2023年中国科学院大学综合测评数学试题

2023年中国科学院大学综合评价测试题本次测试共2道大题，分6小题，满分100分，考试时长60分钟。一、（满分50分）（1）（15分）给定系数多项式fx()，若存在实数c，使得fc()0=，求证：存在多项式gx()。使得fx()(=xcgx−)()；（2）（10分）求证：一个次数为n的实系数多项式至多有n个实根；（3）（25分）称一个数为代数数，如果它为一个整系数多项式的根，求证：所有代数数构成的集合是可数的。二、（满分50分）（1）（10分）写出平面图欧拉公式并证明；（2）（15分）求证：使用凸多面体的外角之和为4π;（3）（25分）求证：正多面体的面的个数只能是4,6,8,12,20。学科网（北京）股份有限公司 2023年中国科学院大学综合评价测试题解析一、（满分50分）nk（1）证：设实数系多项式为fx()=∑axnkn(≥≠1,a0).已知实数c为它的实根，即k=0nnnkkkkfc()0==∑ack，所以fxfx()=()−=−∑∑ackkaxc().k=0kk=00=k−1nnk−1kkkii−−1kkkii−−1因式分解xc−=−()xcxc∑，fx()()(=∑axckk−=∑∑axc−)xc，i=0k=0ki=00=nk−1kii−−1所以fx()(=xca−)∑∑kxcki=00=nk−1kii−−1即存在gx()=∑∑akxc，且gx()∈[x]ki=00=（2）证：对于一次多项式，结论显然成立。假设对于kk(≥2)次多项式，至多有k个实数根成立，对于k+1次多项式fx()，如果没有实根，则证明完成；若至少有一个实根不妨记作c，即fc()0=，根据（1）知，存在gx()∈[x]，使fx()(=xcgx−)()，gx()是k次多项式，由归纳假设知gx()至多k个实根，所以fx()至多k+1个实根.拓展：在一个整环R上，其多项式环Rx[]上的n次多项式，一定至多n个根如果R不是2整环，结论不一定成立，比如x−1在上有四个根：1,3,5,7.8（3）①设P为整系数多项式的集合，构造从P到自然数的映射.fP:→，即nnnfax(nn++=ax−1a)2fa()03fa()1pn(+1)fa()n，其中pn()为第n个素数，fn()nn−10是全体整数到非负整数的任意双射egn:0≥时fn()2,=nn≤0时fn()=−−21n.由于质因数分解的唯一性，所以这个映射是一一映射，所以P是可数无线集.n所有的整系数集合Pp=n是可数个可数集的并集，依然可数.n∈学科网（北京）股份有限公司 ②由上题知n次多项式最多由n个实根，设R是可数个可数集的并集，依然可数R为有pp限集.代数数AR=p为可数个有限集的并集，依然可数n∈二、（满分50分）（1）（2）证：设多面体有f个三角形，f个四边形，，即有f个K边形.34k由于凸K边形的内角和为(K−2)π，则有∑∑ai=(K−⋅=2)ππfkkk∑Kf−2π∑f;学科网（北京）股份有限公司 又因为ff=∑k（多面体的总面数），所以∑∑∑aik=ππKf−2f.易知∑Kfk是各个面的边数之和，即∑Kfk=2e；于是∑∑(2π−=aii)2πv−a=2ππππv−2e+2f=2(vef−+=)4π（3）学科网（北京）股份有限公司 示意图如下：学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司