北师大版九下数学2.5第2课时利用二次函数求方程的近似根课件

2.5二次函数与一元二次方程第2课时利用二次函数求方程的近似根第二章二次函数 问题：上节课我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)之间的关系，那么如何利用二次函数图象直接求出一元二次方程的根呢?回顾与思考 例1：求一元二次方程的近似根（精确到0.1）.分析：一元二次方程x²-2x-1=0的根就是抛物线y=x²-2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.利用图象法求一元二次方程的近似根 解：画出函数y=x²-2x-1的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间，另一个在2与3之间. 先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：x…-0.4-0.5…y…-0.040.25…观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4. (1)用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象；(2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；(可将单位长度十等分，借助计算器确定其近似值);(3)确定方程ax2+bx+c=0的近似根.方法归纳利用图象法求一元二次方程的近似根 1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为()A.x1≈－2.1，x2≈0.1B.x1≈－2.5，x2≈0.5C.x1≈－2.9，x2≈0.9D.x1≈－3，x2≈1解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.B针对训练 解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．方法总结 例2求一元二次方程的近似根（精确到0.1）.分析：令y=x²-2x-1-3=x²-2x-4，则x²-2x-1=3的根就是抛物线y=x²-2x-4与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标. 2xyO解：y=x²-2x-4的图象如图所示.解：由图象可知方程的一根在3到4之间，另一根在-1到-2之间.(1)先求3到4之间的根.利用计算器进行探索：x…3.23.3…y…-0.160.29…因此，x=3.2是方程的一个近似根.(2)可类似地求出另一个根为x=-1.2. 例2变式：你还能利用y=x²-2x-1的图象求一元二次方程的近似根吗（精确到0.1）？分析：在y=x²-2x-1的图象中作直线y=3，再用图象法求出直线与抛物线交点的横坐标，则横坐标的近似值即为所求方程的近似根.y=3 一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=m（m是实数）图象交点的横坐标.既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根.方法归纳 问题1函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=0的根是___________;不等式ax2+bx+c>0的解集是_____________;不等式ax2+bx+c<0的解集是___________.3-1Oxyx1=-1，x2=3x<-1或x>3-1<x<3合作探究*利用函数的图象求一元二次不等式的解集 拓广探索：函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=2的根是______________;不等式ax2+bx+c>2的解集是___________;不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.3-1Ox2(4,2)(-2,2)x1=-2，x2=4x<-2或x>4-2<x<4y 问题2如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有____个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0的根是______.1(2,0)x=2 问题3如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有______个交点；不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？0解：(1)当a>0时,ax2+bx+c<0无解；(2)当a＜0时,ax2+bx+c<0的解集是一切实数. 试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:(1)①-x2+x+2=0;②-x2+x+2>0;③-x2+x+2<0.(2)①x2-4x+4=0;②x2-4x+4>0;③x2-4x+4<0.(3)①-x2+x-2=0;②-x2+x-2>0;③-x2+x-2<0.xy020xy-12xy0y=-x2+x+2x1=-1,x2=2-1＜x＜2x1＜-1,x2＞2y=x2-4x+4x=2x≠2的一切实数x无解y=-x2+x-2x无解x无解x为全体实数 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点a＞0a＜0有两个交点x1,x2(x1＜x2)有一个交点x0没有交点y＜0，x1＜x＜x2.y＞0，x2＜x或x＜x1y＞0，x1＜x＜x2.y＜0，x2＜x或x＜x1y＞0,x0之外的所有实数；y＜0，无解y＜0,x0之外的所有实数；y＞0，无解y＞0，所有实数；y＜0，无解y＜0，所有实数；y＞0，无解要点归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（）A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C1.根据下列表格的对应值: 2.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　　）A．4.4B．3.4C．2.4D．1.4D 3.用图象法求一元二次方程的近似根（精确到0.1）.解：画出x2+x-1=0的图象，如图所示，由图象知，方程有两个根，一个在-2和-1之间，另一个在0到1之间.通过计算器估算，可得到抛物线与x轴交点的横坐标大约为-1.6和0.6.即一元二次方程的实数根为x1≈-1.6，x2≈0.6. 4.已知二次函数的图象，利用图象回答问题：（1）方程的解是什么？（2）x取什么值时，y>0？（3）x取什么值时，y<0？xyO248解：（1）x1=2，x2=4；（2）x<2或x>4；（3）2<x<4. 二次函数图象由图象与x轴的交点位置，判断方程根的近似值一元二次方程的根一元二次不等式的解集