第39讲 双曲线（解析版）

第39讲双曲线1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点，()的距离之差的绝对值为非零常数()的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．(2)集合，，其中为常数且.①当时，点的轨迹是双曲线；②当时，点的轨迹是两条射线；③当时，点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程图形性质范围或，或a，对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点，，渐近线离心率，实、虚轴线段叫做双曲线的实轴，它的长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长；叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长的关系()微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 题型一：双曲线定义1．（全国高二课时练习）已知为坐标原点，设、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则（）A．B．C．D．【答案】B【详解】不妨在双曲线右支上取点，延长、，交于点，由角平分线性质知：，根据双曲线的定义，，从而，在中，为其中位线，故.故选：B.2．（山西平城·大同一中高二月考）若双曲线：的左､右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（）A．26或6B．26C．6D．28【答案】B【详解】因为双曲线方程为：，所以，则，又，所以点P在双曲线E上的左支上，由双曲线的定义得，解得，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 故选：B3．（江苏海陵·泰州中学高二月考）已知，分别是双曲线的左､右焦点，若是双曲线左支上的点，且.则的面积为（）A．8B．C．16D．【答案】C【详解】因为P是双曲线左支上的点，所以，两边平方得，所以.在中，由余弦定理得，所以，所以.故选：C4．（全国）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线左支交于两点，且，那么的值是（）A．21B．30C．27D．15【答案】C【详解】由题意可知，，，，两式相加得，即.故选：C5．（浙江高三专题练习）如图是椭圆与双曲线的公共焦点分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（）微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 A．B．C．D．【答案】D【详解】设，由点为椭圆上的点，可得且，即，又由四边形为矩形，所以，即，联立方程组，解得，设双曲线的实轴长为，焦距为，则，，即，所以双曲线的离心率为.故选：D.6．（全国）已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（）A．9B．5C．8D．4【答案】A【详解】设右焦点为，则，依题意，有，，（当在线段上时，取等号）．故的最小值为9.故选：A.7．（全国）动点到点及点的距离之差为，则当和时，点的轨迹分别是（）A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 C．双曲线的一支和一条射线D．双曲线的一支和一条直线【答案】C由题意，知，当时，，此时点的轨迹是双曲线的一支；当时，，点的轨迹为以为端点沿轴向右的一条射线．故选：C.8．（全国高二课时练习）已知，为平面内两个定点，为动点，若（为大于零的常数），则动点的轨迹为（）A．双曲线B．射线C．线段D．双曲线的一支或射线【答案】D【详解】两个定点的距离为，当，即时，点的轨迹为双曲线的一支；当，即时，点的轨迹为射线；不存在的情况．综上所述，动点的轨迹为双曲线的一支或射线．故选：D．题型二：双曲线标准方程1．（全国）椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数等于（）A．B．C．1D．或1【答案】D【详解】因为双曲线的焦点在横轴上，所以由题意可得：，故选：D2．（全国）双曲线的左顶点与右焦点间的距离为（）A．2B．4C．5D．8【答案】D【详解】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 由，知，，所以左顶点与右焦点间的距离为．故选：D.3．（全国）方程表示双曲线，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为方程表示双曲线，所以，即，解得：.故选：A.4．（山西临汾·（理））若方程需表示双曲线，则的取值范围是（）A．或B．C．D．【答案】A【详解】若方程需表示双曲线，则，解得或.故选：A.5．（全国）若方程＝1表示双曲线，则的取值范围是（）A．(－2，2)B．(0，＋∞)C．[0，＋∞)D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)【答案】A【详解】由题意，方程＝1表示双曲线，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：A.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 6．（福建龙岩·高二期末）“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若方程表示双曲线，则，得，则能推出，不能推出，“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A．7．（全国高二课时练习）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】设双曲线的方程为：，半焦距为.则，，则，故，所以双曲线的标准方程为．故选：C.8．（全国高二课时练习）已知双曲线的实轴的一个端点为，虚轴的一个端点为，且，则双曲线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 依题意，，所以双曲线的方程为.故选：C9．（全国高三专题练习（理））已知双曲线－＝1（）的实轴长为4，离心率为，则双曲线的标准方程为（）A．－＝1B．x2－＝1C．－＝1D．x2－＝1【答案】A【详解】因为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，所以a＝2，由离心率为，可得＝，c＝2，所以b＝＝＝4，则双曲线的标准方程为－＝1.故选：A10．（江西上高二中高二期末（理））已知椭圆的长轴端点和焦点分别是双曲线的焦点和顶点，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由椭圆可得，，所以，可得，所以椭圆的长轴端点为，焦点为所以双曲线的焦点为，顶点为微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 设双曲线方程为，可得，，所以，所以双曲线的方程为，故选：C.题型三：离心率1．（全国高二课时练习）已知双曲线与直线有交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，由题意得，所以双曲线的离心率．故选：C.2．（广西高三开学考试（理））已知，是双曲线的两个焦点，为双曲线上的一点，且；则的离心率为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【详解】.故选：B3．（富宁县第一中学（文））若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】∵渐近线为，即，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 ∴，∴.∴，∴.故选：D4．（贵溪市实验中学高三月考）已知双曲线：，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．4【答案】C【详解】双曲线方程，，，.故选：C.5．（合肥艺术中学高二期中（理））已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】双曲线的一条渐近线方程为，，离心率.故选：C.6．（广东高州·）焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为（）A．1B．4或1C．3D．4【答案】D【详解】显然，又，解得．故选：D．微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 7．（浙江省普陀中学高三开学考试）双曲线，则其离心率为（）A．B．C．2D．【答案】A【详解】由双曲线的方程为，可得，∴离心率，故选：A.8．（云南省南涧县第一中学（文））双曲线的离心率为（）A．B．3C．D．【答案】D【详解】因为，，所以.故选：D9．（全国高二课时练习）双曲线的离心率不大于的充要条件是（　　）A．B．C．D．【答案】B解：因为双曲线的离心率不大于，所以解得：0＜m≤1．故选：B．10．（浙江湖州·高二期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率的值为（）A．B．2C．D．4【答案】C【详解】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 由题意知：，即，∴.故选：C题型四：焦点三角形1．（赤峰二中高二期末（文））设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于A．B．C．6D．10【答案】C【详解】根据双曲线的定义，联立解得，由于，故为直角三角形，故面积为.2．（全国高二课时练习）已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，且轴，则到直线的距离为(　　)A．B．C．D．【答案】C【详解】.3．（全国高二课时练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且.若的面积为，则（）A．1B．2C．4D．【答案】D【详解】设，.由，的面积为，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 可得，∴①由离心率为，可得，代入①式，可得.故选：D.4．（全国高二课时练习）已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】设双曲线的左焦点为，则．由题可知，，∴，，，∴，的周长为．∵当，，三点共线时，最小，最小值为，∴的周长的最小值为．故选：A5．（湖北高三开学考试）已知双曲线的左右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】设因为，且，所以，由双曲线的定义得：，，因为，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 所以，解得，所以在中，，即，解得，故选：D6．（安徽省岳西县店前中学高二期末（文））设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（）A．2B．C．4D．【答案】C【详解】由题意，双曲线，可得，则，因为点在双曲线上，不妨设点在第一象限，由双曲线的定义可得，又因为，可得，即，又由，可得，解得，所以的面积为.故选：C.7．（安徽安庆·高三月考（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若为边长为4的等边三角形，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】∵，∴，∵，∴，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 因为，所以，，∴.故选：A8．（河南高三开学考试（理））双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支在第一象限的交点为，与轴的交点为，且为的中点，若的周长为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】如图所示：由对称性可知，因为的周长为，所以，又，所以，．因为为的中点，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 所以，则为等边三角形，所以，，．又因为，所以在中，．所以，，即双曲线的渐近线方程为．故选：B9．（浙江温州·高二期末）设为双曲线：上的点，，分别是双曲线的左，右焦点，，则的面积为（）A．B．C．30D．15【答案】D【详解】解：由，得，则，所以，设，，则，所以，由余弦定理得，因为，所以，所以，得，所以，得，所以，所以，所以的面积为，故选：D10．（新安县第一高级中学（文））如图，､是双曲线：的左､右焦点，过的直线与双曲线交于､两点.若是中点且则该双曲线的渐近线方程为（）微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 A．B．C．D．【答案】A【详解】设，,①，②,由①可得代入②式化简得：,∴,∴,所以双曲线的渐近线方程为.故选：A微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538