第24章圆24.2圆的基本性质第2课时垂径分弦课件（沪科版九下）

第2课时垂径分弦 新课导入等腰三角形平行四边形矩形等腰三角形、平行四边形、矩形具有对称性 菱形正方形菱形、正方形具有对称性，那么圆是否也具有对称性呢？圆 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．探究 BOACDE已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．求证：AE=EB，（或）满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？ 证明：连结OA、OB.则OA＝OB，△OAB为等腰三角形，所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称.BOACDE BOACDEPQ同理，如果点P是⊙O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与⊙O相交于点Q，则点P与点Q关于直线CD也对称，所以⊙O关于直线CD对称.当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，AE与BE重合，点A与点B重合，与重合，与重合. 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理BOACDE AE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直径，AB是弦，CD⊥AB①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧题设结论DOABEC垂径定理 练习如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cmBOACB 推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． NOABMCD注意为什么强调这里的弦不是直径？一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直.因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立． 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任意个条件都可以推出其他个结论.注意两三 垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形d+h=rdhar有哪些等量关系？在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量． 例1赵州桥建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求赵州桥桥拱所在圆的半径(精确到0.1m).ACBDO37.47.218.7RR-7.2 解：设赵洲桥主桥拱的半径为R.则R2=18.72+(R-7.2)2解得：R≈27.9因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.ACBDO37.47.218.7RR-7.2 随堂练习1.下列说法中正确的是()A.在同一个圆中最长的弦只有一条B.垂直于弦的直径必平分弦C.平分弦的直径必垂直于弦D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴B 2.如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是()A.∠AOD=∠BODB.AD=BDC.OD=DCD.AC=BCC⌒⌒ 3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求证：四边形ADOE是正方形.证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC.∴四边形ADOE是矩形.又∵OD垂直平分AB，OE垂直平分AC，AB＝AC，∴四边形ADOE是正方形. 4.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求⊙O的半径. 解：连接OC.∵OM平分CD,∴OM⊥CD且CM=MD=CD=2m.设半径为r，在Rt△OCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r,由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.解得r=.即⊙O的半径为m. 5.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段弯路的半径.解：设半径为r.∵OC⊥AB，∴AD=BD=AB=150m.在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2，即(r-45)2+1502=r2,解得r=272.5m.因此，这段弯路的半径为272.5m. 课后小结垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股定理解答.