人教A版选修2-3课件1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第一章　计数原理 1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.做一做1已知某校高二(1)班有54人,高二(2)班有56人,现从这两个班中任选一人去参加演讲比赛,则共有种不同的选法.解析：若这个人来自(1)班,则有54种不同的选法;若来自(2)班,则有56种不同的选法,所以共有110种不同的选法.答案：110 2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.做一做2已知某班有男生27人,女生29人,现从男生、女生中各选1人去参加演讲比赛,共有种不同的选法.解析：先从男生中选1人,有27种不同的选法,再从女生中选1人,有29种不同的选法,两人都选出,则完成了这件事,所以共有27×29=783种不同的选法.答案：783 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)分别从大写的英文字母、0~9的阿拉伯数字中各选一个给教室里的座位编号(字母在前,数字在后),求不同编号的种数.这是个分类加法计数问题.()(2)分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情.()(3)分类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法这类问题.()××√ 探究一探究二探究三思维辨析探究一分类加法计数原理【例1】导学号78430000某校高三共有三个班,各班人数如下表:(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,有多少种不同的选法?分析：(1)从每个班任选1名学生担任学生会主席都能独立地完成这件事,因此应采用分类加法计数原理;(2)完成这件事有三类方案,因此也应采用分类加法计数原理. 探究一探究二探究三思维辨析解：(1)从每个班任选1名学生担任学生会主席,共有三类不同的方案.第1类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法;第2类,从高三(2)班中选出1名学生,有60种不同的选法;第3类,从高三(3)班中选出1名学生,有55种不同的选法.根据分类加法计数原理知,从三个班中任选1名学生担任学生会主席,共有50+60+55=165种不同的选法. 探究一探究二探究三思维辨析(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,共有三类不同的方案.第1类,从高三(1)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第2类,从高三(2)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第3类,从高三(3)班女生中选出1名学生,有20种不同的选法.根据分类加法计数原理知,从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,共有30+30+20=80种不同的选法. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练1书架上层放有15本不同的数学书,中层放有16本不同的语文书,下层放有14本不同的化学书,某人从中取出一本书,有多少种不同的取法?解：要完成“取一本书”这件事,有三类不同的方法.第1类,从上层取一本数学书,有15种不同的取法;第2类,从中层取一本语文书,有16种不同的取法;第3类,从下层取一本化学书,有14种不同的取法.故从中取出一本书的方法种数为15+16+14=45. 探究一探究二探究三思维辨析探究二分步乘法计数原理【例2】已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的点.(1)点P可以表示平面上多少个不同的点?(2)点P可以表示平面上第二象限内多少个不同的点?分析：完成“确定点P”这件事,需要依次确定点P的横坐标和纵坐标,应运用分步乘法计数原理求解. 探究一探究二探究三思维辨析解：(1)确定平面上的点P(a,b),可分两步完成.第1步,确定a的值,有6种不同的结果;第2步,确定b的值,也有6种不同的结果.由分步乘法计数原理,得点P可以表示平面上不同点的个数为6×6=36.(2)确定平面上第二象限内的点P(a,b),可分两步完成.第1步,确定a的值,由于a<0,则有3种不同的结果;第2步,确定b的值,由于b>0,则有2种不同的结果.由分步乘法计数原理,得点P可以表示平面上第二象限内不同的点的个数为3×2=6. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练2要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和夜班,有多少种不同的选法?解：从3名工人中选出2名分别上日班和夜班,可分两个步骤完成.第1步,从3人中选1人上日班,有3种不同的选法;第2步,从剩下的2人中选1人上夜班,有2种不同的选法.根据分步乘法计数原理,可知不同的选法种数为N=3×2=6. 探究一探究二探究三思维辨析探究三分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用【例3】导学号78430001王华同学有课外参考书若干本,其中有5本不同的英语书,4本不同的数学书,3本不同的物理书,他欲带参考书到图书馆阅读.(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆,有多少种不同的带法?(2)若带英语、数学、物理参考书各1本,有多少种不同的带法?(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆,有多少种不同的带法?分析：解决两个计数原理的应用问题,首先应明确所需要完成的事情是什么,再分析每一种做法完成后,是否完成整件事,从而区分加法计数原理和乘法计数原理. 探究一探究二探究三思维辨析解：(1)完成的事情是带1本书,无论是带英语书,还是数学书、物理书,事情都可以完成,从而根据分类加法计数原理,共有5+4+3=12种不同的带法.(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书,只有从英语、数学、物理书中各选1本后,才能完成这件事,因此根据分步乘法计数原理,共有5×4×3=60种不同的带法.(3)选1本英语书和选1本数学书,应用分步乘法计数原理,有5×4=20种不同的选法;同样,选英语书、物理书各1本,有5×3=15种不同的选法;选数学书、物理书各1本,有4×3=12种不同的选法.根据分类加法计数原理,共有20+15+12=47种不同的带法. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练3导学号78430002现有高一年级的学生34人,其中来自(1)班、(2)班、(3)班、(4)班的人数依次为7,8,9,10,他们自愿组成数学课外小组.(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?(2)每班选一名组长,有多少种不同的选法?(3)推选两人做中心发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?解：(1)分四类.第1类,从(1)班学生中选1人,有7种不同的选法;第2类,从(2)班学生中选1人,有8种不同的选法;第3类,从(3)班学生中选1人,有9种不同的选法;第4类,从(4)班学生中选1人,有10种不同的选法.所以,共有N=7+8+9+10=34种不同的选法. 探究一探究二探究三思维辨析(2)分四个步骤.第1步、第2步、第3步、第4步分别是从(1)班、(2)班、(3)班、(4)班学生中选一人任组长.所以,共有N=7×8×9×10=5040种不同的选法.(3)分六类,每类又分两个步骤.从(1)班、(2)班学生中各选1人,有7×8种不同的选法;从(1)班、(3)班学生中各选1人,有7×9种不同的选法;从(1)班、(4)班学生中各选1人,有7×10种不同的选法;从(2)班、(3)班学生中各选1人,有8×9种不同的选法;从(2)班、(4)班学生中各选1人,有8×10种不同的选法;从(3)班、(4)班学生中各选1人,有9×10种不同的选法.所以,共有N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431种不同的选法. 探究一探究二探究三思维辨析因分辨不清两个计数原理而致错典例(1)把3封信投到4个信箱,所有可能的投法共有()A.24种B.4种C.43种D.34种(2)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火车有4趟,轮船有3班,则此人的走法共有种.错解(1)每个信箱有三种选择,由分步乘法计数原理可得共有34种方法,故选D.(2)因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有4种,坐轮船的走法有3种,根据分步乘法计数原理,可得此人的走法共有4×3=12(种).故填12. 探究一探究二探究三思维辨析正解：(1)第1封信投到信箱中有4种投法;第2封信投到信箱中也有4种投法;第3封信投到信箱中也有4种投法,只要把这3封信投完,就做完了这件事情.由分步乘法计数原理可得共有43种方法,故选C.(2)因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有4种,坐轮船的走法有3种,每一种方法都能从甲地到乙地.根据分类加法计数原理,可得此人的走法共有4+3=7(种).答案：(1)C(2)7 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练高二(1)班有学生56人,其中男生38人,从中选取1名男生和1名女生作代表,参加学校组织的社会调查团,则选取代表的方法有()A.38种B.18种C.684种D.864种解析：男生为38人,女生为18人,根据本题题意知要完成这件事情需分两个步骤.第1步,从男生38人中任选1人,有38种不同的选法;第2步,从女生18人中任选1人,有18种不同的选法.只有上述两步都完成后,才能完成从男生和女生中各选1名这件事.根据分步乘法计数原理,共有38×18=684种选取代表的方法.答案：C 1.某学生去书店,发现2本好书,决定至少买其中一本,则购买方式共有()A.1种B.2种C.3种D.4种解析：分两类:买1本书、买2本书,各类购买方式依次有2种、1种,故购买方式共有2+1=3(种).答案：C 2.现有4件不同款式的上衣和7条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,那么不同的配法种数为()A.11B.28C.16384D.2401解析：要完成配套,分两步.第1步,选上衣,从4件上衣中任选一件,有4种不同的选法;第2步,选长裤,从7条长裤中任选一条,有7种不同的选法.故共有4×7=28种不同的配法.答案：B 3.王刚同学衣服上左、右两边各有一个口袋,左边口袋装有30张英语单词卡片,右边口袋装有20张英语单词卡片,这些英语单词卡片都互不相同.若从口袋中任取一张英语单词卡片,则不同的取法有()A.50种B.30种C.20种D.600种解析：从口袋中任取一张英语单词卡片的方法有两类.第1类,从左边口袋取一张英语单词卡片有30种不同的取法;第2类,从右边口袋取一张英语单词卡片有20种不同的取法.上述的其中任何一种取法都能独立完成“取一张英语单词卡片”这件事,根据分类加法计数原理,从中任取一张英语单词卡片有30+20=50种不同的取法.答案：A 4.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有个.解析：第1步,确定数b,有6种不同取值;第2步,确定数a,也有6种不同取值,根据分步乘法计数原理,知共有虚数6×6=36(个).答案：36 5.3名同学分别从5个旅游景点中选择一处游览,不同的选法种数是.解析：共3名同学,每名同学从5个景点中选一处游览,则每人有5种不同选择.所以不同的选法共有5×5×5=53=125(种).答案：125