(九年级数学)轨迹专题题目汇编

Directedbykang轨迹专题题目汇编1．如图，在直角O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到AB处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是()A．直线的一部分B．圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分2．如图，在等腰RtABC中，ACBC2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是()2A．B．C．2D．223．如图，在等腰RtABC中，斜边AB8，点P在以AC为直径的半圆上，M为PB的中点，当点P沿半圆从点A运动至点C时，点M运动的路径长是()A．22B．2C．2D．224．如图，ABC，EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是()第1页（共53页） DirectedbykangA．23B．31C．2D．315．如图，在等边ABC中，AB10，BD4，BE2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是()A．8B．10C．3D．56．如图，在矩形ABCD中，AB3，AD3，点E从点B出发，沿BC边运动到点C，连结DE，点E作DE的垂线交AB于点F．在点E的运动过程中，以EF为边，在EF上方作等边EFG，则边EG的中点H所经过的路径长是()32A．23B．33C．3D．3237．如图，等腰RtABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQOP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为()第2页（共53页） Directedbykang22A．B．C．1D．242二．填空题（共12小题）8．如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒，点E在量角器上对应的读数是度．9．如图，NOOM于O，线段AB为2，ABO60．若端点A沿直线ON下滑，且端点B沿直线OM向右滑行，于是线段AB的中点P也随之运动，已知端点A下滑到A’时，AA32．则中点P随之运动到P时经过的路线长为．10．如图，在等腰RtABC中，ACBC22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．11．如图，在等腰RtABC中，ACBC2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．第3页（共53页） Directedbykang12．如图，在RtABC中，ACBC4，ACB90，点D为AC上一动点，连接BD交以斜边AB为直径的半圆于点E，N为BE中点．当点D从点A运动到点C时，点N运动的路径长是．13．如图，ABC，EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当EFG绕点D旋转时，点M运动的路径长为．14．如图，ABC、EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当EFG绕点D旋转时，线段BM长的最大值是．15．如图，ABC，EFG分别是边长为2和1的等边三角形，D是边BC，EF的中点，直线AG，FC相交于点M，当EFG绕点D旋转一周时，点M经过的路径长为．第4页（共53页） Directedbykang16．如图，在等腰直角ABC中，B90，D，E分别为BC、AB上的点，AB73，BE3，BD23，点P从点E出发沿BA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等腰直角PDF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是．17．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为(1,0)，ABO30，线段PQ的端点P从点O出发，沿OBA的边按OBAO运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ3，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为．18．在平面直角坐标系中，已知点A(4,0)，点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边ABC，连结OC，则OC的最小值为．第5页（共53页） Directedbykang19．在平面直角坐标系中，已知x轴上一点A(23，0)，B为y轴上的一动点，连接AB，以AB为边作等边ABC如图所示，已知点C随着点B的运动形成的图形是一条直线，连接OC，则ACOC的最小值是．三．解答题（共6小题）20．已知ABC是等腰直角三角形，ACBC2，D是边AB上一动点(A、B两点除外），将CAD绕点C按逆时针方向旋转角得到CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．（1）如图1，当90时，G是边AB上一点，且BGAD，连接GF．求证：GF//AC；（2）如图2，当90180时，AE与DF相交于点M．①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求CMD的度数；②设D为边AB的中点，当从90变化到180时，求点M运动的路径长．21．如图，在直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，OBA是等腰直角三角形且第6页（共53页） DirectedbykangAB2，线段PQ1，线段PQ的端点P从点O出发，沿OBA的边按OBAO运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动．（1）求A、B两点的坐标；（2）若P运动的路程为m，OPA的面积为S，求S与m之间的函数关系式；（3）当点P运动一周时，点Q运动的总路程为．722．如图1，抛物线经过A(1,0)，B(7,0)，D(0,)三点，以AB为边在x轴上方作等边三角4形ABC．（1）求抛物线的解析式；43（2）在抛物线x轴上方是否存在点M，使SS？若存在，请求出点M坐标；ABMABC9若不存在，请说明理由；（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．①若CEBF，试猜想AF与BE的数量关系，请说明理由，并求出APB的度数；②若AFBE，当点E由A运动到C时，试求点P经过的路径长．2323．已知抛物线C:yaxbx(a0)经过点A(1,0)和B(3,0)．12（1）求抛物线C的解析式，并写出其顶点C的坐标；1（2）如图1，把抛物线C沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C，此时点A，C分12第7页（共53页） Directedbykang别平移到点D，E处．设点F在抛物线C上且在x轴的下方，若DEF是以EF为底的1等腰直角三角形，求点F的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，ENEM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tanENM的值如何变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．2324．已知抛物线C:yaxbx(a0)经过点A(1,0)和B(3,0)．12（1）求抛物线C的解析式，并写出其顶点C的坐标．1（2）如图1，把抛物线C沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C，此时点A，C分12别平移到点D，E处．设点F在抛物线C上且在x轴的上方，若DEF是以EF为底的1等腰直角三角形，求点F的坐标．（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，ENEM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tanENM的值如何变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．第8页（共53页） Directedbykang25．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(8,0)，直线BC经过点B(8,6)，C(0,6)，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转a度得到四边形OABC，此时直线OA、直线BC分别与直线BC相交于点P、Q．BP（1）四边形OABC的形状是，当a90时，的值是．BQ（2）如图2，当四边形OABC的顶点B落在直线BC上时，求OPB的面积．（3）在四边形OABC旋转过程中，当0a180时，是否存在这样的点P和点Q，使1BPBQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2第9页（共53页） Directedbykang轨迹专题题目汇编参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．如图，在直角O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到AB处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是()A．直线的一部分B．圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分11【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OCABABOC，从22而得出滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧．【解答】解：连接OC、OC，如图，AOB90，C为AB中点，11OCABABOC，22当端点A沿直线AO向下滑动时，AB的中点C到O的距离始终为定长，滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧．故选：B．【点评】本题考查了轨迹，圆的定义与性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．第10页（共53页） Directedbykang2．如图，在等腰RtABC中，ACBC2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是()2A．B．C．2D．22【分析】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、1EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB2BC22，则OCAB2，21OPAB2，再根据等腰三角形的性质得OMPC，则CMO90，于是根据圆周2角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B2点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EFOC，所以M点的路径为2以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，在等腰RtABC中，ACBC2，AB2BC22，11OCAB2，OPAB2，22ACB90C在O上，M为PC的中点，OMPC，CMO90，点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EFOC2，第11页（共53页） DirectedbykangM点的路径为以EF为直径的半圆，122点M运动的路径长2．222故选：B．【点评】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆．3．如图，在等腰RtABC中，斜边AB8，点P在以AC为直径的半圆上，M为PB的中点，当点P沿半圆从点A运动至点C时，点M运动的路径长是()A．22B．2C．2D．22【分析】如图，连接PA、PC，取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM、FM．首先证明EMF90，推出点M的轨迹是EF，即EF为直径的半圆，图中红线部分，由此即可解决问题．【解答】解：如图，连接PA、PC，取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM、FM．AC是直径，APC90，第12页（共53页） DirectedbykangBEEA，BMMP，EM//PA，同理FM//PC，BMEBPA，BMFBPC，BMEBMFBPABPC90，EMF90，点M的轨迹是EF，(EF为直径的半圆，图中红线部分）BCAC，ACB90，AB8，1AC42，EFAC22，2EF的长22．故选：B．【点评】本题考查轨迹、等腰直角三角形的性质、圆的有关知识、弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考常考题型．4．如图，ABC，EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是()A．23B．31C．2D．31【分析】取AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图，易证DAG∽DCF，则有DAGDCF，从而可得A、D、C、M四点共圆，根据两点之间线段最短可得BOBMOM，即BMBOOM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，只需求出BO、OM的值，就可解决问题．【解答】解：AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图．ABC，EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，ADBC，GDEF，DADG，DCDF，DADGADG90CDGFDC，，DCDF第13页（共53页） DirectedbykangDAG∽DCF，DAGDCF．A、D、C、M四点共圆．根据两点之间线段最短可得：BOBMOM，即BMBOOM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，22221此时，BOBCOC213，OMAC1，2则BMBOOM31．故选：D．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点M的运动轨迹是解决本题的关键．5．如图，在等边ABC中，AB10，BD4，BE2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是()A．8B．10C．3D．5【分析】连结DE，作FHBC于H，如图，根据等边三角形的性质得B60，过D点1作DEAB，则BEBD2，则点E与点E重合，所以BDE30，2DE3BE23，接着证明DPEFDH得到FHDE23，于是可判断点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为23，当点P在E点时，作等边三角形第14页（共53页） DirectedbykangDEF，则DFBC，当点P在A点时，作等边三角形DAF，作FQBC于Q，则△1122DFQADE，所以DQAE8，所以FFDQ8，于是得到当点P从点E运动到212点A时，点F运动的路径长为8．【解答】解：连结DE，作FHBC于H，如图，ABC为等边三角形，B60，1过D点作DEAB，则BEBD2，2点E与点E重合，BDE30，DE3BE23，DPF为等边三角形，PDF60，DPDF，EDPHDF90HDFDFH90，EDPDFH，在DPE和FDH中，PEDDHFEDPDFH，DPFDDPEFDH，FHDE23，点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为23，当点P在E点时，作等边三角形DEF，BDF1306090，则DFBC，11当点P在A点时，作等边三角形DAF，作FQBC于Q，则△DFQADE，所以222DQAE1028，FFDQ8，12当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8．故选：A．第15页（共53页） Directedbykang【点评】本题考查了轨迹：点运动的路径叫点运动的轨迹，利用代数或几何方法确定点运动的规律．也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质．6．如图，在矩形ABCD中，AB3，AD3，点E从点B出发，沿BC边运动到点C，连结DE，点E作DE的垂线交AB于点F．在点E的运动过程中，以EF为边，在EF上方作等边EFG，则边EG的中点H所经过的路径长是()32A．23B．33C．3D．323【分析】连接FH，取EF的中点M，连接BM，HM，依据BMEMHMFM，可得点B，E，H，F四点共圆，连接BH，则HBEEFH30，进而得到点H在以点B为端点，BC上方且与射线BC夹角为30的射线上，再过C作CHBH于点H，根据点E从点B出发，沿BC边运动到点C，即可得到点H从点B沿BH运动到点H，333再利用在Rt△BHC中，BHBCcosCBH3，即可得出点H所经过的2233路径长是．2【解答】解：如图，连接FH，取EF的中点M，连接BM，HM，在等边三角形EFG中，EFFG，H是EG的中点，1FHE90，EFHEFG30，2又M是EF的中点，FMHMEM，在RtFBE中，FBE90，M是EF的中点，BMEMFM，BMEMHMFM，第16页（共53页） Directedbykang点B，E，H，F四点共圆，连接BH，则HBEEFH30，点H在以点B为端点，BC上方且与射线BC夹角为30的射线上，如图，过C作CHBH于点H，点E从点B出发，沿BC边运动到点C，点H从点B沿BH运动到点H，在Rt△BHC中，BHC90，333BHBCcosCBH3，2233点H所经过的路径长是．2故选：C．【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，轨迹问题，解直角三角形以及四点共圆的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上中线的性质以及含30角的直角三角形的性质得出结论．7．如图，等腰RtABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQOP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为()22A．B．C．1D．24211【分析】连接OC，OM、CM，如图，利用斜边上的中线性质得到OMPQ，CMPQ，22则OMCM，于是可判断点M在OC的垂直平分线上，则点M运动的轨迹为ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．第17页（共53页） Directedbykang【解答】解：连接OC，OM、CM，如图，M为PQ的中点，11OMPQ，CMPQ，22OMCM，点M在OC的垂直平分线上，点M运动的轨迹为ABC的中位线，1点M所经过的路线长AB1．2故选：C．【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹．也考查了等腰直角三角形的性质．二．填空题（共12小题）8．如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒，点E在量角器上对应的读数是144度．【分析】首先连接OE，由ACB90，易得点E，A，B，C共圆，然后由圆周角定理，求得点E在量角器上对应的读数．【解答】解：连接OE，ACB90，A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上，点E，A，B，C共圆，ACE32472，第18页（共53页） DirectedbykangAOE2ACE144．点E在量角器上对应的读数是：144．故答案为：144．【点评】本题考查的是圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．9．如图，NOOM于O，线段AB为2，ABO60．若端点A沿直线ON下滑，且端点B沿直线OM向右滑行，于是线段AB的中点P也随之运动，已知端点A下滑到A’时，1AA32．则中点P随之运动到P时经过的路线长为．1211【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OPABABOP，即P22是随之运动所经过的路线是一段圆弧；在RtAOB中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AOP30，OA3，则易求出OAOAAA2，即可得到△AOB为等腰直角三角形，得到ABO45，则POPAOPAOP15，然后根据弧长公式计算即可．【解答】解：连接OP、OP，如图，ONOM，P为AB中点，11OPABABOP，22AB2，OP1，第19页（共53页） Directedbykang当A端下滑B端右滑时，AB的中点P到O的距离始终为定长a，P是随之运动所经过的路线是一段圆弧，ABO60，AOP30，OA3a，AA32，OAOAAA2，OA2sinABO，AB2ABO45，AOP45，POPAOPAOP15，15a1弧PP的长，180121即P点运动到P所经过路线PP的长为．121故答案为：．12nR【点评】本题考查了弧长公式：l(n为弧所对的圆心角的度数，R为半径），也考查180了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质，难度一般．10．如图，在等腰RtABC中，ACBC22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．第20页（共53页） Directedbykang【分析】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、1EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB2BC4，则OCAB2，21OPAB2，再根据等腰三角形的性质得OMPC，则CMO90，于是根据圆周角2定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EFOC2，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，在等腰RtABC中，ACBC22，AB2BC4，11OCAB2，OPAB2，22M为PC的中点，OMPC，CMO90，点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EFOC2，M点的路径为以EF为直径的半圆，1点M运动的路径长21．2故答案为．【点评】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆．11．如图，在等腰RtABC中，ACBC2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC第21页（共53页） Directedbykang的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．2【分析】如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．由三角形的中位线定理可得11KM，推出当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，22长为半径的半圆．【解答】解：如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．ACBC2，ACB90，AB222，1OPAB1，2CMMP，CKOK，11MKOP，221当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，长为半径的半圆，211点M运动的路径长2，222故答案为．2【点评】本题考查轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点的运动轨迹．12．如图，在RtABC中，ACBC4，ACB90，点D为AC上一动点，连接BD交以斜边AB为直径的半圆于点E，N为BE中点．当点D从点A运动到点C时，点N运动2的路径长是．2第22页（共53页） Directedbykang【分析】如图，设AB的中点为O，连接OC，ON，取BC，OB的中点F，H，连接FH．证明FHO90，推出点N的运动轨迹是弧OF．利用弧长公式计算即可．【解答】解：如图，设AB的中点为O，连接OC，ON，取BC，OB的中点F，H，连接FH．BNEN，ONBE，ONB90，点N的运动轨迹是弧OF．AB是直径，ACB90，ACBC4，OCAB，AB42，BFFC，BHOH，FH//OC，FHOB，FHO90，9022OF的长．1802【点评】本题考查轨迹，等腰直角三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型．13．如图，ABC，EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当EFG绕点D旋转时，点M运动的路径长为2．第23页（共53页） Directedbykang【分析】如图，连接AD、DG．只要证明AMC90，即可解决问题．【解答】解：如图，连接AD、DG．ABC，EFG均是边长为2的等边三角形，BDCD，DEDF，ADBC，GDEF，ADCGDF90，ADGCDF，ADDG，DCDF，DAGDGADCFDFC，DCFDCM180，DAMDCM180，ADCAMC180，AMC90，点M的轨迹是以AC为直径的圆，点M运动的路径长为2，故答案为2．【点评】本题考查轨迹、等边三角形的性质、旋转变换、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．14．如图，ABC、EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的第24页（共53页） Directedbykang中点，直线AG、FC相交于点M．当EFG绕点D旋转时，线段BM长的最大值是31．【分析】取AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图，易证DAG∽DCF，则有DAGDCF，从而可得A、D、C、M四点共圆，根据两点之间线段最短可得BOBMOM，即BMBOOM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最长，只需求出BO、OM的值，就可解决问题．【解答】解：AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图．ABC，EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，ADBC，GDEF，DADG，DCDF，DADGADG90CDGFDC，，DCDFDAG∽DCF，DAGDCF．A、D、C、M四点共圆．根据两点之间线段最短可得：BOOMBM，当M在线段BO延长线与该圆的交点处时，线段BM最长，221此时，BOBCCO3，OMAC1，2则BMBOOM31．第25页（共53页） Directedbykang故答案是：31．【点评】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点M的运动轨迹是解决本题的关键．15．如图，ABC，EFG分别是边长为2和1的等边三角形，D是边BC，EF的中点，4直线AG，FC相交于点M，当EFG绕点D旋转一周时，点M经过的路径长为．3【分析】如图，连接AD、DG．只要证明AMC90，即可解决问题．【解答】解：如图，连接AD、DG．ABC，EFG均是边长为2和1的等边三角形，BDCD，DEDF，ADBC，GDEF，ADCGDF90，ADGCDF，ADDG3，CDDFADG∽CDF，DAGDCF，DAGMACACD90，DCFACDCAMACMCAM90，AMC90，在旋转过程中，AMC90不变，1点M在以AC为直径圆周上运动，且点M运动的路径是来回共两个的圆周，34点M经过的路径长为，34故答案为．3第26页（共53页） Directedbykang【点评】本题考查轨迹、等边三角形的性质、旋转变换、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16．如图，在等腰直角ABC中，B90，D，E分别为BC、AB上的点，AB73，BE3，BD23，点P从点E出发沿BA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等腰直角PDF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是36．【分析】首先证明点F的运动轨迹是线段FF，想办法求出BF、BF即可解决问题；1212【解答】解：如图，作FMAB于M，FNBC于N．MBNEFD180，E、B、D、F四点共圆，第27页（共53页） DirectedbykangABFEDF45，点F的运动轨迹是图中线段FF．12当P与E重合时，易证FMEFND，FMFN，MEDN，可得四边形FMBN是正方形，BEBDBMMEBNDN2FM33，33BMFM，236BF，1296当点P与A重合时，同法可得BF，229636FF36，1222故答案为36．【点评】本题考查轨迹、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找点的运动轨迹，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．17．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为(1,0)，ABO30，线段PQ的端点P从点O出发，沿OBA的边按OBAO运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ3，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为4．【分析】首先根据题意正确画出从OBA运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从OB时，路程是线段PQ的长；②当点P从BC时(QCAB，C为垂足），点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从CA时，点Q由Q向左运动，路程为QQ；④点P从AO时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．【解答】解：在RtAOB中，ABO30，AO1，第28页（共53页） Directedbykang22AB2，BO213，①当点P从OB时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为3，②如图3所示，QCAB，则ACQ90，即PQ运动到与AB垂直时，垂足为P，当点P从BC时，ABO30BAO60OQD906030CQcos30AQCQAQ2cos30OQ211则点Q运动的路程为QO1，③当点P从CA时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ23，④当点P从AO时，点Q运动的路程为AO1，点Q运动的总路程为：312314故答案为：4第29页（共53页） Directedbykang【点评】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题．18．在平面直角坐标系中，已知点A(4,0)，点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边ABC，连结OC，则OC的最小值为2．【分析】以OA为对称轴作等边ADE，连接EC，并延长EC交x轴于点F．证明点C在直线EF上运动，根据垂线段最短解答．【解答】解：如图，以OA为对称轴作等边ADE，连接EC，并延长EC交x轴于点F．ABAC在AEC与ADB中，BADCAE，ADAE第30页（共53页） DirectedbykangAECADB(SAS)，AECADB120，OEF60，OFOA4，点C在直线EF上运动，当OCEF时，OC最小，1OCOF2，2则OC的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．19．在平面直角坐标系中，已知x轴上一点A(23，0)，B为y轴上的一动点，连接AB，以AB为边作等边ABC如图所示，已知点C随着点B的运动形成的图形是一条直线，连接OC，则ACOC的最小值是6．【分析】作等边AOD，构造出BAOCAD，从而得到ADCAOB90，找到点C的运动轨迹为直线CD，延长AD交y轴于点A’，利用已知条件可证明直线CD就是线段AA‘的中垂线，从而ACOCACOC，而O、C、A三点共线时，ACOC的值最小，最小值为OA的长．第31页（共53页） Directedbykang【解答】解：如图所示，在第四象限以OA为边长作等边AOD，连接OD，并作直线CD，延长AD交y轴于点A．等边ABC、等边AODABAC，AOAD，BACOAD60BACOACOADOACBAOCAD在BAO和CAD中ABACBAOCADAOADBAOCAD(SAS)AOBADCAOB90ADC90CDAD点C随着点B的运动形成的图形是直线CDAOA90，OAD60AAO301OAAA21ADOAAA2第32页（共53页） Directedbykang点D是AA的中点CDADCD是AA的中垂线ACA‘CACOCACOC又点C在直线CD上运动，所以点O、C、A三点共线时，ACOC的值最小，最小值为OA的长．在RAOA中，AOA90，OAD60，OA23OA‘3OA6ACOC的最小值为6．故答案为6．【点评】本题主要考查等边三角形的性质、利用轴对称求最短线路．这里构造三角形全等找到点C的运动轨迹是关键．三．解答题（共6小题）20．已知ABC是等腰直角三角形，ACBC2，D是边AB上一动点(A、B两点除外），将CAD绕点C按逆时针方向旋转角得到CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．（1）如图1，当90时，G是边AB上一点，且BGAD，连接GF．求证：GF//AC；（2）如图2，当90180时，AE与DF相交于点M．①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求CMD的度数；②设D为边AB的中点，当从90变化到180时，求点M运动的路径长．【分析】（1）欲证明GF//AC，只要证明AFGB即可解决问题．（2）①先证明A、D、M、C四点共圆，得到CMFCAD45，即可解决问题．②利用①的结论可知，点M在以AC为直径的O上，运动路径是弧CD，利用弧长公式即第33页（共53页） Directedbykang可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，CACB，ACB90，AABC45，CEF是由CAD旋转逆时针得到，90，CB与CE重合，CBEA45，ABFABCCBF90，BGADBF，BGFBFG45，ABGF45，GF//AC．（2）①如图2中，CACE，CDCF，CAECEA，CDFCFD，ACDECF，ACEDCF，2CAEACE180，2CDFDCF180，CAECDF，A、D、M、C四点共圆，CMFCAD45，CMD180CMF135．（补充：不用四点共圆的方法：由OAC∽ODM，推出AOD∽COM，推出OCMOAD，即可证明CMFCDMDCMCAOOADCAD45)②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM．ADDB，CACB，CDAB，ADC90，由①可知A、D、M、C四点共圆，当从90变化到180时，点M在以AC为直径的O上，运动路径是弧CD，第34页（共53页） DirectedbykangOAOC，CDDA，DOAC，DOC90，901CD的长．1802当从90变化到180时，点M运动的路径长为．2【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公第35页（共53页） Directedbykang式、四点共圆等知识，解题的关键是发现A、D、M、C四点共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点M的运动路径，记住弧长公式，属于中考压轴题．21．如图，在直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，OBA是等腰直角三角形且AB2，线段PQ1，线段PQ的端点P从点O出发，沿OBA的边按OBAO运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动．（1）求A、B两点的坐标；（2）若P运动的路程为m，OPA的面积为S，求S与m之间的函数关系式；（3）当点P运动一周时，点Q运动的总路程为22．【分析】（1）由OBA是等腰直角三角形且AB2，得出OAOB1，即可得出A、B两点的坐标；（2）分三种情况讨论：①当点P在OB边上时，由三角形面积公式即可得出结果；②当点P在AB边上时，作PDOA于D，APD是等腰直角三角形，则PBm1，求出AP的长，由等腰直角三角形的性质得出PD的长，由三角形面积公式即可得出结果；③当点P在AO边上时，OPA不存在；（3）根据题意正确画出从OBA运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从OB时，路程是线段PQ的长；②当点P从BC时(QCAB，C为垂足），点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从CA时，点Q由O向左运动，路程为QO；④点P从AO时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．【解答】解：（1）OBA是等腰直角三角形且AB2，OAOB1，A点的坐标为：(1,0)，B点的坐标为：(0,1)；（2）分三种情况讨论：①当点P在OB边上，即0m1时，如图1所示：第36页（共53页） Directedbykang111OPA的面积SOAOP1mm；222②当点P在AB边上，即1m21时，如图2所示：作PDOA于D，APD是等腰直角三角形，PBm1，APABPB2(m1)21m，2222PDAP(21m)1m，22221122122OPA的面积OAPD1(1m)m，即2222244122Sm；244③当点P在AO边上，即21m22时，OPA不存在；1综上所述，S与m之间的函数关系式为Sm(0m1)，或2122Sm(1m21)；244（3）OBA是等腰直角三角形，ABOBAO45，OAOB1，PQ1，①当点P从OB时，点Q运动的路程为PQ的长，即为1；②如图3所示，QCAB，则ACQ90，即PQ运动到与AB垂直时，垂足为P，当点P从BC时，ABOBAO45，OQD904545，AQ2PQ2，OQAQOA21，则点Q运动的路程为QO21；③当点P从CA时，点Q运动的路程为QO21；④当点P从AO时，点Q运动的路程为AO1，点Q运动的总路程为：12121122；第37页（共53页） Directedbykang故答案为：22．【点评】本题是三角形综合题目，考查的等腰直角三角形的性质、三角形面积公式以及分类讨论思想的应用；熟练掌握等腰直角三角形的性质，进行分类讨论是解决问题的关键．722．如图1，抛物线经过A(1,0)，B(7,0)，D(0,)三点，以AB为边在x轴上方作等边三角4形ABC．（1）求抛物线的解析式；43（2）在抛物线x轴上方是否存在点M，使SS？若存在，请求出点M坐标；ABMABC9若不存在，请说明理由；（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．①若CEBF，试猜想AF与BE的数量关系，请说明理由，并求出APB的度数；②若AFBE，当点E由A运动到C时，试求点P经过的路径长．第38页（共53页） Directedbykang【分析】（1）先设出抛物线的解析式，然后将已知点的坐标代入求解即可；（2）过点C作CKx轴，垂足为K．先求得三角形ABC的面积，从而得到ABM的面积，依据三角形的面积公式可求得点M的纵坐标为4，由点M在抛物线可知可知y4，从而可求得对应的x的值，于是得到点M的坐标；（3）①先证明依据SASBECAFB，由全等三角形的性质可得到AFBE，接下来证明FABABPABC，最后依据三角形的内角和定理可求得APB的度数；②如图3所示：设AB所在圆的圆心为M，点H在圆M上，连接AM、BM、AH、BH，过点M作MGAB，垂足为G．依据圆的内角四边形的性质和圆周角定理可求得AMB的长，接下来，依据等腰三角形三线合一的性质可得到AG3，AMG60，然后依据特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后依据扇形的弧长公式求解即可；如图4所示：当AEBF时．依据SAS可证明AEBBAF，从而得到PABPBA，故此可知点P在AB的垂直平分线上，最后依据特殊锐角三角函数求得CN的长即可．27【解答】解：（1）设抛物线的解析式为yaxbx．4749a7b041将点A、B的坐标代入得：，解得：a，b2，ab7044127抛物线的解析式为yx2x．4443（2）存在点M使得SS．AMBABC9如图1所示：过点C作CKx轴，垂足为K．第39页（共53页） DirectedbykangABC为等边三角形，ABBCAC6，ACB60．CKAB，KABK3，ACK60．CK33．11SABCK63393．ABC2243S9312．ABM9127设M(x,x2x)．4411127AB|y|12，即6(x2x)12．M2244解得x9，x1．12M(9,4)，M(1,4)．12（3）①AFBE，APB120．理由：如图2所示；ABC为等边三角形，BCAB，CABF．第40页（共53页） DirectedbykangBCAB在BEC和AFB中CABF，CEBFBECAFB．AFBE，CBEBAF．FABABPABPCBEABC60．APB180PABABP18060120．②如图3所示：当CEFB时．由①可知：APB120，点P的运动轨迹是一条弧．设AB所在圆的圆心为M，点H在圆M上，连接AM、BM、AH、BH，过点M作MGAB，垂足为G．APB120，AHB60．AMB120．AMMB，MGAB，AGBG3，AMGBMG60．AG333，即．AM2AM2AM23．1202343点P运动的路径．1803如图4所示：当AEBF时．第41页（共53页） DirectedbykangAEFB在ABE和BAF中EABFBA，ABBAABEBAF．AFEB，FABEBA．APBP．点P在AB的垂直平分线上．点P运动的路线NC33．43点P经过的路径长为或33．3【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法则求二次函数的解析式、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、特殊锐角三角函数值，圆内接四边形的性质、圆周角定理、扇形的弧长公式、线段垂直平分线的判定，根据题意确定出点P运动的轨迹是解题的关键．2323．已知抛物线C:yaxbx(a0)经过点A(1,0)和B(3,0)．12（1）求抛物线C的解析式，并写出其顶点C的坐标；1（2）如图1，把抛物线C沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C，此时点A，C分12别平移到点D，E处．设点F在抛物线C上且在x轴的下方，若DEF是以EF为底的1等腰直角三角形，求点F的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，ENEM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tanENM的值如何变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．第42页（共53页） Directedbykang【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据A、C的坐标求得直线AC的解析式为yx1，根据题意求得EF4，求得123123EF//y轴，设F(m,mm)，则E(m,m1)，从而得出(m1)(mm)4，2222解方程即可求得F的坐标；（3）①先求得四边形DFBC是矩形，作EGAC，交BF于G，然后根据EGN∽EMC，EM对应边成比例即可求得tanENM2；EN②根据勾股定理和三角形相似求得EN10，然后根据三角形中位线定理即可求得．23【解答】解：（1）抛物线C:yaxbx(a0)经过点A(1,0)和B(3,0)，123ab012a解得2，9a3b30b12123抛物线C的解析式为yxx，12212312yxx(x1)2，222顶点C的坐标为(1,2)；（2）如图1，作CHx轴于H，A(1,0)，C(1,2)，AHCH2，CABACH45，直线AC的解析式为yx1，DEF是以EF为底的等腰直角三角形，DEF45，第43页（共53页） DirectedbykangDEFACH，EF//y轴，DEAC22，EF4，123设F(m,mm)，则E(m,m1)，22123(m1)(mm)4，22解得m3（舍)或m3，F(3,6)；（3）①tanENM的值为定值，不发生变化；如图2，DFAC，BCAC，DF//BC，DFBCAC，四边形DFBC是矩形，作EGAC，交BF于G，EGBCAC22，ENEM，MEN90，CEG90，CEMNEG，ENG∽EMC，EMEC，ENEGF(3,6)，EF4，E(3,2)，C(1,2)，22EC(31)(22)42，EM422，EN22EMtanENM2；EN第44页（共53页） DirectedbykangtanENM的值为定值，不发生变化；11②直角三角形EMN中，PEMN，直角三角形BMN中，PBMN，22PEPB，点P在EB的垂直平分线上，点P经过的路径是线段，如图3，EGN∽ECB，ENEG，EBECEC42，EGBC22，EB210，EN22，21042EN10，PP是BEN的中位线，12110PPEN；122210点M到达点C时，点P经过的路线长为．2第45页（共53页） Directedbykang【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形和三角形的中位线．2324．已知抛物线C:yaxbx(a0)经过点A(1,0)和B(3,0)．12（1）求抛物线C的解析式，并写出其顶点C的坐标．1（2）如图1，把抛物线C沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C，此时点A，C分12别平移到点D，E处．设点F在抛物线C上且在x轴的上方，若DEF是以EF为底的1等腰直角三角形，求点F的坐标．（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，ENEM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tanENM的值如何变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．第46页（共53页） Directedbykang【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据A、C的坐标求得直线AC的解析式为yx1，根据题意求得EF4，求得123123EF//y轴，设F(m,mm)，则E(m,m1)，从而得出(mm)(m1)4，2222解方程即可求得F的坐标；（3）①先求得四边形DFBC是矩形，作EGAC，交BF于G，然后根据EGN∽EMC，EM对应边成比例即可求得tanENM2；EN②首先证明点P在EB的垂直平分线上，推出点P经过的路径是线段PP，如图32，当点M与B重合时，根据勾股定理和三角形相似求得EN10，然后根据三角形中位线定理即可求得；23【解答】解：（1）解：（1）抛物线C:yaxbx(a0)经过点A(1,0)和B(3,0)，123ab012a解得2，9a3b30b12123抛物线C的解析式为yxx，12212312yxx(x1)2，222顶点C的坐标为(1,2)；（2）如图1，作CHx轴于H，第47页（共53页） DirectedbykangA(1,0)，C(1,2)，AHCH2，CABACH45，直线AC的解析式为yx1，DEF是以EF为底的等腰直角三角形，DEF45，DEFACH，EF//y轴，DEAC22，EF4，123设F(m,mm)，则E(m,m1)，22123(mm)(m1)4，22解得m3（舍)或m3，F(3,6)；（3）①tanENM的值为定值，不发生变化；如图2中，作EGAC，交BF于G，第48页（共53页） DirectedbykangDFAC，BCAC，DF//BC，DFBCAC，四边形DFBC是平行四边形，CDF90，四边形DFBC是矩形，EGBCAC22，ENEM，MEN90，CEG90，CEMNEG，ENG∽EMC，EMEC，ENEGF(3,6)，EF4，E(3,2)，C(1,2)，EC42，EM422，EN22EMtanENM2；EN第49页（共53页） DirectedbykangtanENM的值为定值，不发生变化；②如图31中，11直角三角形EMN中，PEMN，直角三角形BMN中，PBMN，22PEPB，点P在EB的垂直平分线上，点P经过的路径是线段PP，如图32，当点M与B重合时，EGN∽ECB，ENEG，EBECEC42，EGBC22，EB210，EN22，21042EN10，PP是BEN的中位线，12110PPEN；122210点M到达点C时，点P经过的路线长为．2第50页（共53页） Directedbykang【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．25．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(8,0)，直线BC经过点B(8,6)，C(0,6)，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转a度得到四边形OABC，此时直线OA、直线BC分别与直线BC相交于点P、Q．BP（1）四边形OABC的形状是矩形，当a90时，的值是．BQ（2）如图2，当四边形OABC的顶点B落在直线BC上时，求OPB的面积．（3）在四边形OABC旋转过程中，当0a180时，是否存在这样的点P和点Q，使1BPBQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形进行判断；当90时，就是长与宽的比；（2）根据勾股定理求得PB的长，再根据三角形的面积公式进行计算；（3）在四边形OABC旋转过程中，当0a180时，是否存在这样的点P和点Q，使1BPBQ．构造全等三角形和直角三角形，运用勾股定理求得PC的长，进一步求得坐标．2【解答】解：（1）点A的坐标为(8,0)，直线BC经过点B(8,6)，C(0,6)，BCAO8，BC//AO，四边形OABC是平行四边形．又OCOA，平行四边形OABC的形状是矩形；当90时，P与C重合，如图1，BP84BP8，BQBPOC8614，则．BQ147第51页（共53页） Directedbykang4故答案是：矩形；；7OPCBPA（2）如图2，在OCP和△BAP中，OCPA90，OCBAOCP△BAP(AAS)．OPBP．设BPx，22225在RtOCP中，(8x)6x，解得x．4112575SBPOC6；OPB22441（3）存在这样的点P和点Q，使BPBQ2理由如下：过点Q画QHOA于H，连接OQ，则QHOCOC，11SPQOC，SOPQH，POQPOQ22PQOP．1设BPx，BPBQ，2BQ2x，如图3，当点P在点B左侧时，OPPQBQBP3x，222在RtPCO中，(8x)6(3x)，3636解得x1，x1，（不符实际，舍去）．122236PCBCBP9，236P(9，6)，12如图4，当点P在点B右侧时，OPPQBQBPx，PC8x．22225在RtPCO中，(8x)6x，解得x，4257PCBCBP8，44第52页（共53页） Directedbykang7P(，6)，243671综上可知，存在点P(9，6)，P(，6)使BPBQ．12242【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2020/2/215:21:14；用户：刘老师；邮箱：13153010213；学号：26942851第53页（共53页）