2023版高考数学一轮总复习第九章计数原理概率随机变量及其分布第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件

第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第一讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课标要求考情分析1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.会用两个计数原理解决一些简单的实际问题两个计数原理在高考中单独命题较少，一般是与排列组合结合进行考查，一般以选择、填空题的形式出现 原理基本形式一般形式区别分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法种数.它们的区别在于分类加法计数原理与分类有关， 原理基本形式一般形式区别分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法各种方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成(续表) 题组一走出误区1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.() (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.()答案：(1)×(2)√　(3)√(4)× 题组二走进教材2.(教材改编题)现有5种不同颜色要对如图9-1-1所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一)种颜色，则不同的着色方法共有(图9-1-1B.180种C.60种D.48种A.120种答案：B 3.(教材改编题)书架的第一层放有4本不同的科技书，第二层放有3本不同的漫画书，第三层放有2本不同的文学书，从书架的第一、二、三层各取1本书，有________种不同的取法.答案：24 题组三真题展现4.(2020年上海)已知A＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，a，b∈A，则|a|＜|b|的情况有______种.答案：18 考点一分类加法计数原理的应用1.满足a，b∈{－1,0,1,2}，则关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A.14B.13C.12D.10 解析：方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的情况应分类讨论.①当a＝0时，方程为一元一次方程2x＋b＝0，不论b取何值，方程一定有解.此时b的取值有4个，故此时有4个有序数对.②当a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.显然有3个有序数对不满足题意，分别为(1,2)，(2,1)，(2,2).a≠0时，(a，b)共有3×4＝12(个)有序数对，故a≠0时满足条件的有序数对有12－3＝9(个)，所以答案应为4＋9＝13.故选B.答案：B 2.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为“凸数”(如120,343,275等)，那么所)有“凸数”的个数为(A.240C.729B.204D.920 解析：若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可答案：A选1或0，“凸数”为120与121，共2个.若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个).若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个).所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).故选A. 3.如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个.解析：当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有四种情况.当有三个1时有2111,3111,4111，1211,1311,1411,1121,1131,1141九种情况，当有三个2,3,4时有2221,3331,4441三种情况，根据分类加法计数原理可知，共有12种情况.答案：12 考点二分步乘法计数原理的应用[例1](1)用0,1,2,3,4,5六个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是________；可以组成有重复数字的三位数的个数为________.(2)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为_______.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有_______种. 解析：(1)根据题意，若组成没有重复数字的三位数，其百位数字可以为1,2,3,4,5，有5种情况，在剩下的5个数字中任选2个，作为十位和个位，有＝20种情况，则有5×20＝100种情况，即可以组成100个没有重复数字的三位数； 用0,1,2,3,4,5六个数字组成三位数，其百位数字可以为1,2,3,4,5，有5种情况，其十位、个位数字可以为6个数字中任意一个，有6种情况，即有5×6×6＝180种情况，即可以组成180个三位数，其中有100个是没有重复数字的三位数，则可以组成有重复数字的三位数的个数是180－100＝80. (2)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性.答案：(1)10080(2)4554 【题后反思】(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步.(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成. 【变式训练】已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数是()A.20B.22C.24D.26解析：根据题意，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，而a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则a的取法有3种，b的取法有4种，r的取法有2种，则方程可以表示3×4×2＝24(个)不同的圆.故选C.答案：C 考点三两个计数原理的综合应用[例2](1)现有5种不同颜色的染料，要对如图9-1-2所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不)能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是(图9-1-2A.120B.140C.240D.260 解析：由题意，先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，然后涂C处，若C处与A处所涂颜色相同，则C处共有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，到C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种).故选D.答案：D (2)用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成__________个无重复数字的四位偶数.(用数字作答)解析：要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”，所以千位数字不能为0，个位数字必须是偶数，且组成的四位数中四个数字不重复，因此应先分类，再分步. ①第1类，当千位数字为奇数，即取1,3,5中的任意一个时，个位数字可取0,2,4,6中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字.根据分步乘法计数原理，有3×4×5×4＝240(种)取法； ②第2类，当千位数字为偶数，即取2,4,6中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字.根据分步乘法计数原理，有3×3×5×4＝180(种)取法.所以根据分类加法计数原理，共可以组成240＋180＝420(个)无重复数字的四位偶数.答案：420 【题后反思】利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)利用两个计数原理求解. 【变式训练】1.将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为()A.72B.120C.192D.240 2×5×4×3×2解析：将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，(1)若末位数字为2，因为含有2个4，所以有2＝120(种)情况；(2)若末位数字为4，因为有两个相同数字4，所以共有5×4×3×2×1＝120(种)情况.综上，共有120＋120＝240(种)情况.故选D.答案：D 2.(2021年广东二模)从正方体的6个面的对角线中，任取2条组成1对，则所成角是60°的有________对.解析：根据题意，如图D74，在正方体ABCDA1B1C1D1中，图D74 又由正方体6个面，每个面有2条对角线，共有12条对角线，则共有12×8＝96(对)面对角线所成角为60°，而其中有一半是重复的.则从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有48对.答案：48与平面A1B1C1D1中一条对角线A1C1成60°的直线有A1D，B1C，A1B，D1C，BC1，AD1，C1D，B1A，共8条直线，则包含A1C1在内的符合题意的对角线有8对. ⊙两个计数原理的创新应用[例3]若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3802＝3936)，则称(m，n)为“简单的有序对”，则m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1942的“简单的有序对”的个数是________. 解析：第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式.根据分步乘法计数原理，值为1942的“简单的有序对”的个数为2×10×5×3＝300.答案：300 【反思感悟】解决两个计数原理的创新应用问题的关键是要抓住题中给的新定义信息分步或分类进行推理. 【高分训练】1.定义集合A与B的运算A*B为A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B)的元素个数为(A.4C.12B.8D.16 解析：根据新定义，从集合A中，任选一个数，再从集合B中任选一个数，组成一个有序实数对，即由3×4＝12个，故集合A*B的元素个数为12个.故选C.答案：C A.214B.215C.248D.2842.埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有组神秘的数字142857，因为142857×2＝285714,142857×3＝428571，142857×4＝571428，…，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现：142＋857＝999,428＋571＝999,285＋714＝999，…，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x，剩下的三个数字构成另一个三位数y，若x＋y＝999，将所有可能的三位数x按从小到大依次排序，则第12个三位数x为() 解析：根据题意，数字142857中，两个数字之和为9的组合有1＋8＝9,2＋7＝9,4＋5＝9，共3组，若x＋y＝999，x从小到大排列为124,125,142,147,152,157,174,175,214,215,241,248…，故第12个三位数x为248.故选C.答案：C