人教A版选修2-2课件3.1.2 复数的几何意义

3.1.2复数的几何意义 1.了解复数的几何意义.2.理解复数的模的概念,会求复数的模. 1.如何理解复数与点、向量间的对应关系?剖析:每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定.当把实部和虚部作为一个有序数对时,就和点的坐标一样,从而可以用点表示复数.复平面内的每一个点都可以与从原点出发的一个向量一一对应,从而复数也可以与复平面内的向量一一对应. 另外,还应注意以下几点:(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi).(2)当a=0时,对任何b≠0,a+bi=0+bi=bi是纯虚数,所以虚轴上的点(0,b)(b≠0)都表示纯虚数.(4)复数z=a+bi(a,b∈R)中的z,书写时应小写,复平面内的点Z(a,b)中的Z,书写时应大写. 2.如何理解复数的模?剖析:从数的角度理解,可类比绝对值是表示这个数的点到原点的距离.从形的角度理解,是该复数对应向量的模,也是向量起点与终点间的距离. 题型一题型二题型三复数的几何意义【例1】在复平面内,O是原点,复数i,1,4+2i对应的点分别是A,B,C.求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数.分析:方法一:复数→点的坐标→中点坐标公式→点D的坐标→点D对应的复数方法二:复数→向量→向量运算→→点D对应的复数 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三反思复数的几何意义包含两种情况:(1)复数与复平面内点的对应:复数的实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标,利用这一点,可把复数问题转化为平面内点的坐标问题.(2)复数与复平面内向量的对应:复数的实部、虚部是对应向量的坐标,利用这一点,可把复数问题转化为向量问题. 题型一题型二题型三【变式训练1】当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内的对应点:(1)位于第四象限;(2)位于x轴负半轴上;(3)在上半平面(含实轴). 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三复数的模的求法分析:先确定复数的实部、虚部,再代入公式求解.反思复数一般不能比较大小,但复数的模可以比较大小. 题型一题型二题型三【变式训练2】若复数z=1+2i(i是虚数单位),则|z|=. 题型一题型二题型三复数的模的应用【例3】已知复数z=3+ai(a∈R),且|z|<4,求实数a的取值范围.分析:利用模的定义转化为实数不等式求解或利用数形结合思想求解. 题型一题型二题型三反思1.利用模的定义,得到关于a的不等式,与利用复数相等的充要条件一样,都贯彻了复数问题实数化的思想,这是本章的一种重要思想方法.2.从几何意义上理解,复数的模表示复数对应的点到原点的距离,所以|z|=r表示以原点为圆心,r为半径的圆. 题型一题型二题型三【变式训练3】设z=a+bi(a,b∈R),求在复平面内满足下列条件的点所组成的图形.(1)|a|<2,且|b|<2;(2)|z|≤2,且|b|>1;(3)|z|=2,且a>b;(4)1≤|z|≤2. 题型一题型二题型三解:(1)在复平面内,满足不等式|a|<2的点组成的图形是位于两条平行直线x=±2之间的长条带状(不包括两条平行直线).满足不等式|b|<2的点组成的图形是位于两条平行直线y=±2之间的长条带状(不包括两条平行直线),两者的公共部分即为所求.故满足条件的点所组成的图形是以原点为中心,边长等于4,各边分别平行于坐标轴的正方形内部的点,但不包括边界,如图①所示.(2)不等式|z|≤2的解集对应的点是以原点为圆心,以2为半径的圆的内部及其边界上的点组成的图形.满足条件|b|>1的点是直线y=1以上及直线y=-1以下的点,两者的公共部分即为所求.故满足条件的点所组成的图形是以原点为圆心、以2为半径的圆被直线y=±1所截得的两个弓形,但不包括弦上的点,如图②所示.(3)方程|z|=2对应点的集合是以原点为圆心,以2为半径的圆周.满足条件a>b的点组成的图形是位于直线y=x下方的半平面,其中不包括直线y=x上的点.两者的公共部分即为所求,如图③所示. 题型一题型二题型三不等式|z|≤2的解集是圆|z|=2及该圆内部所有点构成的集合;不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1和该圆外部所有点构成的集合.这两个集合的交集,就是满足条件1≤|z|≤2的点构成的集合.所求点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,并且包括圆环的边界,如图④阴影部分所示. 题型一题型二题型三