人教A版选修2-3课件1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 1.杨辉三角(a+b)n展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形式:上面的二项式系数表称为“杨辉三角”.特点:(1)在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即 做一做1利用杨辉三角,将(a+b)7展开为.答案：a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7.2.二项式系数的性质(1)对称性.在(a+b)n的展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即(2)增减性与最大值.当k<时,二项式系数是逐渐增大的,由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值.当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值.(3)各二项式系数的和. 做一做2在(a+b)8的展开式中,二项式系数最大的项为,在(a+b)9的展开式中,二项式系数最大的项为.解析：(a+b)8的展开式中有9项,所以中间一项的二项式系数最大,(a+b)9的展开式中有10项,所以中间两项的二项式系数最大,答案：70a4b4126a5b4与126a4b5 做一做3A=的关系是()A.A>BB.A=BC.A<BD.不确定答案：B 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)在(1+x)2n+1的展开式中,二项式系数最大的项所在的项数是n+1,n+2.()(2)(1+3x)8展开式的所有系数和为48.()(3)对于二项式(1-x)1999,展开式中非常数项的系数和为1.()(4)对于二项式(1-x)1999,展开式中.()√√×√ 探究一探究二探究三规范解答探究一与杨辉三角有关的问题【例1】导学号78430028如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所指的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的前n项和为Sn,求S19.分析：由数列的项在杨辉三角中的位置,将项还原为二项式系数,然后结合组合数的性质求和. 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答变式训练1在“杨辉三角”中,从第2行开始,每一个数都是它“肩上”两个数的和,它开头几行如图所示.则在“杨辉三角”中,第行会出现三个相邻的数,其比为3∶4∶5. 探究一探究二探究三规范解答解析：若第n行中含有三个连续项之比为3∶4∶5,则存在正整数k使得答案：62 探究一探究二探究三规范解答探究二求二项展开式中系数或二项式系数最大的项【例2】(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项. 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答变式训练2导学号78430029求的展开式中系数绝对值最大的项. 探究一探究二探究三规范解答即3.261…≤r≤4.263….∵r∈N,∴r=4.所求的项为T5=105000x6y4. 探究一探究二探究三规范解答探究三有关二项式系数和展开式的系数和的问题【例3】导学号78430030设(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值.(1)a0;(2)a1+a2+…+a100;(3)a1+a3+a5+…+a99;(4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2.分析：用赋值法求各系数的和. 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答变式训练3已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)|a0|+|a1|+…+|a7|.解：(1)当x=1时,(1-2x)7=(1-2)7=-1,展开式右边为a0+a1+a2+…+a7,∴a0+a1+a2+…+a7=-1.①当x=0时,a0=1,∴a1+a2+…+a7=-1-1=-2.(2)令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37,②①-②得2(a1+a3+a5+a7)=-1-37, 探究一探究二探究三规范解答(3)由展开式知a1,a3,a5,a7均为负,a0,a2,a4,a6均为正,由①+②得2(a0+a2+a4+a6)=-1+37,∴|a0|+|a1|+…+|a7|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=37. 探究一探究二探究三规范解答与二项展开式的系数、二项式系数有关的计算(1)二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项.【审题策略】本题主要考查二项式的通项公式,二项式系数、项的系数以及项数和项的有关概念. 探究一探究二探究三规范解答【规范展示】解：由题意知,22n-2n=992,即(2n-32)(2n+31)=0,∴2n=32,解得n=5. 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答【答题模板】第1步,利用二项式系数和的定义求出n.第2步,利用二项式系数的性质,求解的展开式中最大项.第3步,利用通项公式求解系数的绝对值最大的项满足的条件.第4步,根据所求的范围得出最大项,并写出该项. 探究一探究二探究三规范解答变式训练已知展开式中的第10项是常数项,则展开式中系数最大的项是()A.第19项B.第17项C.第17项或第19项D.第18项或第19项答案：A 1.(1-x)13的展开式中系数最小的项为()A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项解析：展开式中共有14项,中间两项(第7,8项)的二项式系数最大.由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足:奇数项相等,偶数项互为相反数.故系数最小的项为第8项,系数最大的项为第7项.答案：C 2.的展开式中系数最大的项是()A.第6项B.第3项C.第3项和第6项D.第5项和第7项答案：D 3.已知的值等于()A.64B.32C.63D.31解析：由已知(1+2)n=3n=729,解得n=6.答案：B 4.若(x+3y)n展开式的系数和等于(7a+b)10展开式的二项式系数之和,则n的值为()A.5B.8C.10D.15解析：(7a+b)10展开式的二项式系数之和为210,令x=1,y=1,则由题意知,4n=210,解得n=5.答案：A 5.已知(x2+1)(x-2)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a11(x-1)11,则a1+a2+a3+…+a11的值为.解析：令x=1,得a0=-2.令x=2,得a0+a1+a2+…+a11=0.所以a1+a2+a3+…+a11=2.答案：2 6.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则a0+a2+a4+…+a2n=.解析：令x=1,得3n=a0+a1+a2+…+a2n-1+a2n,①令x=-1,得1=a0-a1+a2-…-a2n-1+a2n,②①+②得3n+1=2(a0+a2+…+a2n),