苏教版必修第二册第9章测评含答案解析

第9章测评(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若OA=(-1,2),OB=(1,-1),则AB等于(　　)A.(-2,3)　　　　　　B.(0,1)C.(-1,2)D.(2,-3)答案D解析因为OA=(-1,2),OB=(1,-1),所以AB=OB-OA=(1+1,-1-2)=(2,-3).2.设e1,e2为基底向量,已知向量AB=e1-ke2,CB=2e1-e2,CD=3e1-3e2,若A,B,D三点共线,则实数k的值是(　　)A.2B.-3C.-2D.3答案A解析易知DB=CB-CD=-e1+2e2=-(e1-2e2),又A,B,D三点共线,则DB∥AB,所以k=2.3.已知A(2,-3),AB=(3,-2),则点B和线段AB的中点M的坐标分别为(　　)A.B(5,-5),M(0,0)B.B(5,-5),M72,-4C.B(1,1),M(0,0)D.B(1,1),M72,-4 答案B解析设B(x,y),则AB=(x-2,y+3)=(3,-2),所以x-2=3,y+3=-2,解得x=5,y=-5.即B(5,-5),所以AB中点M72,-4.4.向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a等于(　　)A.-1B.0C.1D.2答案C解析因为a=(1,-1),b=(-1,2),所以2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),则(2a+b)·a=1×1+0×(-1)=1.5.已知向量a=32,sinα,b=sinα,16,若a∥b,则锐角α为(　　)A.30°B.60°C.45°D.75°答案A解析∵a∥b,∴sin2α=32×16=14,∴sinα=±12.又α为锐角,∴sinα=12,∴α=30°.6.若非零向量a,b满足|a|=223|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为(　　)A.π2B.π4C.π3D.π6答案B解析由(a-b)⊥(3a+2b),得(a-b)·(3a+2b)=0, 即3a2-a·b-2b2=0.∵|a|=223|b|,设a与b的夹角为θ,∴3|a|2-|a||b|cosθ-2|b|2=0,∴83|b|2-223|b|2cosθ-2|b|2=0,∴cosθ=22.又0≤θ≤π,∴θ=π4.7.在△ABC中,P是AB上一点,且CP=23CA+13CB,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M.若CM=tCP,则实数t的值为(　　)A.12B.23C.45D.34答案D解析因为A,M,Q三点共线,所以可设AM=λAQ(λ∈R).又因为CM=tCP=t23CA+13CB=23tCA+13tCB,所以AM=CM-CA=23t-1CA+13tCB,AQ=CQ-CA=12CB-CA.将它们代入AM=λAQ,得23t-1CA+13tCB=12λCB-λCA.由于CA,CB不共线,所以23t-1=-λ,13t=12λ,解得t=34,λ=12.8.已知点O是△ABC内一点,满足OA+2OB=mOC,S△AOBS△ABC=47,则实数m为(　　) A.2B.-2C.4D.-4答案D解析由OA+2OB=mOC得13OA+23OB=m3OC,设m3OC=OD,则13OA+23OB=OD,∴A,B,D三点共线.如图所示,∵OC与OD反向共线,∴|OD||CD|=mm-3,∴S△AOBS△ABC=|OD||CD|=mm-3=47,解得m=-4.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列式子可以化简为PQ的是(　　)A.AB+(PA+BQ)B.(AB+PC)+(BA-QC)C.QC+CQ-QPD.PA+AB-BQ答案ABC解析A项中,AB+(PA+BQ)=(AB+BQ)-AP=AQ-AP=PQ;B项中,(AB+PC)+(BA-QC)=(AB-AB)+(PC+CQ)=PQ;C项中,QC+CQ-QP=-QP=PQ;D项中,PA+AB-BQ=PB-BQ≠PQ. 10.定义两个非零平面向量的一种新运算a*b=|a||b|sin<a,b>,其中<a,b>表示a,b的夹角,则对于两个非零平面向量a,b,下列结论一定成立的有(　　)A.a在b上的投影向量为asin<a,b>B.(a*b)2+(a·b)2=|a|2|b|2C.λ(a*b)=(λa)*bD.若a*b=0,则a与b平行答案BD解析由投影向量的定义可知,A显然不成立;(a*b)2+(a·b)2=|a|2|b|2sin2<a,b>+|a|2|b|2·cos2<a,b>=|a|2|b|2,故B成立;λ(a*b)=λ|a||b|sin<a,b>,(λa)*b=|λa||b|sin<λa,b>,当λ<0时不成立,故C不成立;由a*b=0,得sin<a,b>=0,即两向量平行,故D成立.11.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　　)A.若AM=12AB+12AC,则点M是边BC的中点B.若AM=2AB-AC,则点M在边BC的延长线上C.若AM=-BM-CM,则点M是△ABC的重心D.若AM=xAB+yAC,且x+y=12,则△MBC的面积是△ABC面积的12答案ACD解析A项,AM=12AB+12AC⇒12AM-12AB=12AC-12AM,即BM=MC,则点M是边BC的中点,所以A正确;B项,AM=2AB-AC⇒AM-AB=AB-AC,即BM=CB,则点M在边CB的延长线上,所以B错误;C项,如图,设BC的中点为D, 则AM=-BM-CM=MB+MC=2MD,所以C正确;D项,AM=xAB+yAC,且x+y=12⇒2AM=2xAB+2yAC,2x+2y=1,设AD=2AM,所以AD=2xAB+2yAC,2x+2y=1,可知B,C,D三点共线,所以△MBC的面积是△ABC面积的12,所以D正确.12.若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的值可能为(　　)A.2-1B.1C.2D.2答案AB解析因为a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,所以a·b-c·(a+b)+c2≤0,所以c·(a+b)≥1,所以|a+b-c|=(a+b-c)2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c=3-2c·(a+b)≤3-2=1,所以选项C,D不正确,故选AB.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若三点A(2,2),B(m,0),C(0,n)(mn≠0)共线,则1m+1n的值为　　　　　. 答案12解析AB=(m-2,-2),AC=(-2,n-2), 依题意,有(m-2)(n-2)-4=0,即mn-2m-2n=0,又mn≠0,所以1m+1n=12.14.如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为　　　　　N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力,则合力的坐标为　　　　　. 答案41　(5,4)解析F1=(2,3),F2=(3,1),所以合力F=F1+F2=(2,3)+(3,1)=(5,4),所以合力的大小为52+42=41(N).15.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=　　　　　. 答案-79,-73解析设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2).又(c+a)∥b,∴2(y+2)+3(x+1)=0.①又c⊥(a+b),a+b=(3,-1),∴3x-y=0.②联立①②解得x=-79,y=-73.16.如图所示,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(PA+PB)·PC的最小值是　　　　　. 答案-12 解析因为点O是AB的中点,所以PA+PB=2PO,设|PC|=x,则|PO|=1-x(0≤x≤1),所以(PA+PB)·PC=2PO·PC=-2x(1-x)=2x-122-12.所以当x=12时,(PA+PB)·PC取到最小值-12.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知两个非零向量a和b不共线,OA=2a-3b,OB=a+2b,OC=ka+12b,k∈R.(1)若2OA-3OB+OC=0,求k的值;(2)若A,B,C三点共线,求k的值.解(1)∵2OA-3OB+OC=0,∴2(2a-3b)-3(a+2b)+ka+12b=(1+k)a=0.∵a≠0,∴k+1=0,∴k=-1.(2)∵A,B,C三点共线,∴BC=λAB,λ∈R,∴OC-OB=λ(OB-OA),∴(k-1)a+10b=-λa+5λb.∵a,b不共线,∴k-1=-λ,10=5λ,解得k=-1.18.(12分)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|b|=25,且a∥b,求b的坐标;(2)若|c|=10,且2a+c与4a-3c垂直,求a与c的夹角θ.解(1)设b=(x,y),因为a∥b,所以y=2x.①又因为|b|=25,所以x2+y2=20.②由①②联立, 解得b=(2,4)或b=(-2,-4).(2)由已知(2a+c)⊥(4a-3c),得(2a+c)·(4a-3c)=8a2-3c2-2a·c=0,由|a|=5,|c|=10,解得a·c=5,所以cosθ=a·c|a||c|=22,θ∈[0,π],所以a与c的夹角θ=π4.19.(12分)如图所示,在△ABC中,AQ=QC,AR=13AB,BQ与CR相交于点I,AI的延长线与边BC交于点P.(1)用AB和AC分别表示BQ和CR;(2)如果AI=AB+λBQ=AC+μCR,求实数λ和μ的值;(3)在(2)的条件下,确定点P在边BC上的位置.解(1)由AQ=12AC,可得BQ=BA+AQ=-AB+12AC.∵AR=13AB,∴CR=CA+AR=-AC+13AB.(2)将BQ=-AB+12AC,CR=-AC+13AB 代入AI=AB+λBQ=AC+μCR,则有AI=AB+λ-AB+12AC=AC+μ-AC+13AB,即AI=(1-λ)AB+12λAC=13μAB+(1-μ)AC.∵AB与AC不共线,∴1-λ=13μ,12λ=1-μ,解得λ=45,μ=35.(3)设BP=mBC,AP=nAI.由(2)知AI=15AB+25AC,∴BP=AP-AB=nAI-AB=n15AB+25AC-AB=2n5AC+n5-1AB=mBC=mAC-mAB,m∈R,n∈R.∵AB与AC不共线,∴-m=n5-1,m=2n5,解得m=23,n=53,∴BP=23BC,即BPPC=2,∴点P是BC的三等分点且靠近点C处.20.(12分)已知在△ABC中,∠C是直角,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上一点,且AE=2EB,求证:AD⊥CE.证明以C为坐标原点,以CA,CB所在的直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设A(a,0),B(0,a),E(x,y).∵D是BC的中点,∴D0,a2.又AE=2EB, 即(x-a,y)=2(-x,a-y),∴x-a=-2x,y=2a-2y,解得x=a3,y=2a3,即Ea3,2a3.∵AD=0,a2-(a,0)=-a,a2,CE=OE=a3,23a,∴AD·CE=-a×a3+23a×a2=-13a2+13a2=0.∴AD⊥CE,即AD⊥CE.21.(12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(2,1),A(1,0),B(cosθ,t).(1)若a∥AB,且|AB|=5|OA|,求向量OB的坐标;(2)若a∥AB,求y=cos2θ-cosθ+t2的最小值.解(1)∵AB=(cosθ-1,t),a∥AB,∴2t-cosθ+1=0.∴cosθ-1=2t.①∵|AB|=5|OA|,∴(cosθ-1)2+t2=5.②由①②,得t2=1,∴t=±1.当t=1时,cosθ=3(舍去),当t=-1时,cosθ=-1,∴B(-1,-1),∴OB=(-1,-1).(2)由(1)可知t=cosθ-12,∴y=cos2θ-cosθ+(cosθ-1)24=54cos2θ-32cosθ+14=54cos2θ-65cosθ+14 =54cosθ-352-15,∴当cosθ=35时,ymin=-15.22.(12分)在△ABC中,已知A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),AD⊥BC于点D.(1)求点D的坐标;(2)求证:AD2=BD·DC.(1)解设点D坐标为(x,y),则AD=(x-2,y-4),BC=(5,5),BD=(x+1,y+2).因为AD⊥BC,所以AD·BC=0,即5(x-2)+5(y-4)=0.所以x+y=6.①又因为B,D,C三点共线,所以BD∥BC,所以5(x+1)-5(y+2)=0,所以x-y=1.②联立①②,解得x=72,y=52,所以点D的坐标为72,52.(2)证明由(1)得,AD=32,-32,BD=92,92,DC=12,12,所以|AD|2=94+94=92,|BD|=(92) 2+(92) 2=922,|DC|=(12) 2+(12) 2=22,从而|BD||DC|=922×22=92.故|AD|2=|BD||DC|,即AD2=BD·DC.