第28章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形课后习题（附解析人教版）

28.2　解直角三角形及其应用28.2.1　解直角三角形知能演练提升能力提升1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,E为AB上一点,且AE∶EB=4∶1,EF⊥AC于F,连接FB,则tan∠CFB的值等于(　　)A.33B.233C.533D.532.已知Rt△ABC的两条直角边长分别为6,8,现将△ABC如图那样折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值是(　　)A.247B.73C.724D.133.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=5cm,∠BAC的平分线交BC于点D,AD=1033cm,则BC=　　　　cm. 4.小敏想知道校园内一棵大树的高度,如图,她测得CB=10m,∠C=50°,请你帮她算出树高AB约为　　　m. (注:①树垂直于地面;②供选用数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2)5.如图,某建筑物BC垂直于水平地面,AC为9m,要建造阶梯AB,使每阶高不超过20cm,则此阶梯最少要建　　　　　阶.(最后一阶的高度不足20cm时,按一阶算,3取1.732) (第3题图)6 (第4题图)(第5题图)6.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,则AB的长为　　　　　. 7.如图,在两面墙之间有一个底端在点A的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在点B;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在点D.已知∠BAC=65°,∠DAE=45°,点D到地面的垂直距离DE为32m,求点B到地面的垂直距离BC.(精确到0.1m)8.如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,tan∠ABD=cos∠DAC.6 (1)求证:AC=BD;(2)若sinC=1213,BC=12,求AD的长.创新应用★9.如图,已知☉O的半径为2,弦BC的长为23,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外).求:(1)∠BAC的度数;(2)△ABC面积的最大值.参考数据:sin60°=32,cos30°=32,tan30°=336 能力提升1.C　设EB=1,则AE=4,BC=52,AC=532.∴CF=32.∴tan∠CFB=533.2.C　由题意知DE是AB的垂直平分线,故设BE=AE=x,则CE=8-x.在Rt△BCE中,BE2=BC2+CE2,即x2=62+(8-x)2,解得x=254,则CE=74.因此tan∠CBE=CEBC=724.3.53　由题意,得cos∠CAD=ACAD=51033=32,∴∠CAD=30°.∴∠BAC=60°.∴tan∠BAC=BCAC=BC5=tan60°=3,∴BC=53cm.4.12　AB=BC·tanC=10×tan50°≈12(m).5.266.3+3　如图,过点C作CD⊥AB于点D,∴∠ADC=∠BDC=90°.∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD.∵∠A=30°,AC=23,∴CD=3,∴BD=CD=3.由勾股定理得AD=AC2-CD2=3,∴AB=AD+BD=3+3.7.解在Rt△ADE中,DE=32m,∠DAE=45°,∴sin∠DAE=DEAD,∴AD=6m.6 又AD=AB,在Rt△ABC中,sin∠BAC=BCAB,∴BC=AB·sin∠BAC=6×sin65°≈5.4(m).∴点B到地面的垂直距离BC约为5.4m.8.(1)证明∵tan∠ABD=ADBD,cos∠DAC=ADAC,且tan∠ABD=cos∠DAC,∴ADBD=ADAC,∴AC=BD.(2)解由sinC=ADAC=1213,可设AD=12k,AC=13k,k>0,∴DC=AC2-AD2=5k.由(1)知BD=AC=13k,∴BC=13k+5k=18k.∵BC=12,∴k=23,∴AD=12×23=8.创新应用9.解(1)(方法一)连接OB,OC,过点O作OE⊥BC于点E.∵OE⊥BC,BC=23,∴BE=EC=3.在Rt△OBE中,OB=2,∴sin∠BOE=BEOB=32,∴∠BOE=60°,∠BOC=120°.∴∠BAC=12∠BOC=60°.(方法二)连接BO并延长,交☉O于点D,连接CD.∵BD是直径,∴BD=4,∠DCB=90°.在Rt△DBC中,sin∠BDC=BCBD=234=32,6 ∴∠BDC=60°,∴∠BAC=∠BDC=60°.(2)∵△ABC的边BC的长不变,∴当BC边上的高最大时,△ABC的面积最大,此时点A应落在优弧BC的中点处.过点O作OE⊥BC于E,延长EO交☉O于点A,则A为优弧BC的中点.连接AB,AC,则AB=AC,∠BAE=12∠BAC=30°.在Rt△ABE中,∵BE=3,∠BAE=30°,∴AE=BEtan30°=333=3.∴S△ABC=12×23×3=33,即△ABC面积的最大值是33.6