人教A版选修2-2课件2.2.1 第2课时 分析法

第2课时分析法 1.理解分析法的意义,掌握分析法的特点.2.会用分析法解决问题.3.会综合运用分析法、综合法解决数学问题. 1.怎样理解分析法?剖析:(1)分析法是由结论到条件的逆推证法,它的思维特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理实际上是寻求它的充分条件.分析法是“执果索因”,一步步寻求上一步成立的充分条件.(2)当不知从何入手时,有时可以运用分析法去获得思路,特别是对于条件简单而结论复杂的题目,往往更是行之有效的方法,另外对于恒等式的证明,也同样可以运用分析法证明.(3)用分析法证“若P,则Q”这个命题的模式是:为了证明命题Q为真,只需证明命题P1为真,从而有……只需证明命题P2为真,从而有…………只需证明命题P为真.而已知P为真,故Q必为真. 知识拓展综合法和分析法是直接证明的两种基本方法,两种方法各有优缺点.分析法解题方向较为明确,容易寻找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁;综合法从条件推出结论,能较简捷地解决问题,但不便于思考.实际证明时常常两法兼用,先用分析法探索证明途径,再用综合法有条理地表述解题过程. 2.综合法与分析法有什么联系?剖析:在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P.若由P可以推出Q成立,就可以证明结论成立.用分析法与综合法来叙述证明,语气之间也应当有所区别.在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个论断都应当是前面一个论断的必然结果,因此所用语气必须是肯定的;而在分析法中,就应当用假定的语气,习惯上常用这样一类语句:假如要A成立,就需先有B成立;如果要B成立,又只需C成立……这样从结论一直推到它们都与所要证明的命题等效,而并不是确信它们是真实的.直至达到最后已知条件或明显成立的事实后,我们才能确信它是真的,从而可以推知前面所有与之等效的命题也都是真的,于是命题就被证明了. 题型一题型二题型三用分析法证明不等式分析:从条件不易发现证明的出发点,因此我们直接从待证不等式出发,分析其成立的充分条件. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三反思用分析法证明不等式时的注意事项:(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论;(2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证或明显成立)的不等式;(3)用分析法证明数学命题时,一定要恰当地使用“要证明”“只需证明”“即证明”等词语. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三分析法与综合法的综合应用证明:欲证原等式成立,即证a(1-b2)(1-c2)+b(1-a2)(1-c2)+c(1-a2)·(1-b2)=4abc.将左边全部展开,有左边=ab2c2-ab2-ac2+a2bc2-ba2-bc2+a2b2c-ca2-cb2+a+b+c.将ab2c2,a2bc2,a2b2c中的共同项abc提出,有上式=abc(ab+bc+ac)-ab2-ac2-ba2-bc2-ca2-cb2+a+b+c,利用abc=a+b+c,得上式=(a+b+c)(ab+bc+ac)-ab2-ac2-ba2-bc2-ca2-cb2+a+b+c,将这个式子展开,与后面的项相消,得上式=4abc.所以a(1-b2)(1-c2)+b(1-a2)(1-c2)+c(1-a2)·(1-b2)=4abc成立,故原等式成立. 题型一题型二题型三反思由于待证等式与已知条件的联系不明朗,且在结构上存在较大差异,因此可将分析法和综合法结合起来使用. 题型一题型二题型三【变式训练2】设a,b,c为任意三角形三边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证:3S≤I2<4S.证明:I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+b2+c2+2S,要证3S≤I2<4S,只需证3S≤a2+b2+c2+2S<4S,即S≤a2+b2+c2<2S.欲证S≤a2+b2+c2,只需证a2+b2+c2-ab-bc-ca≥0,即只需证(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ca)≥0.要证上式成立,可证三括号中式子都不为负. 题型一题型二题型三因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,b2+c2-2bc=(b-c)2≥0,c2+a2-2ca=(c-a)2≥0,所以S≤a2+b2+c2.欲证a2+b2+c2<2S,只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca<0,即要证(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)<0.欲证上式,只需证以上三个括号中式子都小于零,即要证a2<ab+ac,b2<bc+ba,c2<ca+cb为真.也就是要证a<b+c,b<c+a,c<a+b为真.它们显然都成立,因为三角形一边小于其他两边的和,所以a2+b2+c2<2S.故原不等式为真. 题型一题型二题型三易错辨析 题型一题型二题型三