陕西省安康市2023届高三数学（文）上学期第一次质量联考试题（一模）（Word版带解析）

绝密★启用前安康市2023届高三年级第一次质量联考试卷数学（文科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设i为虚数单位，复数z满足，则（）A．2B．C．D．2．记集合，，则（）A．B．C．D．3．若，则（）A．B．C．D．4．函数的图象在点处的切线方程为（）A．B．C．D．5．设，则成立的一个必要不充分条件是（）A．B．C．D．6．设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（）A．B．C．D．7．南京市地铁S8号线经扩建后于2022年国庆当天正式运行，从起点站长江大桥北站到终点站金牛湖站总行程大约为51.3 千米，小张是陕西来南京游玩的一名旅客，从起点站开始，他利用手机上的里程表测出前两站的距离大约为2千米，以后每经过一站里程约增加0.1千米，据此他测算出本条地铁线路的站点（含起始站与终点站）数一共有（）A．18B．19C．21D．228．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且外接圆的周长为，则的周长为（）A．20B．C．27D．9．已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（）A．B．C．D．10．定义在上的函数满足对任意的x恒有，，且，则的值为（）A．2026B．1015C．1014D．101311．若函数有三个零点，则k的取值范围为（）A．B．C．D．12．设等比数列满足，，记为中在区间中的项的个数，则数列的前50项和（）A．109B．111C．114D．116二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知命题，使得，则为________．14．设数列的前n项和为，对任意都有（t为常数），则称该数列为“t数列”，若数列为“2数列”，且，则________．15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则________．16．若函数的图象经过点和，且当时，恒成立，则实数a的取值范围是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）已知函数．（1）若，求函数的单调区间； （2）是否存在实数a，使函数的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分12分）已知等差数列的前n项的和为，，．数列的前n项和为，，．（1）求数列和的通项公式；（2）若，数列的前n项和为，求证：．19．（本小题满分12分）已知函数．（1）若在上存在最小值，求实数m的取值范围；（2）当时，证明：对任意的，．20．（本小题满分12分）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）若，求外接圆的面积；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围以及的值．22．（本小题满分12分） 设向量，，，（）．（1）当时，求的极值；（2）当a>0时，求函数零点的个数．安康市2023届高三年级第一次质量联考试卷·数学（文科）参考答案、提示及评分细则1．B由，得，，所以．故选B．2．A集合或，，所以．故选A．3．C由，得，所以．故选C．4．C，则，而，故函数在处的切线方程为，则．故选C．5．D当时，选项A、B不符合题意，对于C选项，因为函数为上的单调递增函数，根据得到，反之亦成立，故为充要条件，故C错误；由可得，又，可得，反之不一定成立．故选D．6．B根据题意得，，即，，四个选项中仅B符合．故选B．7．B由题意设前两站的距离为千米，第二站与第三站之间的距离为千米，…，第n站与第站之间的距离为千米，是等差数列，首项是，公差，则 ，解得，则站点数一共有19个．故选B．8．D易知的外接圆半径．由，，可得，，所以，，结合正弦定理可得，所以的周长为，故选D．9．D由得：号，设，则，∴A，B，D三点共线，如图所示：∵与反向共线，，∴，∴，∴．故选D．10．B根据得，又，所以，所以，，，…，，所以．故选B．11．A令，得，设，，令，解得，，当时，，当或时，，且，，其图象如图所示： 若使得函数有3个零点，则．故选A．12．C设等比数列的公比为q，则，，解得，，故，因为为中在区间中的项的个数，所以当，2时，；当时，；当时，；当时，；故．故选C．13．，14．2021根据题意得到．15．4因为在中，若，则，所以，即，由正弦定理得，化简得，所以．16．因为经过点和，所以，，可得，故．因为，所以，所以，当时，， 可得，所以，要使反恒成立，只要，即，又，从而；当时，；当时，，所以，所以，要使恒成立，只要，解得，又，从而．综上所述，a的取值范围为．17．解：（1），∴，即，1分所以函数的定义域为．2分∵函数在上单调递增，在上单调递减，又∵在上为增函数，∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．……5分（2）设存在实数a，使函数的最小值为0，，∵函数的最小值为0，∴函数的最小值为1，所以，①7分又，②9分联立①②解得：，∴存在实数，使函数的最小值为0．10分18．（1）解：设的公差为d，由题意得：解得2分所以．3分由，得，又，所以是公比为的等比数列，5分所以．6分（2）证明：8分．10分要证，即证，因为在上为增函数，且， 所以得证．12分19．（1）解：因为，所以，1分令得，令得，则的单调递减区间为，单调递增区间为，3分因为在上存在最小值，所以，即，故m的取值范围是．5分（2）证明：当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以，即，当且仅当时等号成立，7分而，当时，y有最大值，即，当且仅当，时等号成立，10分因为，且等号不能同时取得，所以．12分20．解：（1）由题知：，由正弦定理可化为，即，2分由余弦定理知，又，故．3分设外接圆的半径为R，则，所以，5分所以外接圆的面积为．6分（2）因为为锐角三角形且，则即所以．8分 又由正弦定理，得，所以．10分又，，则，故面积的取值范围是．12分21．解：（1）由图示得：，，1分又，所以，所以，所以．2分又因为过点，所以，即，所以，，解得，，4分又，所以，所以．5分（2）根据题意得，当时，，7分令，则，令，则，，，，所以．9分因为有三个不同的实数根，则，，所以，11分 即，所以．12分22．解：（1）根据已知得，则当时，，，，由得或（舍）．2分当时，；当时，，所以，无极大值．4分（2）因为，若，在，上单调递增，在上单调递减，有极大值，极小值，又，所以函数有1个零点．7分若，恒成立，函数单调递增，此时，，所以函数有1个零点……8分若，在，上单调递增，在上单调递减，有极大值，显然极小值，又，所以函数有1个零点．11分综上所述，当时，函数的零点个数为1．12分