福建省漳州市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检测数学试题
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漳州市2022-2023学年（下）期末高中教学质量检测高一数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）考生注意：1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自己的准考证号､姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名”与考生本人准考证号､姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列导数运算正确的是（）''1A.(axx)=xa−1B.()x=2x'1'C.=lnxD.(sin)xx=−cosx2.已知事件AB,，设BA⊆，且PA()=0.7,PB()=0.42，则PBA(∣)的值是（）A.0.294B.0.42C.0.5D.0.623.根据分类变量X和Y的样本观察数据的计算结果，有不少于99.5%的把握认为X和Y有关，则χ的一个可能取值为（）2Px(χ0)0.100.050.0250.0100.005x2.7063.8415.0246.6357.8790A.3.971B.5.872C.6.775D.9.6984.已知空间向量a=(1,3,2,−=)bt(1,1,)，若ab⊥，则ab−=2（）A.5B.17C.26D.14−2325.若xa=为函数fx()=()xaxb−−()的极大值点，则（）A.ab>B.ab<c.ab>0D.ab<0学科网（北京）股份有限公司,n126.对于集合A={θθ12,,,θn}和常数θ0，定义：µ=∑tan(θθi−0)为集合A相对θ0的“正切方差”.若集ni=1πππ55π合A=,,,θ0=，则µ=（）31261225A.B.1C.D.2330.37.若abc=e,=1.3,=ln3.3，则abc,,的大小关系为（）A.abc>>B.acb>>C.bac>>D.cab>>8.某人在n次射击中击中目标的次数为X，且XBn∼(,0.7)，记PPXkk=(=)，kn=0,1,2,,，若P7是唯一的最大值，则EX()的值为（）A.7B.7.7C.8.4D.9.1二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.下列结论正确的是（）A.对于成对样本数据，样本相关系数越大，相关性越强22B.利用χ进行独立性检验时，χ的值越大，说明有更大把握认为两事件有关系C.线性回归直线方程yˆ=bxaˆ+ˆ至少经过样本点数据中的一个点D.用模型ebx3ya=+c拟合一组数据时，设z=ln(yc−)，得到回归方程zx=0.8+3，则a=e10.已知函数yfxygx=(),=()的导函数图象如图，那么yfxygx=(),=()的图象可能是（）学科网（北京）股份有限公司,A.B.C.D.11.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1,2,3,4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”，事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（）A.事件B与事件C是互斥事件B.事件A与事件B是相互独立事件1C.PAPBPC()()()=81D.PABC()=412.如图，棱长为2的正方体ABCD−ABCD1111中，EF,分别为棱ADAA11,1的中点，G为线段BC1上的动点，则下列说法正确的是（）A.三棱锥A1−EFG的体积为定值B.存在点G，使得BD1⊥平面EFGC.当点G与点B1重合时，线段EG长度最短学科网（北京）股份有限公司,1D.设直线FG与平面BCCB11所成角为θ，则cosθ的最小值为3三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）213.已知随机变量XN∼(2,σ)，且PX(>=3)0.3，则PX(1<<=2)__________.14.甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则4次传球后球在甲手中的概率为__________.15.已知函数fxx()(∈R)的导函数为fx′()，若20fxfx()+>′()，且f(0)=2023，则不等式−2xfx()−>2023e0的解集为__________.16.古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“翁中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上､下底面均为半圆形的柱体，AA1⊥平面ABCDAA,=3,AB=2CD=2,πE为AB的中点，则直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为__________.111四､解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知平行六面体ABCD−ABCD1111，底面ABCD是正方形，AD=AB=2,AA1=1，∠∠AAB=DAA=60,AC=3NCDB,=2MB，设AB=aAD,,=bAA=c.1111111（1）试用abc,,表示AN；（2）求线段MN的长度.学科网（北京）股份有限公司,18.（本小题满分12分）某有限公司通过技术革新和能力提升，每月售出的产品数量不断增加，下表为该公司今年14∼月份售出的产品数量.月份x1234售出的产品数量y(万件)6.16.36.76.9（1）试根据样本相关系数r的值判断售出的产品数量y（万件）与月份x线性相关性强弱（若0.8<r1，则认为变量x和变量y高度线性相关）（结果保留两位小数）；（2）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司5月份售出的产品数量.nn∑∑(xxyyii−−)()(xxyyii−−)()r=ii=11,bˆ==,aˆ=ybx−≈ˆ,21.414参考公式：n.nn222∑∑(xxii−−)(yy)∑(xxi−)ii=11=i=119.（本小题满分12分）a已知函数fx()=1−=,gx()lnx.x（1）若曲线yfx=()在点(2,f(2))处的切线与曲线ygx=()在点(1,0)处的切线平行，求实数a的值；（2）若函数yfx=()的图象与ygx=()的图象有两个公共点，求实数a的取值范围.20.（本小题满分12分）如图所示的几何体中，平面pad⊥平面abcdpad,为等腰直角三角形，∠apd=90，四边形abcd为直角梯形，ab∥dcab,,2⊥=adabad=,,1pq∥dcpq=dc=.（1）求证：pd∥平面qbc；（2）线段qb上是否存在点m满足qm=λλqb(01)，使得am⊥平面qbc？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）学科网（北京）股份有限公司,某学校组织“中亚峰会”知识竞赛，有ab,两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答.若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.a类问题中的每个问题回答正确得mm(0<∈100,mn)分，否则得0分；b类问题中的每个问题回答正确得nn(0<∈100,nn)分，否则得0分.已知学生甲能正确回答a类问题的概率为p1，能正确回答b类问题的概率为p2，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若学生甲先回答a类问题，mnpp=20,=80,12=0.8,=0.6，记x为学生甲的累计得分，求x的分布列和数学期望.（2）若n=2,mp12=2p>0，则学生甲应选择先回答哪类问题，使得累计得分的数学期望最大？并说明理由.22.（本小题满分12分）x−2已知函数fx()=e−axln.（1）若函数fx()在区间[1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；（2）求证：当01<<a时，fx()>0.漳州市2022-2023学年（下）期末高中教学质量检测高二数学参考答案评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.B2.D3.D4.C5.B6.C7.A8.A二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.BD10.BD11.BCD12.ABD学科网（北京）股份有限公司,三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）34213.0.214.15.(0,+∞)16.821四､解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）2解：（1）AN=+=+AA11ANAA1(AB111+AD1)3222=++=++c(ab)abc333111111（2）AM=++abcNM,=−=AMAN−−−abc，222662222222aabbcc=||=4,=||=4,=||=1，ab⋅=××22cos90=0,ac⋅=××21cos60=1，bc⋅=××12cos60=12111∴=−−−NMabc662111111222=a+b+c+ab⋅+⋅+⋅acbc36364186611111129=×+×+×+×+×+×=441011.363641866618.（本小题满分12分）1234+++6.16.36.76.9+++解：（1）xy==2.5,==6.5444∑(xxyyii−)(−=−×−)1.5(0.4)(0.5)(0.2)0.50.21.5+−×−+×+×i=10.41.4=，422222∑(xxi−=)(12.5)−+(22.5)−+(32.5)−+(42.5)−=5,i=1学科网（北京）股份有限公司,n∑(xxyyii−−)()1.4i=1r==≈>0.990.8，nn50.422∑∑(xxii−−)(yy)ii=11=∴售出的产品数量y（万件）与月份x具有高度线性相关.4∑(xxyyii−−)()ˆ1.4i=1（2）b===0.28，425∑(xxi−)i=1aˆ=−=−×=ybxˆ6.50.282.55.8，yxˆ=0.28+5.8，当x=5，可得yˆ=0.2855.8×+=7.2万件，∴预测该公司5月份出售产品数量为7.2万件.19.（本小题满分12分）a1解：（1）fx′()=,gx′()=2xxa依题意得fg′(21)=′()，即=1，解得a=4.44故fx()=1,21−=f()−，xfx()在点(2,f(2))处的切线方程为yx−−=−(12)，即yx=−3；而gx()在点(1,0)处的切线方程为yx=−1，这两条切线平行，故a=4.（2）函数yfx=()的图象与ygx=()的图象有两个公共点⇔方程fxgx()=()有两个不等实根a⇔方程1−=lnx有两个不等实根x⇔方程axxx=−ln有两个不等实根学科网（北京）股份有限公司,⇔直线ya=与函数hxxxx()=−ln的图象有两个交点hx′()=−+1(1lnx)=−lnx当x∈(0,1)时，hx′()>0,hx()单调递增；当x∈+(1,∞)时，hx′()<0,hx()单调递减.∴hx()有极大值，也是最大值为h(11)=.当x→0时，hx()→0；当x→+∞时，hxx()=(1ln−x)→−∞∴可以画出hx()的草图：（如上图）由图可知当a∈(0,1)时，直线ya=与函数hxxxx()=−ln的图象有两个交点，即函数yfx=()的图象与ygx=()的图象有两个公共点，故a∈(0,1).20.（本小题满分12分）解：（1）PQ∥CDPQ,,=CD∴四边形PQCD是平行四边形.∴PD∥QCPD⊄平面QBCQC,⊂平面QBC,∴PD∥平面QBC（2）取AD的中点为O,,PA=∴⊥PDOPAD平面PAD⊥平面ABCDOP,⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD∴⊥OP平面ABCD以点O为坐标原点，分别以直线ODOP,为y轴，z轴建立空间直角坐标系O−xyz，则x轴在平面ABCD内.∠APD=90,AB=AD=2,PQ=CD=1，∴−ABC(0,1,0,)(2,1,0,−)(1,1,0)，Q(1,0,1)，学科网（北京）股份有限公司,∴=BQ(−1,1,1,)CQ=−(0,1,1).nBQ⋅=0,设平面QBC的法向量为n=(xyz,,,)∴nCQ⋅=0,−++=xyz0,即−+=yz0.xyz=+,∴令z=1，则yxn==∴=1,2,(2,1,1).yz=.QB=−−∴(1,1,1,)QM=−−(λλλ,,)，∴=+=+−−AMAQQM(1λλλ,1,1).又平面QBC的法向量为n=(2,1,1,)AM⊥平面QBC，111+−−λλλ所以==.2111∴=λ.31所以在线段QB上存在点M，使AM⊥平面QBC，且λ的值是321.（本小题满分12分）解：（1）由题知，X=0,20,100PX(==0)0.2,PX(==×=20)0.80.40.32，PX(==×=100)0.80.60.48∴X的分布列为：X020100P0.20.320.48∴EX()=×+×+×=00.2200.321000.4854.4（2）学生甲选择先回答A类问题时：X=0,,3mmPX(==−=−01)p112,pPXmp2(==−=)1222(1p)21p(−p)，2PX(==×=32mpp)12p222∴EX1()=×−012(p2)+×m21p22(−+×p)32mp222=2mp+4mp学科网（北京）股份有限公司,学生甲选择先回答B类问题时：X=0,2,3mmPX(==−01)pPX2,(==−=−2mp)212(1p)p(12p2)，2PX(==×=32mpp)12p222∴E2(X)=×−+×01(p2)2mp22(12−p)+×32mp222=2mp+2mp2EXEX12()−()=2mp212>∴0,EXEX()>().∴学生甲应选择先回答A类问题.22.（本小题满分12分）x−2a解：fx()的定义域为(0,+=∞),fx′()e−.xx−2a（1）依题意得：fx′()=e0−对x∈+[1,∞)恒成立xx−2⇔axe对x∈+[1,∞)恒成立x−2令gxx()=e,x∈+[1,∞)，xx−−22x−2则gx′()=+=exe(x+1e)，当x∈+[1,∞)时，gx′()>0，故gx()在[1,+∞)上单调递增，1所以gx()的最小值为g(1)=.e11故a，即a的取值范围为−∞,.ee（2）（法一）当01<<a时，x−2ax−2a由fx′′()=e0+>得fx′()=e−在(0,+∞)上2xx单调递增，′−a2′a又fa()=e−<10,f(2)1=−>0，2由零点存在定理可得fx′()在(0,+∞)上有唯一零点，′=−=x0−2ax0−2a设此零点为x0，则fx(0)e0，有e=，xx00两边取对数并整理得−lnxx00=−−2lna，学科网（北京）股份有限公司,当xx∈(0,0)时，fx′()<0,fx()单调递减；当xx∈+(0,∞)时，fx′()>0,fx()单调递增，x−2afxfx=e0−axln=+ax−−2lna故()(0)00()x0aa=+−−ax2aaaln2⋅−−=ax2aaaaaln−>ln0.00xx00即当01<<a时，fx()>0.x（法二）我们先证明，e1x+，当且仅当x=0时等号成立.xx构造函数gx()=−−e1x，则gx′()=e1−，当x<0时，gx′()<0,gx()单调递减；当x>0时，gx′()>0,gx()单调递增，故gxg()(00)=，当且仅当x=0时等号成立.x当x>−1时，对e1x+两边同时取对数有xxln(+1)，故当x>0时xx−1ln，当且仅当x=1时等号成立.x−2所以e(x−+=−2)1xx1ln，两个“”中等号成立的条件分别为x=2和x=1，故当x>0时，x−2e>lnx.当01<<x时，lnx<0，又01<<a，所以x−2e>>0axln；x−2当x1时，lnx>0，又0<<a1,e>lnxaxln.综上所述，当01<<a时，fx()>0.学科网（北京）股份有限公司</a时，fx()></a1,e></x时，lnx<0，又01<<a，所以x−2e></a时，fx()></a时，x−2ax−2a由fx′′()=e0+></a时，fx()></r1，则认为变量x和变量y高度线性相关）（结果保留两位小数）；（2）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司5月份售出的产品数量.nn∑∑(xxyyii−−)()(xxyyii−−)()r=ii=11,bˆ==,aˆ=ybx−≈ˆ,21.414参考公式：n.nn222∑∑(xxii−−)(yy)∑(xxi−)ii=11=i=119.（本小题满分12分）a已知函数fx()=1−=,gx()lnx.x（1）若曲线yfx=()在点(2,f(2))处的切线与曲线ygx=()在点(1,0)处的切线平行，求实数a的值；（2）若函数yfx=()的图象与ygx=()的图象有两个公共点，求实数a的取值范围.20.（本小题满分12分）如图所示的几何体中，平面pad⊥平面abcdpad,为等腰直角三角形，∠apd=90，四边形abcd为直角梯形，ab∥dcab,,2⊥=adabad=,,1pq∥dcpq=dc=.（1）求证：pd∥平面qbc；（2）线段qb上是否存在点m满足qm=λλqb(01)，使得am⊥平面qbc？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）学科网（北京）股份有限公司,某学校组织“中亚峰会”知识竞赛，有ab,两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答.若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.a类问题中的每个问题回答正确得mm(0<∈100,mn)分，否则得0分；b类问题中的每个问题回答正确得nn(0<∈100,nn)分，否则得0分.已知学生甲能正确回答a类问题的概率为p1，能正确回答b类问题的概率为p2，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若学生甲先回答a类问题，mnpp=20,=80,12=0.8,=0.6，记x为学生甲的累计得分，求x的分布列和数学期望.（2）若n=2,mp12=2p></c.ab>
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