第一章三角形的证明3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的的性质与判定课件（北师大版八下）

3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的的性质与判定北师版八年级数学下册 新课导入作线段AB的中垂线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量PA、PB的长，你能发现什么？ABMNCP 新课探究定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.求证：PA=PB.ABCMNP ABCMNP证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°.∵AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）.∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）. 判断：如图直线MN垂直平分线段AB，则AE=AF.（）练习ABMNFE× 想一想你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．ABCP 证明一：过点P作已知线段AB的垂线PC，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL）．∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．ABCP 证法二：取AB的中点C，过P，C作直线.∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，∴△APC≌△BPC（SSS）.∴∠PCA=∠PCB（全等三角形的对应角相等）.又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB.∴P点在AB的垂直平分线上.ABCP 证法三：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C.∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，∴△APC≌△BPC（SAS）.∴AC=BC，∠PCA=∠PCB又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°∴P点在线段AB的垂直平分线上.ABCP 例1已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.ABCO ABCO证明：∵AB=AC.∴点A在线段BC的垂直平分线上.（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.同理，点O在线段BC的垂直平分线上. 已知：如图，D是BC延长线上的一点，BD=BC+AC.求证：点C在AD的垂直平分线上.练习ABCD 证明：因为点D在BC延长线上，所以BD=BC+CD，又因为BD=BC+AC，∴AC=DC，所以点C在AD的垂直平分线上.ABCD 随堂演练1.如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于______.8ABCDE 2.到三角形三个顶点的距离相等的点是（）A.三条角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三边高线的交点D.没有这样的点B 3.在△ABC中，AB的中垂线与AC边所在直线相交所得的锐角为50°，则∠A的度数为（）A.50°B.40°C.40°或140°D.40°或50°C 4.已知：如图，在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于P.求证：点P在AC的垂直平分线上.BACMNM′N′P BACMNM′N′P证明：∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，∴PA=PB.同理PB=PC.∴PA=PC.∴点P在AC的垂直平分线上;∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P. 5.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ABCDE解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC. ∴AB=AC=CE.∵AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE.即AB+BD=DE.∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE.ABCDE 课堂小结定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.互逆命题