苏教版必修第一册课件8.1 二分法与求方程近似解

第8章8.1.1函数的零点8.1.2用二分法求方程的近似解 课标要求1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系;2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点1函数的零点函数y=f(x)的零点也就是方程f(x)=0的解一般地,我们把使函数y=f(x)的值为0的称为函数y=f(x)的零点.名师点睛方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.实数x 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数y=ax(a>0且a≠1)没有零点.()(2)函数y=logax(a>0且a≠1)只有一个零点1.()2.函数的零点是函数与x轴的交点吗?√√提示不是.函数的零点不是一个点,而是一个数,该数是函数图象与x轴交点的横坐标. 知识点2函数零点存在定理若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.f(a)f(b)<0 名师点睛f(a)f(b)<0与函数f(x)存在零点的关系(1)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.(2)由函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0,如图.事实上,只有当函数图象通过零点(不是偶次零点)时,函数值才变号,即相邻两个零点之间的函数值同号.(3)若函数f(x)在区间[a,b]上具有单调性,且f(x)的图象是连续不断的一条曲线,则f(a)f(b)<0⇔函数f(x)在(a,b)上只有一个零点. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)已知函数y=f(x),若f(a)f(b)>0,则y=f(x)在(a,b)内无零点.()(2)设f(x)=,因为f(-1)·f(1)<0,所以f(x)=在(-1,1)内有零点.()××2.若函数y=f(x)在[a,b]上的图象连续不断,并具有单调性,则当f(a)f(b)<0时,y=f(x)有几个零点?当f(a)f(b)>0时呢?提示函数y=f(x)在[a,b]上的图象连续不断,并具有单调性,当f(a)f(b)<0时,y=f(x)有且仅有一个零点;当f(a)f(b)>0时,没有零点. 知识点3二分法求方程近似解的步骤前提是要先判断某解所在的区间 名师点睛二分法的实质:用二分法求方程的近似解,实质上就是通过“取中点”的方法,运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间,进而得到一个近似解. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)用二分法最后一定能求出函数零点.()(2)用二分法求函数零点近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间内.()2.若函数y=f(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解?××提示二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反),因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解,如f(x)=(x-1)2的零点就不能用二分法求解. 重难探究•能力素养全提升 探究点一求函数的零点或零点的个数角度1求函数的零点(2)已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数g(x)=bx2+ax的零点.解(1)当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍);当x>0时,令-2+lnx=0,解得x=e2. (2)由已知得f(3)=0,即3a-b=0,即b=3a,故g(x)=3ax2+ax=ax(3x+1),规律方法函数零点的求法(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.(2)几何法:对于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以将它与函数f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 变式训练1判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出;否则,请说明理由.(1)f(x)=x2+7x+6;(2)f(x)=1-log2(x+3);(3)f(x)=2x-1-3; 解(1)解方程f(x)=x2+7x+6=0,得x=-1或x=-6,所以函数的零点是-1,-6.(2)解方程f(x)=1-log2(x+3)=0,得x=-1,所以函数的零点是-1.(3)解方程f(x)=2x-1-3=0,得x=log26,所以函数的零点是log26. 角度2函数零点个数的判断【例2】判断函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.解(方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg3-2=2+lg3>0,∴函数f(x)在(0,2)上有零点.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示.由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点. 规律方法判断函数零点个数的常用方法(1)解方程f(x)=0.(2)直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴公共点的个数就是函数f(x)零点的个数.(3)f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.(4)若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调. 变式训练2判断函数f(x)=x2-零点的个数.由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数只有一个零点. 探究点二判断函数零点所在的区间【例3】(1)函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的大致区间是()A.(3,4)B.(2,e)C.(1,2)D.(0,1)(2)根据表格内的数据,可以断定方程ex-x-3=0的一个根所在区间是()x-10123ex0.3712.727.3920.09x+323456A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)答案(1)C(2)C 解析(1)因为f(1)=ln2-<0,f(2)=ln3-1>0,且函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以函数的零点所在区间为(1,2).故选C.(2)构造函数f(x)=ex-x-3,由题表可得f(-1)=0.37-2=-1.63<0,f(0)=1-3=-2<0,f(1)=2.72-4=-1.28<0,f(2)=7.39-5=2.39>0,f(3)=20.09-6=14.09>0,f(1)·f(2)<0,所以方程的一个根所在区间为(1,2),故选C. 规律方法判断函数零点所在区间的步骤 变式训练3若函数f(x)=x+(a∈R)在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是()A.-2B.0C.1D.3答案A解析f(x)=x+(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的,逐个选项代入验证,当a=-2时,f(1)=1-2=-1<0,f(2)=2-1=1>0,故f(x)在区间(1,2)上有零点.同理,其他选项不符合.故选A. 探究点三二分法的概念【例4】已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A.4,4B.3,4C.5,4D.4,3答案D解析图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4.左、右函数值异号的零点有3个,所以可以用二分法求解的个数为3.故选D. 规律方法判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点,因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适合. 变式训练4若二次函数f(x)=2x2+3x+m存在零点,且能够利用二分法求得此零点,则实数m的取值范围是. 探究点四用二分法求函数零点的近似值或方程的近似解【例5】求函数f(x)=x2-5的负零点的近似值(精确到0.1).解由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故函数f(x)的零点在区间(-3,-2)内.用二分法逐次计算,列表如下:区间中点的值中点函数值(近似值)(-3,-2)-2.51.25(-2.5,-2)-2.250.0625(-2.25,-2)-2.125-0.4844(-2.25,-2.125)-2.1875-0.2148(-2.25,-2.1875)-2.21875-0.0771(-2.25,-2.21875)-2.234375-0.0076(-2.25,-2.234375)-2.24218750.0274 由于-2.2421875与-2.234375精确到0.1的近似值为-2.2,所以函数的一个近似负零点可取-2.2. 变式训练5求方程lgx=2-x的近似解(精确到0.1).解在同一平面直角坐标系中,作出y=lgx,y=2-x的图象如图所示,可以发现方程lgx=2-x有唯一解,记为x0,并且解在区间(1,2)内.若f(x)=lgx+x-2,则f(x)的零点为x0.用计算器计算,得f(1)<0,f(2)>0⇒x0∈(1,2);f(1.5)<0,f(2)>0⇒x0∈(1.5,2);f(1.75)<0,f(2)>0⇒x0∈(1.75,2);f(1.75)<0,f(1.875)>0⇒x0∈(1.75,1.875);f(1.75)<0,f(1.8125)>0⇒x0∈(1.75,1.8125).∵1.75和1.8125精确到0.1的近似值为1.8,∴方程的近似解可取为1.8. 本节要点归纳1.知识清单:(1)函数零点的定义;(2)函数零点存在定理及其应用;(3)二分法求函数零点的步骤.2.方法归纳:转化化归、数形结合.3.常见误区:(1)忽视函数零点存在定理的适用条件;(2)不能把函数、方程问题相互灵活转化. 学以致用•随堂检测全达标 1.通过下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是()答案C解析在A中,函数无零点;在B和D中,函数有零点,但它们在零点左右的函数值符号相同,因此它们都不能用二分法来求零点;而在C中,函数图象是连续不断的,且图象与x轴有交点,并且在交点两侧的函数值符号相反,所以C中的函数能用二分法求其零点. 2.函数f(x)=2x2-3x+1的零点个数是()A.0B.1C.2D.3答案C解析由f(x)=0得2x2-3x+1=0,解得x=或x=1,所以函数f(x)有2个零点. 3.在用二分法求方程3x+3x-8=0在(1,2)上近似解的过程中,已经得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解所在区间是()A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定答案B 解析∵f(1)<0,f(1.5)>0,∴函数f(x)=3x+3x-8在区间(1,1.5)上存在一个零点.又f(1.5)>0,f(1.25)<0,∴函数f(x)=3x+3x-8在区间(1.25,1.5)上存在一个零点.由此可得方程3x+3x-8=0的解落在区间(1.25,1.5)上,故选B. 4.若函数f(x)=x+b的零点在区间(0,1)内,则b的取值范围为.答案(-1,0)解析∵f(x)=x+b是增函数,又f(x)=x+b的零点在区间(0,1)内, 5.用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上零点的近似值,经验证有f(2)f(4)<0.取区间的中点x1==3,计算得f(2)f(x1)<0,则此时零点x0∈.(填区间)(2,3) 6.已知函数f(x)=x2-x-2a.(1)若a=1,求函数f(x)的零点;(2)若f(x)有零点,求实数a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=x2-x-2.令f(x)=x2-x-2=0,得x=-1或x=2,即函数f(x)的零点为-1和2. 本课结束