苏教版必修第二册课后习题15.3 第2课时 独立事件

第2课时　独立事件1.某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.9,则他连续射击两次都命中的概率是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.0.64B.0.56C.0.81D.0.99答案C解析Ai表示“第i次击中目标”,i=1,2,则P(A1A2)=P(A1)P(A2)=0.9×0.9=0.81.2.甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为(　　)A.0.12B.0.42C.0.46D.0.88答案D解析设“甲被录取”记为事件A,“乙被录取”记为事件B,则两人至少有一人被录取的概率P=1-P(AB)=1-[1-P(A)][1-P(B)]=1-0.4×0.3=0.88.3.一个电路上装有甲、乙两根保险丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立,则两根保险丝都熔断的概率为(　　)A.1B.0.629C.0D.0.74或0.85答案B解析设“甲保险丝熔断”为事件A,“乙保险丝熔断”为事件B,则P(A)=0.85,P(B)=0.74,由事件A与B相互独立,得“两根保险丝都熔断”为事件AB,∴P(AB)=P(A)P(B)=0.85×0.74=0.629.4.从甲袋中摸出1个红球的概率是13,从乙袋中摸出1个红球的概率是12,从两袋中各摸出1个球,则23可能是(　　)A.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰有1个红球的概率答案C 解析记4个选项中的事件分别为A,B,C,D,则P(A)=1-13×12=56,P(B)=13×12=16,P(C)=1-1-12×1-13=23,P(D)=13×1-12+1-13×12=12.故选C.5.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625,则该队员每次罚球的命中率为　　　　. 答案35解析设此队员每次罚球的命中率为P,则1-P2=1625,所以P=35.6.在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型,在乙盒内的240个螺母中有180个是A型.若从甲、乙两盒内各取一个,则能配成A型螺栓的概率为　　　　. 答案35解析“从甲盒内取一个A型螺杆”记为事件M,“从乙盒内取一个A型螺母”记为事件N,因为事件M,N相互独立,所以能配成A型螺栓(即一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)=P(M)P(N)=160200×180240=35.7.两人打靶,甲中靶的概率为0.8,乙中靶的概率为0.7,若两人同时射击一目标,则它们都中靶的概率是　　　　,它们都不中靶的概率为　　　　. 答案0.56　0.06解析设A表示事件“甲中靶”,B表示事件“乙中靶”,A与B相互独立,利用P(AB)=P(A)P(B)得P(AB)=0.8×0.7=0.56,P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.8)×(1-0.7)=0.06.8.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.求: (1)进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买的概率;(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;(3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.解记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”,则P(A)=0.5;记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”,则P(B)=0.6;记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”;记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”;记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”.(1)易知C=AB,则P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.(2)易知D=(AB)∪(AB),则P(D)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.(3)易知E=AB,则P(E)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2.故P(E)=1-P(E)=0.8.9.三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为12,34,34,将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路.(1)在如图的一段电路中,电路不发生故障的概率是多少?(2)三个元件按要求连成怎样的一段电路时,才能使电路中不发生故障的概率最大?请画出此时的电路图,并说明理由.解记“三个元件T1,T2,T3正常工作”分别为事件A1,A2,A3,则P(A1)=12,P(A2)=34,P(A3)=34.(1)电路不发生故障的事件为(A2∪A3)·A1,∴电路不发生故障的概率为P1=P[(A2∪A3)·A1]=P(A2∪A3)·P(A1)=[1-P(A2)·P(A3)]·P(A1)=1-14×14×12=1532. (2)如图,此时电路不发生故障的概率最大.证明如下:图①中电路不发生故障的事件为(A1∪A2)·A3,∴电路不发生故障的概率为P2=P[(A1∪A2)·A3]=P(A1∪A2)·P(A3)=[1-P(A1)·P(A2)]·P(A3)=1-12×14×34=2132,∴P2>P1.图②不发生故障的事件为(A1∪A3)·A2,同理,不发生故障的概率为P3=P2>P1,命题得证.10.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则产品的正品率为(　　)A.1-a-bB.1-abC.(1-a)(1-b)D.1-(1-a)(1-b)答案C解析设A表示“第一道工序的产品为正品”,B表示“第二道工序的产品为正品”,且P(AB)=P(A)P(B)=(1-a)(1-b).11.同时转动如图所示的两个质地均匀的转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上,则重新转),x,y构成数对(x,y),则所有数对(x,y)中,满足xy=4的概率为(　　)A.116B.18C.316D.14答案C解析满足xy=4的所有可能如下:x=1,y=4;x=2,y=2;x=4,y=1.∴所求事件的概率为 P=P(x=1,y=4)+P(x=2,y=2)+P(x=4,y=1)=14×14+14×14+14×14=316.12.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为19,A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)等于(　　)A.29B.118C.13D.23答案D解析由题意知,P(A)P(B)=19,P(A)P(B)=P(A)P(B).设P(A)=x,P(B)=y,则(1-x)(1-y)=19,(1-x)y=x(1-y),即1-x-y+xy=19,x=y.∴x2-2x+1=19,∴x-1=-13,或x-1=13(舍去),∴x=23,即事件A发生的概率P(A)等于23.13.如图,已知电路中4个开关每个闭合的概率都是12,且是相互独立的,则灯亮的概率为(　　)A.316B.34C.1316D.14答案C解析灯不亮包括四个开关都断开,或下边的2个都断开且上边的2个中有一个断开,这两种情况是互斥的,每一种情况中的事件是相互独立的,∴灯不亮的概率为12×12×12×12+12×12×12×12+12×12×12×12=316. ∵灯亮与不亮是对立事件,∴灯亮的概率是1-316=1316.14.(多选)下列各对事件中,M,N是相互独立事件的有(　　)A.掷1枚质地均匀的骰子一次,事件M表示“出现的点数为奇数”,事件N表示“出现的点数为偶数”B.袋中有5个白球、5个黄球,除颜色外完全相同,依次不放回地摸两次,事件M表示“第1次摸到白球”,事件N表示“第2次摸到白球”C.掷一枚质地均匀的骰子一次,事件M表示“出现点数为奇数”,事件N表示“出现点数为3或4”D.一枚硬币掷两次,事件M表示“第一次为正面”,事件N表示“第二次为反面”答案CD解析在A中,M,N是互斥事件,不相互独立;在B中,M,N不是相互独立事件;在C中,P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=16,P(MN)=P(M)P(N),因此M,N是相互独立事件;在D中,第一次为正面对第二次的结果不影响,因此M,N是相互独立事件.15.(多选)如图所示的电路中,5只箱子表示保险匣,设5个盒子分别被断开为事件A,B,C,D,E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是(　　)A.A,B两个盒子串联后畅通的概率为13B.D,E两个盒子并联后畅通的概率为130C.A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为56D.当开关合上时,整个电路畅通的概率为2936答案ACD 解析由题意知,P(A)=12,P(B)=13,P(C)=14,P(D)=15,P(E)=16,所以A,B两个盒子畅通的概率为12×23=13,因此A正确;D,E两个盒子并联后畅通的概率为1-15×16=1-130=2930,因此B错误;A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为1-23×14=1-16=56,C正确;当开关合上时,整个电路畅通的概率为2930×56=2936,D正确.16.从点A(1,0)出发的质点P,按向量a=(1,0)移动的概率为13,按向量b=(2,0)移动的概率为23,则质点P达到(4,0)的概率等于　　　　. 答案1327解析从点A出发到点(4,0),有两种情况,①按向量a=(1,0)移动3次,其概率为P1=13×13×13=127;②按向量a=(1,0),b=(2,0)各移动1次,其概率为P2=2×13×23=49,则质点P达到(4,0)的概率为P1+P2=127+49=1327.17.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出2个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为　　　　. 答案0.128解析由已知条件知,第2个问题答错,第3,4个问题答对,记“问题回答正确”为事件A,则P(A)=0.8,故P=P[(A+A)AAA]=[1-P(A)]·P(A)·P(A)=0.128.18.事件A,B,C相互独立,如果P(AB)=16,P(BC)=18,P(ABC)=18,则P(B)=　　　　,P(AB)=　　　　. 答案12　13解析∵P(ABC)=P(AB)P(C)=16P(C)=18,∴P(C)=34,即P(C)=14. 又P(BC)=P(B)·P(C)=18,∴P(B)=12,P(B)=12.又P(AB)=16,则P(A)=13,∴P(AB)=P(A)·P(B)=1-13×12=13.19.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑行的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次),设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14,12;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12,14;两人租车时间互不影响且都不会超过四小时.(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率;(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率.解甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为1-14-12=14,1-12-14=14.(1)租车费用相同可分为租车费用都为0元,2元,4元三种情况.都付0元的概率为P1=14×12=18;都付2元的概率为P2=12×14=18;都付4元的概率为P3=14×14=116.所以,甲、乙两人所付租车费用相同的概率为P=P1+P2+P3=516.(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ,则ξ=4表示两人的租车费用之和为4元,其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元,4元;②2元,2元;③4元,0元,所以可得P(ξ=4)=14×14+12×14+14×12=516, 即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516.20.为刺激消费,某市给市民发放面额为100元的旅游消费券,由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表:类型200元300元400元500元老年0.40.30.20.1中年0.30.40.20.1青年0.30.30.20.2某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点.(1)求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率;(2)求这三人的消费总额大于或等于1300元的概率.解(1)设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P1,则P1=(0.7)2×0.4+2×0.3×0.7×0.6=0.448.(2)三人消费总额为1500元的概率是0.1×0.1×0.2=0.002,消费总额为1400元的概率是(0.1)2×0.2+2×(0.2)2×0.1=0.010,消费总额为1300元的概率是(0.1)2×0.3+0.3×0.1×0.2+0.1×0.4×0.2+0.23+2×0.22×0.1=0.033,所以消费总额大于或等于1300元的概率是0.045.21某企业生产两种如图所示的电路子模块R,Q,要求在每个模块中,不同位置接入不同种类型的电子元件,且备选电子元件为A,B,C型.假设不同位置的元件是否正常工作不受其他元件影响.在电路子模块R中,当1号位与2号位元件中至少有一件正常工作时,电路子模块才能正常工作.在电路子模块Q中,当1号位元件正常工作,同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时,电路子模块才能正常工作.(1)若备选电子元件A,B型正常工作的概率分别为0.9,0.8,依次接入位置1,2,求此时电路子模块R能正常工作的概率; (2)若备选电子元件A,B,C型正常工作的概率分别为0.7,0.8,0.9,试问如何接入备选电子元件,电路子模块Q能正常工作的概率最大,并说明理由.解(1)假设事件A,B,C分别表示电子元件A,B,C正常工作,电路子模块R不能正常工作的概率为P(AB),由于事件A,B互相独立,所以P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.9)×(1-0.8)=0.02,因此电路子模块R能正常工作的概率为1-0.02=0.98.(2)由于当1号位元件正常工作,同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时,电路子模块Q才能正常工作,①若1号位元件为电子元件A,则电路子模块Q正常工作的概率为P(A)[1-P(BC)]=0.7×(1-0.2×0.1)=0.686;②若1号位元件为电子元件B,则电路子模块Q正常工作的概率为P(B)[1-P(AC)]=0.8×(1-0.3×0.1)=0.776;③若1号位元件为电子元件C,则电路子模块Q正常工作的概率为P(C)[1-P(AB)]=0.9×(1-0.3×0.2)=0.846.因此,1号位接入正常工作概率最大的元件C时,电路子模块Q正常工作的概率最大.