人教A版选修2-3课件2.3.1 离散型随机变量的均值

2.3离散型随机变量的均值与方差 2.3.1离散型随机变量的均值 1.离散型随机变量的均值(1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.(2)意义:离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.(3)性质:若X为离散型随机变量,则Y=aX+b(其中a,b为常数)也是随机变量,且E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 做一做1已知随机变量X的分布列如下:则E(X)=,E(2X-1)=. 2.两点分布、二项分布的均值(1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p;(2)若X~B(n,p),则E(X)=np.做一做2已知一名射手每次射击中靶的概率均为0.8,则每射击3次中靶次数X的均值为()A.0.8B.0.83C.3D.2.4解析：射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布,即X~B(3,0.8),所以E(X)=3×0.8=2.4.答案：D 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)若随机变量X~B(n,p),则E(X)=np.()(2)若X~B,则E(X)的值为1.()(3)已知E(Y)=6,Y=4X-2,则E(X)=2.()(4)E(aX+b)=aE(X)+b.()√×√√ 探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一求离散型随机变量的均值【例1】导学号78430053从装有2个红球,2个白球和1个黑球的袋中逐一取球,已知每个球被取到的可能性相同.若取后不放回,设取完红球所需的次数为X,求X的分布列及均值.分析：先确定好抽取次数X的可能取值,再求出对应的概率,从而得到X的分布列及均值.解：由题意知X的可能取值为2,3,4,5.当X=2时,表示前2次取的都是红球, 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练1在10件产品中,有3件一等品、4件二等品、3件三等品.从这10件产品中任取3件,求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和均值. 探究一探究二探究三探究四思维辨析探究二离散型随机变量的均值的性质【例2】已知随机变量X的分布列如下:(1)求m的值;(2)求E(X);(3)若Y=2X-3,求E(Y).解：(1)由随机变量分布列的性质,得 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练2已知随机变量X的分布列为且Y=aX+3,若E(Y)=-2,求a的值. 探究一探究二探究三探究四思维辨析探究三两点分布、二项分布的均值【例3】某运动员的投篮命中率为p=0.6.(1)求投篮一次时命中次数X的均值;(2)求重复投篮5次时,命中次数Y的均值.分析：第(1)问中X只有0,1两个结果,服从两点分布;第(2)问中Y服从二项分布. 探究一探究二探究三探究四思维辨析解：(1)投篮一次,命中次数X的分布列为,则E(X)=p=0.6.(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,即Y~B(5,0.6).则E(Y)=np=5×0.6=3. 探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练3甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为.记甲击中目标的次数为ξ,乙击中目标的次数为η.(1)求ξ的分布列;(2)求ξ和η的数学期望. 探究一探究二探究三探究四思维辨析探究四均值的实际应用【例4】导学号78430054随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为X.(1)求X的分布列.(2)求1件产品的平均利润(即X的均值).(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少? 探究一探究二探究三探究四思维辨析故X的分布列为(2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34(万元).(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(X)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29),依题意,E(X)≥4.73,即4.76-x≥4.73,解得x≤0.03,所以三等品率最多为3%. 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练4据统计,一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,参加者需交保险费100元,若在一年以内,万元以上的财产被盗,保险公司赔偿a元(a>100).问a如何确定,可使保险公司期望获利?解：设X表示“保险公司在参加保险人身上的收益”,则X的取值为X=100和X=100-a,则P(X=100)=0.99.P(X=100-a)=0.01,所以E(X)=0.99×100+0.01×(100-a)=100-0.01a>0,所以a<10000.又a>100,所以100<a<10000.即当a在100和10000之间取值时保险公司可望获利. 探究一探究二探究三探究四思维辨析因审题不清而致错典例某电视台举行电视奥运知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分.为了增加节目的趣味性,初赛采用选手选一题答一题的方式进行.每位选手最多有5次选题答题的机会,选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛,答对3题者直接进入决赛,答错3题者则被淘汰.已知选手甲答题的正确率为.(1)求选手甲可进入决赛的概率;(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X,试写出X的分布列,并求X的均值. 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数,若P(X=0)=,求E(X). 1.随机变量X的分布列为则X的均值是()A.2B.2.1C.2.3D.随m的变化而变化解析：∵0.2+0.5+m=1,∴m=0.3.∴E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1.答案：B 2.设随机变量X~B(40,p),且E(X)=16,则p等于()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4解析：∵X~B(40,p),E(X)=16,∴40p=16,∴p=0.4.答案：D 3.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的均值为()答案：D 4.若X的分布列为,Y=2X+5,则E(Y)=. 答案：100 6.在某次考试中,第一题由12个选择题组成,每题选对得5分,不选或错选得0分.小王选对每题的概率为0.8,则其第一题得分的均值为.解析：设小王选对的个数为X,得分为Y=5X,则X~B(12,0.8),E(X)=np=12×0.8=9.6,E(Y)=E(5X)=5E(X)=5×9.6=48.答案：48