苏教版必修第一册课后习题3.2.1 基本不等式的证明 3.2.2 基本不等式的应用

第3章不等式3.2　基本不等式ab≤a+b2(a,b≥0)3.2.1　基本不等式的证明3.2.2　基本不等式的应用1.设a,b为正数,且a+b≤4,则下列各式正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.1a+1b<1B.1a+1b≥1C.1a+1b<2D.1a+1b≥2答案B解析因为ab≤a+b22≤422=4,所以1a+1b≥21ab≥214=1,当且仅当a=b=2时,等号成立.2.若x>0,y>0,且2x+8y=1,则xy有(　　)A.最大值64B.最小值164C.最小值12D.最小值64答案D解析由题意xy=2x+8yxy=2y+8x≥22y·8x=8xy,∴xy≥8,当且仅当x=4,y=16时,等号成立,故xy有最小值64.3.下列说法正确的是(　　)A.x+4x的最小值是4 B.x2+4+1x2+4的最小值是2C.若0<x<1,则x(1-x)的最小值为14D.如果ac2>bc2,那么a>b答案D解析对于A,当x<0时,x+4x的值小于0,故A不正确;对于B,x2+4+1x2+4≥2,当且仅当x2+4=1时,等号成立,这样的x不存在,故最小值不为2,故B不正确;对于C,∵0<x<1,∴1-x>0,∴x(1-x)≤x+1-x22=14,当且仅当x=1-x,即x=12时,等号成立,故C不正确;对于D,∵ac2>bc2,∴c2>0,∴a>b,故D正确.故选D.4设a>0,b>0,且不等式1a+1b+ka+b≥0恒成立,则实数k的最小值等于(　　)A.0B.4C.-4D.-2答案C解析由1a+1b+ka+b≥0,得k≥-(a+b)2ab.因为(a+b)2ab=ba+ab+2≥4(当且仅当a=b时,等号成立),所以-(a+b)2ab≤-4.要使k≥-(a+b)2ab恒成立,应有k≥-4,即实数k的最小值等于-4.故选C.5.若a>0,b>0,且1a+1b=ab,则a3+b3的最小值为　　　　. 答案42解析∵a>0,b>0,∴ab=1a+1b≥21ab,即ab≥2,当且仅当a=b=2时,等号成立.∴a3+b3≥2(ab)3≥223=42,当且仅当a=b=2时,等号成立.则a3+b3的最小值为42.6.已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为　　　　. 答案12解析由x(3-3x)=13×3x(3-3x)≤13×3x+3-3x22=34,当且仅当3x=3-3x,即x=12时,等号成立. 7.若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 答案15,+∞解析因为x>0,所以x+1x≥2,当且仅当x=1时,等号成立.所以xx2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=15,当且仅当x=1时,等号成立.即xx2+3x+1的最大值为15,故a≥15.8.(1)已知x<3,求y=4x-3+x的最大值;(2)已知x,y是正实数,且x+y=4,求1x+3y的最小值.解(1)∵x<3,∴x-3<0,∴y=4x-3+x=4x-3+(x-3)+3=-43-x+(3-x)+3≤-243-x·(3-x)+3=-1,当且仅当43-x=3-x,即x=1时,等号成立.∴f(x)的最大值为-1.(2)∵x,y是正实数,∴(x+y)1x+3y=4+yx+3xy≥4+23,当且仅当yx=3xy,即x=2(3-1),y=2(3-3)时,等号成立.又x+y=4,∴1x+3y≥1+32, 当且仅当x=2(3-1),y=2(3-3)时,等号成立.故1x+3y的最小值为1+32.9.若-4<x<1,则y=x2-2x+22x-2(　　)A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值-1D.有最大值-1答案D解析y=x2-2x+22x-2=12(x-1)+1x-1.∵-4<x<1,∴x-1<0.故y=-12-(x-1)+1-(x-1)≤-1,当且仅当x-1=1x-1,即x=0时,等号成立.10.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为(　　)A.16B.25C.9D.36答案B解析(1+x)(1+y)≤(1+x)+(1+y)22=2+(x+y)22=2+822=25,当且仅当1+x=1+y,即x=y=4时,等号成立.故(1+x)(1+y)的最大值为25.故选B.11.已知a>0,b>0,若不等式4a+1b≥ma+b恒成立,则m的最大值为(　　)A.10B.12C.16D.9答案D解析由已知a>0,b>0,若不等式4a+1b≥ma+b恒成立,则m≤4a+1b(a+b)恒成立.问题转化成求y=4a+1b(a+b)的最小值,y=4a+1b(a+b)=5+4ba+ab≥5+24ba·ab=9,当且仅当a=2b>0时,等号成立.所以m≤9.故选D.12设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当xyz取得最大值时,2x+1y-2z的最大值为(　　)A.0B.3C.94D.1 答案D解析∵正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,∴z=x2-3xy+4y2.∴xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-3≤12xy·4yx-3=1,当且仅当x=2y>0时,等号成立,此时z=2y2.∴2x+1y-2z=22y+1y-22y2=-1y-12+1≤1,当且仅当y=1时,等号成立.即2x+1y-2z的最大值是1.故选D.13.某工厂生产某种产品,第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则(　　)A.x=a+b2B.x≤a+b2C.x>a+b2D.x≥a+b2答案B解析由题意得,A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,则(1+a)(1+b)=(1+x)2,因为(1+a)(1+b)≤1+a+1+b22,所以1+x≤2+a+b2=1+a+b2,所以x≤a+b2,当且仅当a=b时,等号成立.故选B.14.(多选)下列不等式一定成立的是(　　)A.x2+14>x(x>0)B.x+1x≥2(x>0)C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.1x2+1>1(x∈R)答案BC解析对于A,当x=12时,x2+14=x,所以A不一定成立;对于B,当x>0时,x+1x≥2,当且仅当x=1时,等号成立,所以B一定成立;对于C,不等式x2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x2+1≥2|x|恒成立,所以C一定成立;对于D,因为x2+1≥1,所以0<1x2+1≤1,所以D不成立.15.(多选)若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法错误的是(　　)A.ab有最小值14B.a+b有最小值2 C.14a+14b有最小值1D.a2+b2有最小值22答案ABD解析∵a>0,b>0,且a+b=1,∴1=a+b≥2ab,∴ab≤14,当且仅当a=b=12时,等号成立.∴ab有最大值14,∴A错误.(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab≤1+214=2,∴a+b≤2,当且仅当a=b=12时,等号成立.所以a+b有最大值2,∴B错误.14a+14b=a+b4ab=14ab≥1,当且仅当a=b=12时,等号成立.∴14a+14b有最小值1,∴C正确.a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×14=12,当且仅当a=b=12时,等号成立.∴a2+b2的最小值是12,不是22,∴D错误.16.(多选若a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是(　　)A.a+b+c≤3B.(a+b+c)2≥3C.1a+1b+1c≥23D.a2+b2+c2≥1答案BD解析由基本不等式可得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,上述三个不等式全部相加得2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)=2,∴a2+b2+c2≥1,当且仅当a=b=c时,等号成立.∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3,∴a+b+c≤-3或a+b+c≥3.若a=b=c=-33,则1a+1b+1c=-33<23.因此,A,C错误,B,D正确.故选BD.17某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=　　　　. 答案20解析该公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买400x次.运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,一年的总运费与总存储费用之和为400x×4+4x万元.400x×4+4x≥160,当且仅当1600x=4x,即x=20时,等号成立.故当x=20时,一年的总运费与总存储费用之和最小.18已知x>0,y>0,且1x+1+8y=2,则2x+y的最小值为　　　　.  答案7解析由1x+1+8y=2,可得2x+y=2(x+1)+y-2=12[2(x+1)+y]1x+1+8y-2=1210+16(x+1)y+yx+1-2≥1210+216(x+1)y·yx+1-2=7,当且仅当16(x+1)y=yx+1,即x=12,y=6时,等号成立.故2x+y的最小值为7.19.已知a,b,c为不全相等的正实数,且abc=1.求证:a+b+c<1a2+1b2+1c2.证明因为a,b,c为不全相等的正实数,且abc=1,所以1a2+1b2>2ab=2c,1b2+1c2>2bc=2a,1a2+1c2>2ac=2b,以上三个不等式相加,得21a2+1b2+1c2>2(a+b+c),即1a2+1b2+1c2>a+b+c,所以a+b+c<1a2+1b2+1c2.20.(1)若x<3,求y=2x+1+1x-3的最大值;(2)已知x>0,求y=2xx2+1的最大值.解(1)因为x<3,所以3-x>0.所以y=2x+1+1x-3=2(x-3)+1x-3+7=-2(3-x)+13-x+7. 由基本不等式可得2(3-x)+13-x≥22,当且仅当2(3-x)=13-x,即x=3-22时,等号成立.所以-2(3-x)+13-x≤-22,所以y=2x+1+1x-3=-2(3-x)+13-x+7≤7-22,当且仅当x=3-22时,等号成立.故y=2x+1+1x-3的最大值是7-22.(2)y=2xx2+1=2x+1x.因为x>0,所以x+1x≥2x·1x=2,当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立.所以0<2x+1x≤1,即0<y≤1.所以y=2xx2+1的最大值为1.21第一机床厂投资A生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元.该厂通过引进先进技术,在A生产线的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.005x)倍.现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线,且每万元创造的利润为1.5(a-0.013x)万元,其中a>0.(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求x的取值范围;(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润,求a的最大值.解(1)由题意,得1.5(1+0.005x)(500-x)≥1.5×500,整理得x2-300x≤0,解得0≤x≤300.又x>0,故0<x≤300.故x的取值范围为(0,300]. (2)由题意知,B生产线的利润为1.5(a-0.013x)x万元,技术改进后,A生产线的利润为1.5(1+0.005x)(500-x)万元,则1.5(a-0.013x)x≤1.5(1+0.005x)(500-x)恒成立.又x>0,∴a≤x125+500x+1.5恒成立.又x125+500x≥4,当且仅当x=250时,等号成立,∴0<a≤5.5,即a的最大值为5.5.