2023版高考数学一轮总复习第九章计数原理概率随机变量及其分布第六讲离散型随机变量及其分布列课件

第六讲　离散型随机变量及其分布列 课标要求考情分析1.了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列.2.了解两点分布和超几何分布，并能解决简单的实际问题以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，结合频率与概率，考查离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法.在高考中多以解答题的形式进行考查，难度多为中档 1.离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. X01P1－pp3.离散型随机变量的分布列(1)两点分布列这样的分布列叫做两点分布列或0－1分布列.如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率. (2)超几何分布列一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n 如果随机变量X的分布列具有上述的形式，则称随机变量X服从超几何分布.【名师点睛】利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数. 题组一走出误区1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义.() X25P0.30.7(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布.()(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布.()答案：(1)×(2)×　(3)×(4)× 题组二走进教材2.(教材改编题)设随机变量X的分布列如下：答案：C 3.(教材改编题)有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是__________.答案：0,1,2,3 X－101Pabc考点一离散型随机变量分布列的性质1.随机变量X的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________. X01234P0.20.10.10.3m3.设离散型随机变量X的分布列为(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；(3)求随机变量ξ＝X2的分布列. X012342X＋113579Y13579P0.20.10.10.30.3解：(1)由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.首先列表为从而Y＝2X＋1的分布列为 X01234|X－1|10123η0123P0.10.30.30.3(2)列表为∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的分布列为 X01234X2014916ξ014916P0.20.10.10.30.3(3)列表为从而ξ＝X2的分布列为 【题后反思】分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率. 考点二求离散型随机变量的分布列[例1]某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元.若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元.(1)若该商场某周初购进20台空调器，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量n(单位：台，n∈N)的函数解析式f(n)； 周需求量n1819202122频数12331(2)该商场记录了去年夏天(共10周)的空调器周需求量n(单位：台，n∈N)，整理得下表.以记录的每周需求量的频率作为每周需求量的概率，若商场某周初购进20台空调器，X表示当周的利润(单位：元)，求X的分布列. 解：(1)当n≥20且n∈N时，f(n)＝500×20＋200×(n－20)＝200n＋6000，当n≤19且n∈N时，f(n)＝500×n－100×(20－n)＝600n－2000， X88009400100001020010400P0.10.20.30.30.1(2)由(1)得f(18)＝8800，f(19)＝9400，f(20)＝10000，f(21)＝10200，f(22)＝10400，所以当周的利润X的所有可能取值分别为8800，9400，10000,10200,10400，易知P(X＝8800)＝0.1，P(X＝9400)＝0.2，P(X＝10000)＝0.3，P(X＝10200)＝0.3，P(X＝10400)＝0.1.所以X的分布列为 【题后反思】离散型随机变量分布列的求解步骤 【变式训练】为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图9-6-1所示.图9-6-1 (1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列.解：(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数 (2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0,1,2， 考点三超几何分布[例2]现要调查某县城居民对某项政策的知晓率，专家在进行评估时，从该县城的10个乡镇中随机抽取居民进行调查，知晓率为90%及以上记为合格，否则记为不合格.已知该县城的10个乡镇中，有7个乡镇的居民的知晓率可达90%，其余的均在90%以下.(1)现从这10个乡镇中随机抽取3个进行调查，求抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的概率；(2)若记从该县城随机抽取的3个乡镇中不合格的乡镇的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 【题后反思】超几何分布的实际应用问题，主要是指与两类不同元素的抽取问题的概率计算和离散型随机变量的分布列、期望及方差的求解等有关的问题.解题的关键如下：①定型：根据已知建立相应的概率模型，并确定离散型随机变量服从的分布的类型，特别要区分超几何分布与二项分布. ②定参：确定超几何分布中的三个参数N，M，n.即确定试验中包含的元素的个数、特殊元素的个数及要抽取的元素个数.③列表：根据离散型随机变量的取值及其对应的概率列出分布列.④求值：根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数值求值. 【变式训练】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列. X－101Pabc⊙离散型随机变量分布列性质的交汇应用[例3]设随机变量X的分布列如下： 答案：A【反思感悟】利用离散型随机变量分布列性质与等差中项交汇去求解，注意本题易忽视a≥0，c≥0. 【高分训练】1.已知如表为离散型随机变量X的概率分布列，则概率P(X≥D(X))＝() 答案：A X－2－10123P0.10.20.20.30.10.12.若随机变量X的分布列为则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是()A.(－∞，2]C.(1,2]B.[1,2]D.(1,2) 解析：由随机变量X的分布列知，P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2].故选C.答案：C