔船维修等事项上的所有费用为(2n2+10n)万元,该船每年捕捞的总收入为50万元.(1)该船捕捞几年开始盈利?(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)(2)该船捕捞若干年后,处理方案有两种:①当年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出;②当盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出.哪一种方案较为合算?请说明理由.解(1)设捕捞n年的盈利为y万元,则y=50n-(2n2+10n)-98=-2n2+40n-98.由y>0,得n2-20n+49<0,解得10-51<n<10+51(n∈N+).则3≤n≤17.所以捕捞3年开始盈利.(2)方案①合算.理由如下,①yn=-2n-98n+40≤-22n·98n+40=12,当且仅当2n=98n,即n=7时,等号成立.故经过7年捕捞,年平均盈利最大,共盈利12×7+26=110(万元).②因为y=-2n2+40n-98=-2(n-10)2+102,所以当n=10时,y取得最大值102.故经过10年捕捞盈利总额最大,共盈利102+8=110(万元).综上知,两种方案获利相等,但方案②的时间长,所以方案①合算.21.(12分)设函数y=ax2+(b-2)x+3.(1)若不等式ax2+(b-2)x+3>0的解集为(-1,1),求实数a,b的值;(2)若b=-a-1,且存在x∈R,使ax2+(b-2)x+3>4成立,求实数a的取值范围.解(1)由题意可知,方程ax2+(b-2)x+3=0的两根是-1,1,所以-b-2a=0,3a=-1,解得a=-3,b=2.(2)存在x∈R,使ax2+(b-2)x-1>0成立,将b=-a-1代入上式可得ax2-(a+3)x-1>0成立. 当a≥0时,显然存在x∈R使得上式成立;当a<0时,需使方程ax2-(a+3)x-1=0有两个不相等的实根,所以Δ=(a+3)2+4a>0,即a2+10a+9>0,解得a<-9或-1<a<0.综上可知,a的取值范围是(-∞,-9)∪(-1,+∞).22.(12分)设y=x2-(a-1)x+a-2(a∈R).(1)若不等式x2-(a-1)x+a-2≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式x2-(a-1)x+a-2<0.解(1)由题意,不等式x2-(a-1)x+a-2≥-2对于一切实数x恒成立,等价于x2-(a-1)x+a≥0对于一切实数x恒成立.所以Δ=(a-1)2-4a≤0,解得3-22≤a≤3+22.故实数a的取值范围为[3-22,3+22].(2)不等式x2-(a-1)x+a-2<0,即[x-(a-2)](x-1)<0.当a-2>1,即a>3时,不等式的解集为{x|1<x<a-2};当a-2=1,即a=3时,不等式的解集为⌀;当a-2<1,即a<3时,不等式的解集为{x|a-2<x<1}.综上所述,当a<3时,不等式的解集为{x|a-2<x<1};当a=3时,不等式的解集为⌀;当a>3时,不等式的解集为{x|1<x<a-2}.