人教A版选修2-2课件3.1.1 数系的扩充和复数的概念

3.1.1数系的扩充和复数的概念 1.了解数系的扩充过程.2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法. 1.数系扩充的一般原则是什么?剖析:数系扩充的脉络是:自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系,用集合符号表示为N→Z→Q→R→C.一般来说,数的概念在扩大时,要遵循如下几项原则:(1)增添新元素,新旧元素在一起构成新数集;(2)在新数集里,定义一些基本关系和运算,使原有的一些主要性质(如运算定律)依然适用;(3)旧元素作为新数集里的元素,原有的运算关系保持不变;(4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾. 2.如何理解虚数单位i?剖析:在实数集中,有些方程是无法求解的.例如x2+1=0,为解决解方程的需要,人们引进一个新数i,叫做虚数单位,且规定:(1)它的平方等于-1,即i2=-1.(2)i与实数之间可以运算,亦适合加、减、乘的运算律.由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾,所以实数集中的很多结论在复数集中不再成立.注意:复数没有大小之分,但有相等与不相等之分.3.如何理解复数的分类?剖析:(1)复数写成代数形式z=a+bi(a,b∈R)后,才可以根据实部、虚部分类.(2)各类特殊的复数可由实部、虚部所满足的条件确定,应用时由此列出方程或不等式(组)即可.(3)准确把握复数集中各子集间的关系,有利于对复数概念的理解. 题型一题型二题型三题型四复数的概念和性质【例1】判断下列说法是否正确:(1)当z∈C时,z2≥0;(2)若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;(3)若a>b,则a+i>b+i.分析:解答本题要严格按照复数的有关概念和性质进行判断.解:(1)错误.当且仅当z∈R时,z2≥0成立.若z=i,则z2=-1<0.(2)错误.当a=-1时,(a+1)i=(-1+1)i=0·i=0∈R.(3)错误.两个虚数不能比较大小.反思数集从实数集扩充到复数集后,某些结论不再成立.如两数大小的比较,某数的平方是非负数等.但i与实数的运算及运算律仍成立. 题型一题型二题型三题型四【变式训练1】有下列四个命题:(1)方程2x-5=0在自然数集N中无解;(2)方程2x2+9x-5=0在整数集Z中有一解,在有理数集Q中有两解;(3)x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解;(4)x4=1在实数R中有两解,在复数集C中也有两解.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4 题型一题型二题型三题型四(3)因为i2=-1,所以x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解,故(3)正确.(4)x4=1在复数集C中的解的个数为4,故(4)不正确.答案:C 题型一题型二题型三题型四复数相等的充要条件【例2】已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.分析:M∪P=P→M⊆P→(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或4i→列方程组可求得m的值 题型一题型二题型三题型四反思1.一般地,两个复数只能相等或不相等,不能比较大小.2.复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据,是复数问题实数化的桥梁. 题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知x2+y2-4+(x-y-2)i=0,求实数x,y的值. 题型一题型二题型三题型四复数的分类分析:根据复数的分类标准→列出方程(不等式)组→解出m→结论 题型一题型二题型三题型四反思在利用复数的代数形式对复数分类时,关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组)),求解参数时,注意考虑问题要全面. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四反思在解决此类问题时,首先要明确条件中的字母所代表的意义.不明确时,一定要注意设出相关的复数形式,满足复数相等的前提条件后,再根据复数相等的充要条件建立方程(组)求解.