常考二级结论及其应用（含答案）
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常考二级结论及其应用纵观中学数学教材,基本上是由题组成的(除了部分概念的介绍),而高考试题大部分都源于教材.编教材离不开题,授课离不开题,学数学离不开题,考试更离不开题.实际上高考试题大都是通过对教材例题和习题加工、改造、引申、推广而成的,不仅如此,试题的表现方式和语言表达也尽可能与教材保持一致,使考生有一种似曾相识的感觉,所以我们要仔细琢磨,把教材上的题研究到位.结合高考真题,最终我们独创了“题型+模型”的全新教学法,本篇将把高考试题中经常出现而且教材上有所体现的部分二级结论呈现给大家,部分结论对学生的解题有很好的指导作用,同时对演算结果有精准的验证作用,以便同学们在解答高考题时做到准确、快捷.结论一1.子集、交集、并集、补集之间的一个关系式:A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔A∩∁IB=∅⇔∁IA∪B=I,其中I为全集.(1)当A=B时,显然成立;(2)当A⫋B时,Venn图如图2-1所示,结论正确.图2-1*)个元素,则集合A的子集有2n个,非空子集有2.子集个数的问题:若一个集合A含有n(n∈Nnnn2-1个.真子集有2-1个,非空真子集有2-2个.理解:A的子集有2n个,从每个元素的取舍来理解,例如每个元素都有两种选择,则n个元素共有n种选择.该结论需要掌握并会灵活应用.222xyx!1设集合A={(x,y)+=1},B={(x,y)|y=3},则A∩B的子集的个数是().416A.4B.3C.2D.1变式1已知集合A=x|x2{-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈n},则满足条件a⊆c⫋b的集合c的个数为().a.1b.2c.3d.4!2已知m,n为集合i的非空子集,且m,n不相等,若n∩∁im=∅,则m∪n=().a.mb.nc.id.∅变式1设集合a={x|x2-6x+5=0},b={x|ax-1=0},若a∩b=b,则由实数a的所有可能取值组成的集合c为().111111a.1{,}b.{,}c.0{,1,}d.0{,,}523523,࢝ଌབྷᆓ临门一脚(含密押三套卷)(理科版)结论二交、并、补(且、或、非)之间的关系(德·摩根定律).(1)集合形式:∁i(a∩b)=(∁ia)∪(∁ib),∁i(a∪b)=(∁ia)∩(∁ib);(2)命题形式:�(p∧q)=(�p)∨(�q),�(p∨q)=(�p)∧(�q).!3设全集u={a,b,c,d},集合a={a,b},b={b,c,d},则(∁ua)∪(∁ub)=.变式1已知全集u=a∪b中有m个元素,(∁ua)∪(∁ub)中有n个元素.若a∩b非空,则a∩b的元素个数为().a.mnb.m+nc.n-md.m-n变式2写出下列命题的否定.(1)命题p∨q:a=0或b=0;(2)命题p∧q:a=0且b=0.结论三奇函数的最值性质:已知函数f(x)是定义在区间d上的奇函数,则对任意的x∈d,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在定义域df上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈df,则f(0)=0.证明:因为f(x)为奇函数,所以∀x∈d,-x∈d,且f(-x)=-f(x),即f(x)+f(-x)=0.若0∈d,令x=0,则有f(0)+f(-0)=0,即f(0)=0.f若奇函数f(x)在df上有最值,设f(x)max=f(x0),则f(x0)≥f(x)(x∈d),所以f(-x0)=-f(x0)≤-f(x)=f(-x)(-x∈d),即f(x)min=f(-x0).由f(x0)+f(-x0)=0,得f(x)max+f(x)min=0.(x+1)(x-4)+tanx!4设函数f(x)=的最大值为m,最小值为m,则m+m=.2x-4æ1ö变式1已知函数f(x)=ln(1+9x2-3x)+1,则f(lg2)+fçlg÷=().è2øa.-1b.0c.1d.2变式2对于函数f(x)=asinx+bx+c(其中a,b∈r,c∈z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是().a.4和6b.3和1c.2和4d.1和22,常考二级结论及其应用结论四若函数y=f(x)是定义在非空数集d上的单调函数,则存在反函数y=f-1(x).特别地,y=ax与y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图像在同一直角坐标系内关于直线y=x对称,即(x,f(x))与(f(x),x)分别在函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)的图像上.00001x!5设点P在曲线y=e上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为().2A.1-ln2B.2(1-ln2)C.1+ln2D.2(1+ln2)变式1若x满足2x+2x1=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=().57A.B.3C.D.422结论五函数周期性问题:已知定义在R上的函数f(x),若对任意的x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a;1(2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a;f(x)(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a;(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.证明:(1),(2),(3)略.(4)若f(x)=f(x+a)+f(x-a)①则f(x+a)=f(x+2a)+f(x)②①+②得,f(x)+f(x+a)=f(x+a)+f(x-a)+f(x+2a)+f(x),即f(x-a)+f(x+2a)=0,f(x+2a)=-f(x-a),所以f(x+6a)=f[(x+4a)+2a]=-f[(x+4a)-a]=-f(x+3a)=-f[(x+a)+2a]=f[(x+a)-a]=f(x).故f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.1!6已知函数f(x)满足:f(5)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),4则f(2015)=.log2(1-x)(x≤0)变式1定义在R上的函数f(x)满足f(x)={,则f(2017)=f(x-1)-f(x-2)(x>0)().A.-1B.0C.1D.2æ3ö变式2已知定义在R上的函数f(x)满足fçx+÷=-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=è2ø2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2016)+f(2017)=().A.-2B.-1C.0D.13,࢝ଌབྷᆓ临门一脚(含密押三套卷)(理科版)结论六复合函数单调性:已知函数y=f[g(x)]是定义在D上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相同,则y=f[g(x)]在D上是增函数;若f(x)与g(x)的单调性相反,则y=f[g(x)]在D上是减函数,即“同增异减”.特别地,若f(x)是定义域D上的单调函数,且方程f[f(x)]=x在D上有解为x0,则f(x0)=x0.!7对于定义域为[0,1]的连续函数f(x),如果同时满足以下3个条件:(1)对任意的x∈[0,1]总有f(x)≥0;(2)f(1)=1;(3)若x,x,x,都有f(x)≥f(x)+f(x)成立.则称函数f(x)为理1≥02≥01+x2≤11+x212想函数.若函数f(x)为理想函数,假定存在x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f[f(x0)]=x0.求证:f(x0)=x0.变式1设函数f(x)=ex+x-a(a∈R,e为自然对数的底数).若曲线y=sinx上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,则a的取值范围是().-1,1]C.[1,1+e]D.[e-1,e+1]A.[1,e]B.[e变式2若函数y=log(x2a-ax+1)(a>0且a≠1)在(1,2)上为增函数,则实数a的取值范围是.结论七二次函数解析式的三种表达式.2ìïax+bx+c(一般式)ïïæbö24ac-b2二次函数f(x)=íaxç+÷+(a≠0,x∈R)(顶点式).ïè2aø4aïîa(x-x1)(x-x2)(双根式)二次函数的性质.æbùébö(1)当a>0时,f(x)在ç-∞,-úú上为减函数,在êê-,+∞÷上为增函数,è2aûë2aø2bæbö4ac-b且在x=-处取得最小值为fç-÷=,无最大值;2aè2aø4aæbùébö(2)当a<0时,f(x)在ç-∞,-úú上为增函数,在êê-,+∞÷上为减函数,è2aûë2aø2bæbö4ac-b且在x=-处取得最大值为fç-÷=,无最小值;2aè2aø4abb(3)对称轴为x=-,若f(x1)=f(x2),则x1+x2=-.2aa(4)抛物线y=f(x)与y轴的交点为(0,c).4,常考二级结论及其应用!8已知a>0,则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是().1212,1212A.∃x∈R,ax-bx≥ax0-bx0B.∃x∈Rax-bx≤ax0-bx022221212,1212C.∀x∈R,ax-bx≥ax0-bx0D.∀x∈Rax-bx≤ax0-bx02222变式1若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值是.f(x),f(x)≤g(x)变式2定义min[f(x),g(x)]=若函数f(x)=x2{.+tx+s的图像经过两点g(x),f(x)>g(x)(x1,0),(x2,0),且存在整数m,使得m<x1<x2<m+1成立,则().11a.min[f(m),f(m+1)]<b.min[f(m),f(m+1)]>4411C.min[f(m),f(m+1)]=D.min[f(m),f(m+1)]≥44f(x),f(x)>g(x)2变式3设max{f(x),g(x)}={,若函数h(x)=x+px+q(p,q∈R)的图g(x),f(x)≤g(x)像经过不同的两点(α,0),(β,0),且存在整数n,使得n<α<β<n+1成立,则().a.max{h(n),h(n+1)}>1B.max{h(n),h(n+1)}<111C.max{h(n),h(n+1)}>D.max{h(n),h(n+1)}<22结论八经典不等式.(1)对数形式:ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当x=0时取等号;(2)指数形式:ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时取等号.1-x证明:(1)令f(x)=ln(x+1)-x(x>-1),则f'(x)=-1=.x+1x+1令f'(x)=0,解得x=0.f'(x),f(x)随x的变化如表2-1所示.表2-1x(-1,0)0(0,+∞)f'(x)+0-f(x)↗极大值↘所以f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,且当x=0时,f(x)有最大值为0.即∀x>-1,ln(x+1)-x≤f(0)=0,所以ln(x+1)≤x(x>-1)恒成立,当且仅当x=0时取等号.(2)令g(x)=exx-x-1(x∈R),则g'(x)=e-1.令g'(x)=0,解得x=0.g'(x),g(x)随x的变化如表2-2所示.表2-2x(-∞,0)0(0,+∞)g'(x)-0+g(x)↘极小值↗所以g(x)在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数,且当x=0时g(x)有最小值为0.即∀x∈R,exx-x-1≥g(0)=0.所以e≥x+1(x∈R)恒成立,当且仅当x=0时取等号.5,࢝ଌབྷᆓ临门一脚(含密押三套卷)(理科版)1!9已知函数f(x)=,则y=f(x)的图像大致为().ln(x+1)-xA.B.C.D.x,x∈R.求证:曲线y=f(x)与曲线y=12变式1已知函数f(x)=ex+x+1有唯一公共点.2-xx变式2设函数f(x)=1-e.求证:当x>-1时,f(x)≥.x+1结论九函数的对称性:已知函数f(x)是定义在R上的函数.a+b(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图像关于直线x=轴对称,2特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图像关于直线x=a轴对称.æa+bcö(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图像关于点ç,÷中心对称,è22ø特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)的图像关于点(a,b)中心对称.æπö2!10已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图像如图2-2所示,fç÷=-,则f(0)=().è2ø32211A.-B.C.-D.3322图2-26,常考二级结论及其应用变式1已知函数y=g(x)的图像由f(x)=sin2x的图像向右平移φ(0<φ<π)个单位得到,这两个函数的部分图像如图2-3所示,则φ=.图2-3éππù变式2设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间êê,úú上具ë62ûæπöæ2πöæπö有单调性,且fç÷=fç÷=-fç÷,则f(x)的最小正周期为.è2øè3øè6ø结论十三点共线结论:设平面上O,A,B三点不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在→→→→1→实数λ与μ,使得OP=λOA+μOB,且λ+μ=1.特别地,当P为线段AB的中点时,OP=OA+21→OB.2→→证明:先证必要性.如图2-4所示,因为P,A,B三点共线,所以AP∥AB,即存在t∈R,→→→→→→→→→→→→使得AP=tAB,故OP-OA=tOB(-OA),所以OP=OA+tOB-tOA=(1-t)OA+tOB.→→→设1-t=λ,t=μ,则OP=λOA+μOB,且λ+μ=1.→→→→→→再证充分性.若OP=λOA+μOB,且λ+μ=1,则(λ+μ)OP=λOA+μOB,→→→→→→→→即λOP-λOA=μOB-μOP,也即λAP=μPB.所以AP∥PB,故A,P,B三点共线.→→→综上所述,P,A,B三点共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得OP=λOA+μOB,且λ+μ=1.图2-4→→→→→!11在△ABC中,AB=c,AC=b.若点D满足BD=2DC,则AD=().21522112A.b+cB.c-bC.b-cD.b+c333333332→→→变式1若在直线l上存在不同的三点A,B,C,使得关于实数x的方程xOA+xOB+BC=0有解(点O不在直线上),则此方程的解集为().A.∅B.{-1,0}-1+5-1-5C.{-1}D.{,}22变式2已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=.7,࢝ଌབྷᆓ临门一脚(含密押三套卷)(理科版)结论十一→,OB→不共线,且点P为线段AB的中点,则OA→→→2→2→2→21.若向量OA·OB=|OP|-|PA|=|OP|-|PB|=→2→2æABö|OP|-ç÷;è2ø→2→2→2→2(点O为平面内一点).2.在矩形ABCD所在平面内,向量|OA|+|OC|=|OB|+|OD|→→→→证明:1.如图2-5所示,在△OAB中,因为点P为线段AB的中点,所以PA+PB=0,故OA·OB=→→→→→→→→→2→2→2→2(OP+PA)·(OP+PB)=(OP+PA)·(OP-PA)=|OP|-|PA|=|OP|-|PB|=→2→2æABö|OP|-ç÷.è2ø2.如图2-6所示,设矩形ABCD的对角线AC与BD的交点为点P,则点P为AC和BD的中点.因为OA→→→,OA→→→,则(OA→→)2→→)2→2→2,+OC=2OP-OC=CA+OC+(OA-OC=4|OP|+|CA|→2即2(|OA→2→2)=4|OP→2→2,所以|OA→2→2→2|CA||+|OC||+|CA||+|OC|=2|OP|+.2→2同理,|OB→2→2→2|BD|→→→2→2→2→2||OD|=2|OP|+.又|AC|=|BD|,所以|OA|+|OC|=|OB|+|OD|.2图2-5图2-6→→!12在△ABC中,点M是BC的中点,AM=3,BC=10,则AB·AC=.1变式1在△ABC中,设点P0是AB边上一定点,满足P0B=AB,且对于AB边上任一点P,恒有4→→→→PB·PC≥P0B·P0C,则().A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC→→变式2点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则PA·PC1的取值范围是().é1ùé11ùé1ùA.êê-1,-úúB.êê-,-úúC.[-1,0]D.êê-,0úúë4ûë24ûë2û变式3已知圆M:x2222+(y-1)=1,圆N:x+(y+1)=1,直线l1,l2分别过圆心M,N,且l1与圆22yxM相交于A,B两点,l2与圆N相交于C,D两点,点P是椭圆+=1上的任意一动点,则43→→→→PA·PB+PC·PD的最小值为.→→→→→→→→1→!13在平面上,AB1⊥AB2,OB1=OB2=1,AP=AB1+AB2.若OP<,则OA的取值2范围是().æ5ùúæ57ùúæ5ùúæ7ùúA.ç0,úB.ç,úC.ç,2úD.ç,2úè2ûè22ûè2ûè2û8,常考二级结论及其应用22|PA|+|PB|变式1在Rt△ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则2=().|PC|A.2B.4C.5D.10结论十二若数列{a}为等差数列⇔a(n≥2,n∈N*)⇔a(n∈N*)⇔2ann-an-1=dn+1-an=dn+1=an+an+2对任意n∈N*恒成立⇔通项公式a(k,b为常数,n∈N*)为一次型⇔前n项和公式n=kn+bSn2*)为二次型⇔数列也为等差数列.Sn=An+Bn(A,B为常数,n∈N{}nSn已知等差数列{an},其公差为d,前n项和为Sn,求证:{}也为等差数列.n(a1+an)·nn(n-1)证明:由通项公式an=a1+(n-1)d知,其前n项和为Sn==na1+·d=22d2ædö*Snddn+ça1-÷n(n∈N),所以=n+a1-①2è2øn22Sn-1dædö当n≥2时,=(n-1)+ça1-÷②n-12è2øSnSn-1d*SnS1d式①-式②得,-=(n≥2,n∈N).所以数列{}是以=a1为首项,为公差的nn-12n12等差数列.S3S2!14已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足-=1,则数列{an}的公差是().321A.B.1C.2D.32变式1已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=100,S100=10,则S110=.结论十三已知等差数列{a}的前n项和为S,等比数列{b}的前n项积为T,m,n,s,t∈N*nnnn.(1)若m+n=2t,则a,b·b2;m+an=2atmn=bt(2)S(2n-1)·a,T2n-1;2n-1=n2n-1=bnanS2n-1(3)等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=.bnT2n-1!15在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=().A.58B.88C.143D.176变式1等差数列{a}的前n项和为S已知a2,S,则m=.nn.m-1+am+1-am=02m-1=38An7n+45*变式2已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=(n∈N),则使Bnn+3an得为整数的正整数n的个数是().bnA.2B.3C.4D.59,࢝ଌབྷᆓ临门一脚(含密押三套卷)(理科版)结论十四已知等比数列{an},公比为q,前n项和为Sn.11(1)数列{}也为等比数列,其公比为;anq(2)若q=1,则S,且{a}同时为等差数列;n=na1nn)a1(1-qa1-anqa1a1æa1önn(3)若q≠1,则Sn===-·q=λ-λ·qçλ=÷.1-q1-q1-q1-qè1-qø1!16已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列{}的前5项和an为().15313115A.或5B.或5C.D.81616831111111变式1在等比数列{an}中,公比为q,其前n项和为Sn.已知S5=,a3=,则++++=164a1a2a3a4a5.!}的前n项和为S,已知对任意的n∈N*,点(n,S)均在函数y=bx17等比数列{annn+r(b>0且b≠1,b,r为常数)的图像上,求r的值.变式1已知等比数列{a}的前n项和Sn-21,n∈N*,则实数t=().nn=t·5-541A.4B.5C.D.55变式2设f(n)=3+33572n+9+3+3+…+3(n∈Ν),则f(n)=.结论十五已知数列{an}的前n项和为Sn,前n项乘积为Tn.(1)若{a}为等差数列,公差为d,则S,S,S,…,仍为等差数列,公差为n2nn2n-Sn3n-S2nd;(2)若{a}为等比数列,公比为q,则S,S,S,…,仍为等比数列(当n为偶数时,nn2n-Sn3n-S2nn;q≠-1),公比为qT2nT3n(3)若{a}为等比数列,公比为q,则T,,,…,仍为等比数列,公比为qn2nn.TnT2n10,常考二级结论及其应用S6S9!18设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=().S3S678A.2B.C.D.333变式1设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S6=().A.31B.32C.63D.64S41S8变式2设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=().S83S163111A.B.C.D.10398结论十六222,点P(a,b),直线l:(a-m)(x-m)+(b-n)(y-1.已知圆O的方程为(x-m)+(y-n)=R2n)=R.(1)若点P在圆O上,则直线l与圆O相切,点P为切点,l为切线.(2)若点P在圆O外,则直线l与圆O相交,两交点分别为过点P作圆的两切线的切点,l为切点弦所在的直线.(3)若点P在圆O内(不是圆心),则直线l与圆O相离,圆心到直线l的距离d满足R2=|OP|·d.2.过圆或圆锥曲线上一点P(x0,y0)的切线方程.(1)过圆C:(x-a)222上一点P(x,y)的切线方程为+(y-b)=R00(x)(x-a)+(y)(y-b)=R20-a0-b.22xyx0xy0y(2)过椭圆2+2=1上一点P(x0,y0)的切线方程为2+2=1.abab(3)过抛物线C:y2=2px(p≠0)上一点P(x0,y0)的切线方程为y0y=p(x+x0).23.已知点M(x0,y0),抛物线C:y=2px(p≠0)和直线l:y0y=p(x+x0).(1)当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切,其中点M为切点,l为切线.(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线.(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.理解:(1)求过圆锥曲线上(或外)一点的切线方程时,可以借助直线与圆锥曲线的位置关系的解题套路(联立方程,看判别式).(2)在求过圆外一点P(x,y)的圆的切线方程时,应注意理解如下两点:00①所求切线一定有两条;②设直线方程之前,应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.!2219过点(3,1)作圆(x-1)+y=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为().A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0变式1已知点M(a,b)在圆O:x22+y=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是().A.相切B.相交C.相离D.不确定22xyæ1ö22变式2若椭圆2+2=1的焦点在x轴上,过点ç1,÷作圆x+y=1的切线,切点分别为A,B两abè2ø点,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是.11,࢝ଌབྷᆓ临门一脚(含密押三套卷)(理科版)结论十七22xy1.在椭圆E:2+2=1(a>b>0)中.ab(1)如图2-7所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',2b有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=-2.a(2)如图2-8所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,点P为椭圆上异于A,B的点,若直线2bPA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=-.2a(3)如图2-9所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,点P为弦AB的2b中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=-2.a22xyx0xy0y注:(1)常变形为:椭圆2+2=1上任意一点(x0,y0)处的切线方程为2+2=1;abab222xybx0(3)常变形为:椭圆2+2=1内以任意一点(x0,y0)为中点的弦AB的斜率k=-2·.abay0图2-7图2-8图2-922xy2.在双曲线E:2-2=1(a>0,b>0)中,类比上述结论有:ab222bbb(1)k0·k=2;(2)k1·k2=2;(3)k0·k=2.aaa2p3.在抛物线C:y=2px(p>0)中类比1(3)的结论有k=(y0≠0).y0证明:1.(1)首先由椭圆的对称性知l∥l'.设A(x1,y1),B(x2,y2),由结论十六3知,直线l的方程222x1xy1ybx1y1y1æbx1öb为2+2=1,则k0=-2.又k=,则k0·k=·ç-2÷=-2(切线问题).abay1x1x1èay1øa(2)设A(x,y),则B(-x,-y),P(x,y),x≠±x,0000022222222x0y0xyx-x0y-y0则2+2=1,2+2=1,则2+2=0,ababab222y-y0y+y0y-y0b所以k1·k2=·=22=-2(中心弦问题).x-x0x+x0x-x0a(3)如图2-10所示,联结BO并延长,交椭圆E于另一点Q,联结AQ,因为点P为AB的中点,由椭圆的对称性知点O为BQ的中点,则OP为△BAQ的中位线,所以k0=kAQ.又k=kAB,所以由结论十七1(2)22bb图2-10知,kAQ·kAB=-2,即k0·k=-2(中点弦问题).aa2.双曲线与抛物线中的相关结论请读者们自己证明.12,常考二级结论及其应用2x2!20直线m与椭圆+y=1分别交于点P1,P2,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为2k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1·k2的值为().11A.2B.-2C.D.-22变式1过抛物线y2=4x的焦点作直线与此抛物线相交于P,Q两点,那么线段PQ中点的轨迹方程是().2222A.y=2x-1B.y=2x-2C.y=-2x+1D.y=-2x+222xy!21已知椭圆E:2+2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.ab若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为().22222222xyxyxyxyA.+=1B.+=1C.+=1D.+=145363618271818922xy变式1椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上且直线PA2的斜率的取值范围是43[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是().é13ùé33ùé1ùé3ùA.êê,úúB.êê,úúC.êê,1úúD.êê,1úúë24ûë84ûë2ûë4û22xy变式2如图2-11所示,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的直线交椭圆+=1于P,A两42点,其中点P在第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为点C,联结AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.对任意k>0,求证:PA⊥PB.结论十八图2-11在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA与直线PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.22xy(1)如图2-12所示,已知椭圆2+2=1(a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,设A,Bab是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0,则直线AB的斜2bx0率kAB为定值.2ay022xy(2)如图2-13所示,已知双曲线2-2=1(a,b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,设A,abB是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0,则直线AB2bx0的斜率kAB为定值-.2ay0(3)如图2-14所示,已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0,则直线AB的p斜率kAB为定值-.y013,࢝ଌབྷᆓ临门一脚(含密押三套卷)(理科版)yyPPOxOAxABB图2-14图2-12图2-13下面以双曲线为例给出证明,椭圆与抛物线中的相关证明方法可参考本结论后面的例题和变式.证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线PA的方程为y=k(x-x0)+y0,令m=y0-kx0,ìïy=kx+mï联立方程í22,整理得(b22k2)x22kmx-a2m22b2xy-a-2a-a=0,ïï2-2=1îab22222(y)2222(y)222am+aba0-kx0+aba0+kx0+ab则x1x0=-222,解得x1=-(b222)x,同理x2=-(b222)x.b-ak-ak0-ak0y2-y1(-kx2+y0+kx0)-(kx1+y0-kx0)2kx0-k(x1+x2)故直线AB的斜率kAB====x2-x1x2-x1x2-x12bx0-为定值.2ay022xyæ3ö!22已知椭圆C:+=1,点A为椭圆上的定点,若其坐标为Aç1,÷,E,F是椭圆C上的两个动点,43è2ø如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.求证:直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.变式1已知抛物线C:y2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.求证:直线AB的斜率kAB为定值,并求出该定值.14,常考二级结论及其应用结论十九若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.具体结论及证明如下:22xy(1)对于椭圆2+2=1(a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点ab22ææa-böö(a,0),则直线lAB过定点çç22÷a,0÷.同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线èèa+bøø22ææa-böölAB过定点ç-ç22÷a,0÷.èèa+bøø22xy(2)对于双曲线2-2=1(a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶ab22ææa+böö点(a,0),则直线lAB过定点çç22÷a,0÷.同理,对于左顶点(-a,0),则定点èèa-bøø22ææa+böö为ç-ç÷a,0÷.22èèa-bøø2→→(3)对于抛物线y=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若OA·OB=0,则弦AB所在直线过定2→→点(2p,0).同理,抛物线x=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若OA⊥OB,则弦AB过定点(0,2p).下面以椭圆为例给出证明,双曲线和抛物线的证明方法可参考本结论后面的例题和变式.证明:如图2-15所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),A1(a,0),设直线l的方程为x=ty+m(m≠a).22xy联立2+2=1,消x得(a222)y222222{ab+bt+2bmty+bm-ab=0,x=ty+m22222)(b2222)>0yìïΔ=(2bmt)-4(a+btm-ab2Aï2bmtïy1+y2=-222A1ía+bt(*)Oxïb2(m2-a2)ïyBï1y2=222îa+bt→→因为以AB直径的圆过椭圆的右顶点A1,所以A1A·A1B=0,图2-15即(x1-a,y1)·(x2-a,y2)=0,即x(x)+a21x2-a1+x2+y1y2=0,(ty)(ty)-a[t(y)+2m]+a21+m2+m1+y2+y1y2=0,整理得(t22+1)y1y2+(m-a)t(y1+y2)+(m-a)=0.(t22(m22)2+1)b-a-2bmt2将式(*)代入上式得222+(m-a)t·222+(m-a)=0,a+bta+bt(a22)a(a22)a-bæ-bö化简得m=,因此直线l过定点ç,0÷.2222a+bèa+bø22)æ-a(a-bö同理可证,若以AB为直径的圆过左顶点(-a,0),则l过定点ç,0÷.22èa+bø22xy类比椭圆,对于双曲线2-2=1(a,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,若以AB为直径的圆过右ab22)æa(a+bö顶点(a,0),则lAB过定点ç22,0÷.同理,若该圆过左顶点(-a,0),则lAB过定èa-bø22)æ-a(a+bö点ç,0÷.22èa-bø下面以一道例题和三道变式题来说明一下该结论.15,࢝ଌབྷᆓ临门一脚(含密押三套卷)(理科版)22xy!23已知椭圆+=1,直线l:y=kx+m与椭圆交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以43AB为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.变式1已知抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B满足以AB为直径的圆过顶点.求证:AB所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.变式2如图2-16所示,点O为坐标原点,直线l在x轴上的截距为a(a>0),且交抛物线y2=2px(p>0)于M(x,y),N(x,y)两点,当a=2p时,求∠MON的大小.1122图2-16变式3已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB=90°,则a的取值范围为.16,常考二级结论及其应用结论二十2pAB是过抛物线y=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过点A,B分别作准线l:x=-的垂线,垂2足分别为点A1,B1,点E为A1B1的中点.(1)如图2-17所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E;(2)如图2-18所示,以A为直径的圆与弦AB相切于点F,且EF21B1=A1A·BB1;(3)如图2-19所示,以AF为直径的圆与y轴相切.图2-18图2-19图2-17证明:(1)如图2-17所示,由抛物线的定义知,AA1=AF,BB1=BF,设点P为弦AB的中点,则EP=AA1+BB1AB=,故点E在以AB为直径的圆上.又EP∥AA1,所以EP⊥A1B1,故准线与圆P22相切,切点为E.(2)如图2-18所示,联结A1F,B1F,由抛物线定义知,AA1=AF,所以∠AA1F=∠AFA1.同理∠BB1F=∠BFB1.又因为AA1∥BB1,所以∠B1BF+∠A1AF=180°,故2∠AFA1+2∠BFB1=180°,即∠B1FA1=90°,亦即A1F⊥B1F.因此点F在以A1B1为直径的圆上,则EA1=EF=EB1,所以∠BFE=∠EFB1+∠BFB1=∠EB1F+∠BB1F=90°,即EF⊥BF,所以EF⊥AB,故以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F.结合本结论(1)可知,AE⊥BE.又在Rt△AEB中,EF⊥AB,所以Rt△BEF∽Rt△EAF,即BFEF2=,所以EF=AF·BF=AA1·BB1.EFAF(3)如图2-19所示,设准线与x轴的交点为F,AF的中点为P,过点P作PQ⊥y轴,垂足为点Q,1AA1+FF1AA1pAA1延长PQ交准线l于点P1,则由点P为AF的中点知,PP1==+,即PQ==2222AF,所以点Q在以AF为直径的圆上.又PQ⊥y轴,所以以AF为直径的圆与y轴相切,切点为Q.2!224已知抛物线C:y=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若→→MA·MB=0,则k=().12A.B.C.2D.222变式1过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N两17,࢝ଌབྷᆓ临门一脚(含密押三套卷)(理科版)p点,自点M,N向直线l:x=-a作垂线,垂足分别为点M1,N1.当a=时,求证:AM1⊥AN1.2结论二十一焦点三角形的面积:22xy(1)在椭圆2+2=1(a>b>0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则△PF1F2的面ab2θ积S△PF1F2=b·tan,其中θ=∠F1PF2;222xy(2)在双曲线2-2=1(a>0,b>0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则ab2b△PF1F2的面积S△PF1F2=,其中θ=∠F1PF2.θtan21证明:(1)若△PF1F2为一般三角形,如图2-20所示,则S△PF1F2=|PF1||PF2|sinθ(用θ表示2222∠F1PF2).由余弦定理得|PF1|+|PF2|-2|PF1||PF2|cosθ=|F1F2|.又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c,所以(|PF)22,1|+|PF2|-2|PF1||PF2|(1+cosθ)=4c所以2|PF(1+cosθ)=4a222,1||PF2|-4c=4b22b1|PF1||PF2|=,所以S△PF1F2=|PF1||PF2|sinθ=1+cosθ22θθ22bsincos图2-20bsinθ222θ==btan.1+cosθ2θ22cos2(2)双曲线中的相关结论请同学们自己证明.2x2!25如图2-21所示,F1,F2是椭圆C1:+y=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在4第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是().A.2B.336C.D.22图2-2118,常考二级结论及其应用22xy→变式1已知F1,F2是椭圆C:2+2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1⊥ab→PF2.若△PF1F2的面积为9,则b=.22y→→变式2已知双曲线x-=1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上且MF1·MF2=0,则点M到x轴2的距离为().4523A.B.C.D.33332222xyxy变式3已知椭圆2+2=1与双曲线2-2=1有相同的焦点F1和F2,它们的一个交点为P,设abmnn∠F1PF2=2α,求证:tanα=.b19,࢝ଌབྷᆓ临门一脚(含密押三套卷)(理科版)!3第二篇常考二级结论及其应用解析因为A∩B={b},所以(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)={a,c,d}.!1例3变式1x2y2解析因为(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B),即集解析由题意知,集合A为椭圆+=1上416合∁U(A∩B)中有n个元素.又全集U中有m所有点的集合,集合B是指数函数y=3x图个元素,所以A∩B中有m-n个元素.像上所有点的集合.故选D.如图2-22所示,由图知集合A∩B中有2个元评注本题若结合Venn图求解会更快捷.素,故A∩B的子集个数是22例3变式2=4.故选A.解析(1)因为�(p∨q)=(�p)∧(�q),即�(p∨q):A≠0且B≠0.(2)因为�(p∧q)=(�p)∨(�q),即�(p∧q):A≠0或B≠0.评注(1)p∨q:A=0或B=0⇔AB=0,�(p∨q):AB≠0⇔A≠0且B≠0.(2)p∧q:A=0且B=0⇔A22+B=0,22�(p∧q):A+B≠0⇔A≠0或B≠0.!4图2-22(x+1)(x-4)+tanx解析f(x)==1+2x-4例1变式1tanx-3x,设g(x)=tanx-3x22.x-4x-4解析由题意知A={1,2},B={1,2,3,4},因tan(-x)+3x为A⊆C⫋B,所以集合C是集合{1,2}与集因为g(-x)=2=-g(x),x-4合{3,4}的任意一个真子集的并集,即求集合即g(x)为定义域上的奇函数.{3,4}的真子集的个数,故集合C的个数为2所以g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2-1=3.故选C.[g(x)+1][g(x)+1](x)max+min=2+gmax+!2g(x)min=2.解析如图2-23所示,若N∩∁IM=∅,例4变式1则N⊆M,所以M∪N=M.故选A.解析令g(x)=ln(1+9x2-3x),x∈R,则2g(-x)=ln(1+9x+3x).因为g(x)+g(-x)=ln(1+9x2-3x)+222)=ln(1+9x+3x)=ln(1+9x-9x图2-23ln1=0,所以g(x)是定义在R上的奇函数.例2变式11æ1ö又lg=-lg2,所以g(lg2)+gçlg÷=0,解析由题意知A={1,5},若A∩B=B,2è2ø则B⊆A.æ1öæ1öf(lg2)+fçlg÷=g(lg2)+1+gçlg÷+è2øè2ø①若B=∅,则a=0;1=2.故选D.②若B≠∅,则1∈B或5∈B,即a-1=0或例4变式215a-1=0,解得a=1或a=.故集合C=5解析令g(x)=asinx+bx,x∈R,则g(-x)=1asin(-x)-bx=-g(x),即g(x)是定义在R{0,1,}.故选C.上的奇函数.5评注求解本题要注意∅⊆A.故g(-1)+g(1)=0,所以f(1)+f(-1)=160,参考答案g(1)+c+g(-1)+c=2c.点Q的横坐标,所以P(t1,2t1),Q(t2,log2t2).又c∈Z,所以f(1)+f(-1)=2c为偶数,故因为函数y=2t与y=log互为反函数,所以点2t一定不可能是1和2.故选D.P,Q关于直线y=x轴对称,即t1=log2t2,t1,所以tt1!5t2=21+t2=t1+2=t1+æ3ö3解析由题意知函数y=1x与y=ln(2x)互ç-t1÷=.所以x1+x2=t1+1+t2+1=eè2ø22为反函数,其图像关于直线y=x对称,如图3+2=7.故选C.222-24所示.两曲线上点之间的最小距离P0Q0恰好是1x上点的最小距离的2倍,y=x与y=e21设y=x上点P(x,y)处的切线与y=xe00021平行,有x0e=1,解得x0=ln2,y0=1,21所以y=x与y=x上点的最小距离,即为e22点P0到直线y=x的距离,且为(1-ln2),图2-252!62故PQ的最小值为(1-ln2)2=2(1-21解析因为f(5)=,且4f(x)f(y)=ln2).故选B.4f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),所以令y=5,则f(x)=f(x+5)+f(x-5)①故f(x+5)=f(x+10)+f(x)②由①+②得f(x+10)+f(x-5)=0,即f(x+10)=-f(x-5),得f(x+15)=-f(x),T=30.1因此f(2015)=f(5+3067)=f(5)=.4例6变式1解析当x>0时,有图2-24f(x)=f(x-1)-f(x-2)①例5变式1同理有f(x+1)=f(x)-f(x-1)②5①+②得f(x+1)=-f(x-2),解析因为2x+2xx-1=5,所以x+2=.2即f(x+3)=-f(x).5所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),T=6.同理x+log2(x-1)=,令t=x-1,则x=2于是f(2017)=f(1+6336)=f(1)=3t的解,t是t+logf(0)-f(-1)=logt+1,即t1是t+2=22t=21-log22=0-1=-1.2故选A.3的解,且t1=x1-1,t2=x2-1.如图2-25所例6变式223æ3ö示,t为函数y=2t与y=-t图像交点P的解析因为fçx+÷=-f(x),12è2ø3æ3ö横坐标,t2为函数y=log2t与y=-t图像交所以f(x+3)=-fçx+÷=f(x),T=3.2è2ø161,࢝ଌབྷᆓ临门一脚(含密押三套卷)(理科版)则有f(1)=f(-2)=-1,f(2)=f(-1)=-1,f(3)=f(0)=2,于是f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(1)+f(2)+…+f(2016)+f(2017)=[f(1)+f(2)+f(3)]+…+[f(2014)+f(2015)+f(2016)]+f(2017)=672[f(1)+f(2)+f(3)]+f(2017)=f(1+3672)=f(1)=f(-2)=-1.故选B.!7()(ਵ)解析假设f(x0)=t,则f[f(x0)]=f(t)=图2-26x0.当x0>t时,由条件(3)可推出函数f(x)在[0,1]上非减,所以f(x0)≥f(t),即t≥éaö②当a>1时,抛物线t=g(x)在êê,+∞÷上为x0,与x0>t矛盾,故当x0>t时不成立.ë2ø同理,当x0<t时,有f(x0)≤f(t),即t≤x0,增函数,y=f(t)在(0,+∞)上为增函数,若复合函数y=log(x2与x0<t矛盾.综上所述,t=x0,故f(x0)=x0.a-ax+1)在(1,2)上为增函数,则需g(x)在(1,2)上单调递增,且例7变式1ìïa解析令t=g(x)=ex≤1+x-a,则y=t(t≥ïï2xg(1)≥0,即í,解得1<a≤2.0).g'(x)=e+1,因为g'(x)>0恒成立,ï2-a≥0ï所以g(x)在定义域上为增函数,幂函数y=îa>11综上所述,实数a的取值范围是(1,2].t=t2在[0,+∞)上也为单调增函数,评注复合函数利用“同增异减”判断其单调性由复合函数的单调性可知f(x)=时,一定要注意单调区间是定义域的子集.就xe+x-a在定义域上为增函数.若曲线y=本题而言,g(x)在(1,2)上的函数值均为正数sinx上存在点(x0,y0)使得f[f(y0)]=y0成才有意义.立,即存在y0∈[-1,1]使得f[f(y0)]=y0!8成立,由结论六知,方程f(x)=x在[-1,1]bx解析由已知得ax0=b,即x0=.观察选项,上有解,即∃x∈[-1,1],使得e+x-a=x,a亦即a=ex2在[0,1]上有解.令h(x)=1+x-x发现与二次函数f(x)=2ax-bx(a>0,2x2,x∈[0,1],h'(x)=exe+x-x+1-2x.x∈R)有关.当x∈[0,1]时,h'(x)>0恒成立,故h(x)在结合如图2-27所示图形可知,抛物线y=f(x)[0,1]上单调递增,所以h(x)∈[h(0),h(1)]=bæbù[1,e],即a∈[1,e].故选A.的对称轴为x=,在ç-∞,úú上单调递减,在aèaû例7变式2éböbêê,+∞÷上单调递增.若x0=,则∀x∈R,都解析令t=g(x)=x2ëaøa-ax+1,则y=f(t)=logat.11①当0<a<1时,抛物线t=g(x)的对称轴有f(x)≥f(x),即220ax-bx≥ax0-bx0.22aæ1öx=∈ç0,÷.如图2-26所示,g(x)在(1,12122è2ø反之,若∀x∈r,ax-bx≥ax0-bx0恒222)上为增函数,而y=f(t)在(0,+∞)上为减b函数.所以复合函数y=f[g(x)]=log(x2成立,则f(x0)为f(x)的最小值,即x0=.a-aax+1)在(1,2)上单调递减,与已知条件不符.故选c.162,参考答案{xx>-1且x≠0},所以排除选项D;令g(x)=ln(x+1)-x,则由经典不等式ln(x+1)≤x知,g(x)≤0恒成立,故f(x)=1<0恒成立,所以排除A,C.故选B.g(x)例9变式1图2-27æ1ö2解析令g(x)=f(x)-çx+x+1÷=例8变式1è2ø解析因为f(x)的图像关于直线x=-2对1x2xe-x-x-1,x∈Rg.'(x)=e-x-1,称,且f(1)=f(-1)=0,即x1=-1,x2=12由经典不等式ex是函数f(x)的两个零点,≥x+1(x∈R)恒成立可知,所以方程x2+ax+b=0也有两解,分别为g'(x)≥0恒成立,所以g(x)在R上为单调递x3=-3,x4=-5.增函数,且g(0)=0,故函数g(x)有唯一零点,则f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)=-(x+1)(x-即两曲线有唯一公共点.221)(x+3)(x+5)=-(x+4x+3)(x+4x-5).例9变式2令t=x2+4x,t∈[-4,+∞),y=-(t+3)·x(t-5)=-(t22解析x>-1时,f(x)≥⇔x>-1,-2t-15)=-(t-1)+16.x+1所以当t=1,即x2+4x=1时,f(x)有最大xx-x-x(x>-1)⇔1-e≥⇔1-≥e值16.x+1x+1例8变式211x≥(x>-1)⇔x+1≤e(x>-1).xx+1e解析依题意f(x)=(x-x1)(x-x2),由经典不等式ex≥x+1(x∈R)恒成立可知,min[f(m),f(m+1)]≤f(m)f(m+1).xx>-1时,e≥x+1,即x>-1时,f(x)≥令x1-m=x,x2-m=y,则有0<x<y<1,xf(m)=(m-x1)(m-x2)=xy,f(m+1)=.x+1(m+1-x)(m+1-x)=(1-x)(1-y),12!10所以f(m)f(m+1)=xy(1-x)(1-y)<æx+1-xö2æy+1-yö21解析依题意,易知函数y=f(x)的最小正周ç÷ç÷=,2è2øè2ø4æ11π7πö2π期为t=2ç-÷=,所以f(0)=故min[f(m),f(m+1)]≤f(m)f(m+1)<è1212ø31æ2πö.故选a.fç÷.因为函数y=f(x)的图像关于点4è3ø例8变式32ππ+æ7πö327π解析依题意,设h(x)=(x-α)(x-β),ç,0÷中心对称.又=,è12ø212max{h(n),h(n+1)}≥h(n)h(n+1).æ2πöæπö22令α-n=x,β-n=y,则有0<x<y<1,所以fç÷=-fç÷=,所以f(0)=.è3øè2ø33h(n)=(n-α)(n-β)=xy,故选b.h(n+1)=(n+1-α)(n+1-β)=(1-x)(1-例10变式1y),显然,h(n),h(n+1)都小于1,所以解析由题意知f(x)与g(x)的最小正周期均为max{h(n),h(n+1)}<1.故选b.π.其中f(x)图像上的点a,b平移后对应g(x)!9图像上的c,d两点.又a,b两点关于直线x+1>0πxB+xAπ3π解析因为f(x)的定义域为{,即x=对称,所以=,解得xB=.ln(x+1)-x≠04248163,࢝ଌབྷᆓ临门一脚(含密押三套卷)(理科版)→→17π17π3π17π-9ππ评注在平面OAB内,向量OA与OB不共线,若又xD=,所以φ=-==.24248243→→→点P为平面内任意一点,且OP=λOA+μOB,例10变式2λ,μ∈R.如图2-30所示,点P0为线段AB的解析记f(x)的最小周期为T,因为f(x)在区中点,则有以下相关结论:éππùTππ(1)若点P在线段AP0上(不含端点),则0<间êê,úú上具有单调性,所以≥-=ë62û2261μ<<λ<1,且λ+μ=1.π2πæπöæ2πöæπö2,即T≥.又fç÷=fç÷=-fç÷,(2)若点P在线段BP上(不含端点),则0<33è2øè3øè6ø02πππ1且-=<t,可作出函数f(x)的示意λ<2<μ<1,且λ+μ=1.326图如图2-28所示(一种情况):(3)若点p在ba的延长线上,则λ>1,μ<0,且λ+μ=1.æππö1πæπ2πö所以x1=ç+÷=,x2=ç+÷(4)若点P在AB的延长线上,则λ<0,μ>1,è26ø23è23ø且λ+μ=1.17πT7πππ=,于是=x2-x1=-=,(5)若点P在△OAB内部(不含边界),则0<21241234λ<1,0<μ<1,且0<λ+μ<1.故T=π.1y(6)若点P在OP0的延长线上,则λ=μ>.2总之,①若点P与点O在直线AB同侧,且π→→→6OP=λOA+μOB,则λ+μ<1;Ox1πx22πx②若点P与点O在直线AB两侧,且OP→=23→→λOA+μOB,则λ+μ>1;→→→௵若点P在直线AB上,且OP=λOA+μOB,则λ+μ=1,且点P与A,B两点间的距离大小图2-28→→与OA,OB的系数(即λ,μ)的大小相反.æπöæπö评注fç÷=-fç÷,且在同一单调区间内,è2øè6øæπæπööæπæπöö故相应两点ç,fç÷÷,ç,fç÷÷关于点è6è6øøè2è2øøæπöæ2πö(x1,0)中心对称,fç÷=fç÷,且在同一è2øè3ø周期内,故相应两点关于直线x=x2轴对称.图2-30!11→解析如图2-29所示,在△ABC中,因为BD=例11变式1→,所以BD→→,且BD=2DC,即点2→→→2DC∥DC解析由于xOA+xOB+BC=0,→→→2→→→→D为线段BC的三等分点.故AD=AB+BD=即xOA+xOB+OC-OB=0,→2→→→→2→→2→→1→所以OC=-xOA-xOB+OB=AB+BC=AB+(AC-AB)=AB+→→333-x2OA+(1-x)OB.2→12因为A,B,C三点共线,所以-x2+(1-x)=AC=c+b.故选A.3331,解得x=0或-1.2→→→→当x=0时,xOA+xOB+BC=0,即BC=0不合题意,所以x=-1.故选C.图2-29164,参考答案例11变式2例12变式2→→解析如图2-31所示,设OA=a,OB=b,因为解析如图2-34所示,在正方体ABCD→单位向量a,b的夹角为60°,所以△OAB为等A1B1C1D1中,设AC1的中点为点Q,则PA·边三角形.又c=ta+(1-t)·b,设OC→=c,则A,→→2→2PC1=PQ-QA.B,C三点共线.又b·c=0,所以过点O作OB因为正方体棱长为1,所以中心Q与底面的垂线与BA的延长线交于点C,易知AC=A1B1C1D1内任一点连线的线段PQ的长度→AB,即点A为BC的中点,所以c=a+AC=éê13ùú→3→→→取值范围为ê,ú,且QA=,a+BA=a+(OA-OB)=2a-b.故t=2.ë22û2→→→23é1ù所以PA·PC1=PQ-∈êê-,0úú.故选D.4ë2û图2-31图2-34!12例12变式3解析如图2-32所示,因为点M为BC的中点,所→→→2→2解析PA→·PB→=(PM→+MA→)·(PM→+MB→)=以AB·AC=AM-MC=9-25=-16.(PM→→)·(PM→→)=PM→2→2+MA-MA-MA=→2→·PD→→2PM-1,同理PC=PN-1,→·PB→→·PD→→2→2则PA+PC=PM+PN-2=(PM→→2→→2+PN)-2PMPN-2=(2a)-→→→→2-2PMPN=14-2PMPN.图2-32→→2→→æPM+PNö2例12变式1又PMPN≤ç÷=a=4,当è2ø→解析如图2-33所示,取BC中点为点Q,则P0B·→→且仅当PM=PN时等号成立.→→2→2→→→→P0C=P0Q-QC.同理,边AB上任作一点故PA·PB+PC·PD≥14-24=6.故填6.→·PC→→2→2→·P,有PB=PQ-QC.因为PB!13→→·P→,所以PQ→2→2PC≥P0B0C-QC≥→→→解析如图2-35所示,因为AB1⊥AB2,AP=→2→2,即PQ→2→2恒成立,→→P0Q-QC≥P0QAB1+AB2,所以四边形AB1PB2为矩形.亦即PQ→≥P→,所以P,当点→→→2→20Q0Q⊥AB又因为OB1=OB2=1,所以OA+OP=P为AB中点时,则PC⊥AB,即△ABC为等→2→2→2→2OB1+OB2=2.所以OA=2-OP.腰三角形,且CA=CB.故选D.→1→2æ7ù又因为OP<,所以OA∈ç,2úú,2è4û→æ7ùú即OA∈ç,2ú.故选D.è2û例13变式1→解析如图2-36所示,在△ABC中,设CA+→→CB=CE,则四边形ACBE为平行四边形.又∠ACB=90°,所以四边形ACBE为矩形,图2-33则PC→2→2→2→2+PE=PA+PB.又点P为CD165,࢝ଌབྷᆓ临门一脚(含密押三套卷)(理科版)2222PA+PBPC+PE例15变式2中点,所以==22PCPC解析因为{an}和{bn}都是等差数列,所以a1+22PC+(3PC)(a)(2n-1)2=10.故选D.1+a2n-1PCa2n-1=2an,所以A2n-1==2(2n-1)a(n∈N*).同理B(2n-1)b,所n2n-1=nanA2n-17(2n-1)+4512以===7+(n∈bnB2n-12n+2n+1an*).所以要使得为整数,正整数n可能的值为Nbn1,2,3,5,11,共5个.故选D.图2-35图2-36!16!14解析设数列{an}的公比为q,若q=1,则S3=n(a1+an)Sna1+an解析因为Sn=,所以==3,S6=6,9S3≠S6,与已知矛盾,故q≠1.所以有2n23)69(1-q1-q,即9=1+q3dS3S2d=.解得q=2.a1+(n-1),那么-==1,得d=2.1-q1-q232211故选C.所以数列{}是首项为1,公比为的等比数an2例14变式15æ1ö1-ç÷解析因为{a}是等差数列,所以Sn也为等è2ø31n{n}列,其前5项和为=.故选C.1161-Sn2差数列,令bn=,公差为d,n评注这里由于项数不多,可用和定义列方程,故bS10S1001,不必分情况.9(a1+a2+a3)=a1+a2+…+10==10,b100==1010010a6,所以q=2,下同.1-10例16变式1b100-b101011则d===-,所以解析解法一:因为{an}为等比数列,且S5=100-1090100æ11ö3115b110=b10+100d=10+100ç-÷=-1,,a3=,若q=1,则S5=5a3=,与已知è100ø1644S110矛盾.故q≠1.即=-1,所以S110=-110.5)5110a1(1-q311-q311所以有=,=.因为+评注等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=1-q161-q16a1a1*),则Sn,Sn=m(m≠n,m,n∈Nm+n=111111111+++可看作是数列,,,,-(m+n).a2a3a4a5a5a4a3a2a1!151的5项和,且首项为,公比为q.a5解析因为{an}为等差数列,又a4+a8=16,所1(1-q5)a4+a8以a6==8,于是S11=11a6=811=a5131312故所求和为=·=2=31.1-qa516a116a388.故选B.解法二:由等比数列{a}知,a2,n1a5=a2a4=a3例15变式111111a1+a5a2+a4解析因为{an}是等差数列,所以S2m-1=(2m-得++++=++a1a2a3a4a5a1a5a2a42,所以1)am=38.又am-1+am+1-am=0312(a)=0,解得a(舍)2am-am=-amm-2m=0a3a1+a2+a3+a4+a5S516或am=2,所以S2m-1=(2m-1)·2=38,解a2=a2=a2=1=31.333得m=10.16166,参考答案评注若a,a,a是公比为q的等比数列,则2123S3(S9-S6),则(2S3)=S3(S9-3S3),化简1,1,11,a,aS97S37a是公比为的等比数列;a321得S9=7S3,从而==.故选B.1a2a3qS63S33是公比为1的等比数列;1,1,1是公比为q评注本题利用S3,S6-S3,S9-S6仍为等比qa3a2a1数列,以S3为基本量,设而不求体现了整体思的等比数列.本题需深入理解等比数列性质及想,故可令S3=1,则S6=3,从而S6-S3=2,求和公式的变形应用.S97!17S9-S6=4,所以S9=7,故=.如此求解S63解析解法一:因为(n,S)在函数y=bxn+r的更为简捷.图像上,所以Sn*n=b+r,n∈N.例18变式1所以S,S231=b+r2=b+r,S3=b+r.于是有a,a232解析由结论十五(2)知,S2,S4-S2,S6-S41=b+r2=b-b,a3=b-b.成等比数列,故(S)2因为{a}是等比数列,所以(b2-b)2=(b+r)·4-S2=S2·(S6-S4),n22(b3-b2),且b>0,b≠1,解得r=-1.(S4-S2)(15-3)得S6-S4===48,故解法二:数列{an}为等比数列,q≠1时,S23a1S6=48+S4=63.故选C.n(λ=),所以SnSn=λ-λqn=r+b=(-1)+1-q例18变式2n,故r=-1.1·b解析由结论十五(1)知,S4,S8-S4,S12-S8,评注若本题为填空题或选择题,由q≠1的等比S16-S12成等差数列,不妨设S4=k,则S8=n)a1(1-qa1数列前n项和公式Sn==-3k,故k,2k,S12-S8,S16-S12成等差数列,1-q1-q所以S12-S8=3k,S16-S12=4k,可得S12=a1·qnnn的1-q=k·q-k的形式知r=-1(即qS83k36k,S16=10k,所以==.故选A.系数与常数项互为相反数),需灵活掌握公式变S1610k10形应用.!19例17变式1解析解法一:因为点P(3,1)在圆C:(x-1)2+1t12=1外,所以直线AB的方程为(3-1)(x-1)+解析因为S·5n-2·5nyn=t-=-.又5255y=1,即2x+y-3=0.故选A.t1{an}为等比数列,所以-=0,解得t=5.解法二:如图2-37所示,设P(3,1),255圆心C(1,0),切点分别为A,B.故选B.1例17变式2由题意可知A(1,1),kPC=.2分析由题意知f(n)为等比数列求和问题,其中32n+9又AB⊥PC,所以kAB=-2.332n+9,但项a1=3,q===2n+7=9,末项为3故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),33n)即2x+y-3=0.故选A.a1(1-qa1-anq数不易确定,故使用Sn==计y1-q1-q算更为迅捷.A2n+9P(3,1)a1-anq3-39解析由Sn=,知f(n)==1-q1-9OC(1,0)3x33(32n+9(9n+53-1)=-1).B88!18图2-37S6解析由已知=3,得S6=3S3,因为S3,S6-S3例19变式1222S3,S9-S6也为等比数列,所以(S6-S3)=解析依题意,点M(a,b)在圆O:x+y=1167,࢝ଌབྷᆓ临门一脚(含密押三套卷)(理科版)外,则a22+b>1.圆心O(0,0)到直线l:ax+by=1的距离d=1<1=r,因此直线ax+by=1与圆O22a+b的位置关系是相交.故选B.例19变式2解析令Pæç1,1ö÷,由题意,过点P作圆x2+图2-39è2ø2例21变式1y=1的切线有两条,其中一条为x=1,则切点为(1,0),设A(1,0),则A为椭圆的右焦解析设PA2的斜率为k2,PA1的斜率为k1,2点,即c=1,如图2-38所示.b3则k1·k2=-2=-.由结论十六中的1(2)可知直线AB方程为a41é33ù1·x+·y=1,即2x+y-2=0.设C为椭圆又k2∈[-2,-1],所以k1∈êê,úú.故选B.2ë84û的上顶点,可得C(0,2),即c=1,b=2,所以例21变式2222222xyba=b+c=5,所以椭圆方程为+=1.分析由结论十七1(2)知kABિkPB=-2,所54a以要想证明kPAિkPB=-1,需证明kAB与kPA之间的关系,即kPA=2kAB=2kAC.解析证明:设P(x0,y0),则A(-x0,-y0),0+y0y0C(x0,0),kAC==.x0-(-x0)2x0y0k又kPA==k,所以kAC=.由kBA·kBP=x022图2-38bk-2知,kBP·kBA=kBP·kAC=·kPB=a2!202解析令P(x0,y0),由结论十七的1(3)可知,-,所以kPB·k=-1,即PA⊥PB.42b1评注本题为解答题,求解时应对相应结论加以k1k2=-2=-.故选D.a2证明.若为填空题或选择题,可直接应用.例20变式1!22解析设线段PQ中点为M(x,y),焦点为32解析设直线AE的方程为y=k(x-1)+F,由结论十七中的3可知,kPQ==kMF=2yy-0ìï3,可得y2y=k(x-1)+=2(x-1)=2x-2.故选B.ï2x-1(k≠0),联立方程组í,22ïxy!21ï+=1î43解析如图2-39所示,设P(1,-1),则有消去y整理,得22bb2kAB·kOP=-2,即-2=kFP·kOP=(4k222)x+4æç3ö÷aa+3)x+(12k-8k-k-12=0,è2ø0-(-1)-11,亦即a2222=-=2b.由c=æ3ö3-1124ç-k÷-122è2ø(3-2k)-1222222,得b22则xE==①a-b=2b-b=b=9,所以a=18,(4k22+3)xA4k+322xy即椭圆方程为+=1.故选D.同理,设直线AF的方程为y=-k(x-1)+189168,参考答案(3+2k)2解析证明:设A(x,y),B(x,y),3-121122,则xF=2②24k+3ìx2y2ïï+=1yF-yE联立方程组í43,所以kEF==ïïxF-xEîy=kx+m3é3ù消y得,3x2+4(kx+m)2=12,-k(xF-1)+-êêk(xE-1)+úú2ë2û整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,=xF-xE则有Δ=(8km)222-4(4k+3)(4m-12)>0,-k(xF+xE)+2k,将式①,式②代入上式,ìï-8kmxF-xEx1+x2=2ï4k+3即m221<4k+3,且í①化简得kEF=,为定值.ï4m2-122ïx1x2=2î4k+3评注由结论十八(1)知kAB实际上是点P关于因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点(2,0),x轴的对称点(x0,-y0)处切线的斜率,即→→设P(2,0),则PA⊥PB,所以PA·PB=0,2bx0311kEF=2·=·=.得(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,ay0432例22变式12即x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,亦即x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0,解析设A(x1,y1),B(x2,y2),P(8,4),kPA=k,整理得(k2+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+kPB=-k(k≠0),直线PA的方程为y-4=k(x-2m+4=0②18),得x=(y-4)+8.把式①代入式②化简得7m22k+16km+4k=ì12kïïx=(y-4)+80,得m=-2k或m=-.联立ík,消去x,7ïï2(1)当m=-2k时,直线l:y=kx-2k过右îy=2x2顶点(2,0),与题意不符,故舍去;整理得y2(y-4)+16,=k2k2k(2)当m=-时,直线l:y=kx-过定点2877即y2-y+-16=0,kkæ2ö22ç,0÷,且满足m<4k+3,符合题意.211æ2öè7ø得y1+4=,x1=(y1-4)+8=ç-8÷+8.kkkèkøæ2ö所以l:y=kx+m过定点ç,0÷.-2è7ø同理可得y2+4=,k例23变式11æ2ö1æ2ö解析由题意知lAB的斜率不为0(否则只有一x2=-ç--8÷+8=ç+8÷+8.kèkøkèkø个交点),故可设lAB:x=ty+m,A(x1,y2),所以直线AB的斜率2y=2px4B(x2,y2),联立方程组{,消x得,x=ty+my1-y2k1k22AB=x==-.y-2pty-2pm=0,从而Δ=(-2pt)-1-x2164-222k4(-2pm)=4pt+8pm>0,pt+2m>0,1y1+y2=2pt所以直线AB的斜率kAB为定值,且为-.{4y①1y2=-2pmp1因为以AB为直径的圆过顶点O(0,0),评注由结论十八(3)知,kAB=-=-.y04所以OA→·OB→=0,即x1x2+y1y2=0,!23也即(ty1+m)(ty2+m)+y1y2=0,分析要证直线y=kx+m过定点,必须知道直整理得(t22+1)y1y2+tm(y1+y2)+m=0,线l:y=kx+m中k与m的关系.把式①代入上式化简得m(m-2p)=0,169,࢝ଌབྷᆓ临门一脚(含密押三套卷)(理科版)解得m=0或m=2p.把式①代入化简得,(1)当m=0时,x=ty,lAB过顶点O(0,0),与OM→·ON→=(t2+1)(-2pa)+at(2pt)+a2=题意不符,故舍去;2→·ON→a-2pa,所以当a=2p时,OM=0.(2)当m=2p时,x=ty+2p,令y=0,得x=→→从而OM⊥ON,即∠MON=90°.2p,所以lAB过定点(2p,0),此时m=2p满足评注本题证明了结论十九(3)的逆命题成立,2pt+2m>0.即直线MN过定点(a,0),若a=2p,则综上所述,lAB过定点(2p,0).∠MON=90°;同理可证:当a>2p时,评注(1)巧设直线方程:x=ty+m,对于焦点∠MON为锐角;当0<a<2p时,∠mon为在x轴上的抛物线消x后计算得到简化;钝角.(2)当求得m有两值时必须讨论,并检验δ>例23变式3解析由结论十九(3)的逆命题成立可知,当a=10是否成立;时,∠AOB=90°;同理可证,当0<a<1时,(3)一般地,曲线过定点只需把曲线方程变为∠aob>90°;f1(x,y)+λf2(x,y)=0,λ为参数.当a>1时,∠AOB为锐角.故若该抛物线上f1(x,y)=0由{,即得定点.此过程称为“参变存在点C,使得∠ACB=90°,则a的取值范围f2(x,y)=0为[1,+∞).分离,系常为零”.评注当∠AOB为锐角或直角时,才存在点C例如,直线x=ty+2p中令参数t的系数y为满足题意.0,可解得x=2p,y=0,故直线x=ty+2p过!24定点(2p,0).→→解析如图2-40所示,因为MA·MB=0,所以同理,直线y=kx+1必过定点(0,1),故关于直MA⊥MB,故点M在以AB为直径的圆上.线l:x=ty+m过定点问题有以下重要结论:又准线为x=-2,直线AB经过焦点F(2,①若m为常数b,则直线l必过定点(b,0).如本0),由结论二十(2)知MF⊥AB,又kMF=题中x=ty+2p,则直线l必过定点(2p,0);21=-,所以kAB=2.故选D.②若m=nt(其中n为常数),则直线l必过定-2-22点(0,-n).如x=ty+3t=t(y+3),则直线l必过定点(0,-3);௵若m=nt+b(其中n,b为常数),则直线l必过定点(b,-n).如x=ty-3t+2,即x=t(y-3)+2,则直线l必过定点(2,3).例23变式2分析用向量法的夹角公式cos∠MON=→→OMિON求角.→→OMON解析由题意知l的斜率不为0(否则l与抛物线图2-40交于一点),故可设l:x=ty+a,2y=2px例24变式1联立方程组{,消x得,x=ty+ap2-2pty-2pa=0,从而Δ=(-2pt)2+4(2pa)=解析证法一:如图2-41所示,当a=时,点y224p(pt+2a)>0成立(a,p>0).且有æpöpyAç,0÷为抛物线的焦点,l为其准线x=-,{1+y2=2ptè2ø2①y1y2=-2pa由抛物线定义得MA=MM1,NA=NN1,→→OM·ON=x1x2+y1y2=(ty1+a)(ty2+a)+所以∠MAM1=∠MM1A,∠NAN1=∠NN1A.22因为MM,所以∠My1y2=(t+1)y1y2+at(y1+y2)+a.1∥NN11MA+∠N1NA=170,参考答案౼ಃ౻°,所以∠MM1A+∠MAM1+∠NN1A+故选D.∠NAN1=180°,则∠MAM1+∠NAN1=90°,即例25变式1∠M1AN1=90°,故AM1⊥AN1.→→解析在焦点△PF1F2中,PF1⊥PF2,故S△PF1F2=1222,PF1PF2.又PF1+PF2=F1F222PF1+PF2=2a,则(PF1+PF2)-2,2PF1PF2=F1F2即4a22,-2PF1PF2=4c所以PF2,1PF2=2b则S2△PF1F2=b=9,故b=3.评注本题∠F1PF2=90°,由结论二十一(1)知图2-412·tan45°=b2证法二:依题意,可设直线MN的方程为S△PF1F2=b=9,易得b=3.例25变式2x=my+a,M(x1,y1),N(x2,y2),→x=my+a解析设点M到x轴的距离为h.由MF1·则有M1(-a,y1),N1(-a,y2).由,{y2=2px→MF2=0可知∠F1MF2=90°.消去x,可得y2-2mpy-2ap=0,由双曲线的方程可得a2=1,b2=2,则c2=3,y1+y2=2mp①故{即F1F2=23.由结论二十一(2)得,y1·y2=-2ap②2当a=p时,点Aæçp,0ö÷为抛物线的焦点,l为S△F1F2M==2.90°2è2øtan2pæpöæpö其准线x=-,此时M1ç-,y1÷,N1ç-,y2÷.12è2øè2ø又S△F1F2M=·F1F2·h,22由式②可得y1·y2=-p.→→23因为AM1=(-p,y1),AN1=(-p,y2),所以所以3·h=2,得h=.故选C.3→→2AM1·AN1=p+y1y2=0,即AM1⊥AN1.例25变式3y1y222证法三:因为kAM1=-,kAN1=-,由证xypp解析证明:点P在椭圆2+2=1上,又在双ab法二知,y2,所以k·k,1y2=-pAM1AN1=-122xy即AM1⊥AN1.曲线2-2=1上,mn!25由结论二十一(1)得,S2·tanα,△F1PF2=b222xyn解析设双曲线C的方程为2由结论二十一(2)得,S,22-2=1,则有a2+△F1PF2=a2b2tanα222又四边形AF为矩形,22b2=c2=c1=4-1=3.1BF2则b2·tanα=n2n.所以tanα=2.b2tanαb22所以焦点△AF1F2的面积为b1tan45°=,因为0<2α<180°,所以0<α<90°,tan45°即b22所以a222n2=b1=1.2=c2-b2=3-1=2.故tanα=.b2c2c236故双曲线的离心率ਹ==2==.a2a222171</a<1时,(3)一般地,曲线过定点只需把曲线方程变为∠aob></a<2p时,∠mon为在x轴上的抛物线消x后计算得到简化;钝角.(2)当求得m有两值时必须讨论,并检验δ></t,可作出函数f(x)的示意λ<2<μ<1,且λ+μ=1.326图如图2-28所示(一种情况):(3)若点p在ba的延长线上,则λ></x<y<1,xf(m)=(m-x1)(m-x2)=xy,f(m+1)=.x+1(m+1-x)(m+1-x)=(1-x)(1-y),12!10所以f(m)f(m+1)=xy(1-x)(1-y)<æx+1-xö2æy+1-yö21解析依题意,易知函数y=f(x)的最小正周ç÷ç÷=,2è2øè2ø4æ11π7πö2π期为t=2ç-÷=,所以f(0)=故min[f(m),f(m+1)]≤f(m)f(m+1)<è1212ø31æ2πö.故选a.fç÷.因为函数y=f(x)的图像关于点4è3ø例8变式32ππ+æ7πö327π解析依题意,设h(x)=(x-α)(x-β),ç,0÷中心对称.又=,è12ø212max{h(n),h(n+1)}≥h(n)h(n+1).æ2πöæπö22令α-n=x,β-n=y,则有0<x<y<1,所以fç÷=-fç÷=,所以f(0)=.è3øè2ø33h(n)=(n-α)(n-β)=xy,故选b.h(n+1)=(n+1-α)(n+1-β)=(1-x)(1-例10变式1y),显然,h(n),h(n+1)都小于1,所以解析由题意知f(x)与g(x)的最小正周期均为max{h(n),h(n+1)}<1.故选b.π.其中f(x)图像上的点a,b平移后对应g(x)!9图像上的c,d两点.又a,b两点关于直线x+1></a<1时,抛物线t=g(x)的对称轴有f(x)≥f(x),即220ax-bx≥ax0-bx0.22aæ1öx=∈ç0,÷.如图2-26所示,g(x)在(1,12122è2ø反之,若∀x∈r,ax-bx≥ax0-bx0恒222)上为增函数,而y=f(t)在(0,+∞)上为减b函数.所以复合函数y=f[g(x)]=log(x2成立,则f(x0)为f(x)的最小值,即x0=.a-aax+1)在(1,2)上单调递减,与已知条件不符.故选c.162,参考答案{xx></t时,有f(x0)≤f(t),即t≤x0,增函数,y=f(t)在(0,+∞)上为增函数,若复合函数y=log(x2与x0<t矛盾.综上所述,t=x0,故f(x0)=x0.a-ax+1)在(1,2)上为增函数,则需g(x)在(1,2)上单调递增,且例7变式1ìïa解析令t=g(x)=ex≤1+x-a,则y=t(t≥ïï2xg(1)≥0,即í,解得1<a≤2.0).g'(x)=e+1,因为g'(x)></n+1成立,则().a.max{h(n),h(n+1)}></x1<x2<m+1成立,则().11a.min[f(m),f(m+1)]<b.min[f(m),f(m+1)]></x<5,x∈n},则满足条件a⊆c⫋b的集合c的个数为().a.1b.2c.3d.4!2已知m,n为集合i的非空子集,且m,n不相等,若n∩∁im=∅,则m∪n=().a.mb.nc.id.∅变式1设集合a={x|x2-6x+5=0},b={x|ax-1=0},若a∩b=b,则由实数a的所有可能取值组成的集合c为().111111a.1{,}b.{,}c.0{,1,}d.0{,,}523523,࢝ଌབྷᆓ临门一脚(含密押三套卷)(理科版)结论二交、并、补(且、或、非)之间的关系(德·摩根定律).(1)集合形式:∁i(a∩b)=(∁ia)∪(∁ib),∁i(a∪b)=(∁ia)∩(∁ib);(2)命题形式:�(p∧q)=(�p)∨(�q),�(p∨q)=(�p)∧(�q).!3设全集u={a,b,c,d},集合a={a,b},b={b,c,d},则(∁ua)∪(∁ub)=.变式1已知全集u=a∪b中有m个元素,(∁ua)∪(∁ub)中有n个元素.若a∩b非空,则a∩b的元素个数为().a.mnb.m+nc.n-md.m-n变式2写出下列命题的否定.(1)命题p∨q:a=0或b=0;(2)命题p∧q:a=0且b=0.结论三奇函数的最值性质:已知函数f(x)是定义在区间d上的奇函数,则对任意的x∈d,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在定义域df上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈df,则f(0)=0.证明:因为f(x)为奇函数,所以∀x∈d,-x∈d,且f(-x)=-f(x),即f(x)+f(-x)=0.若0∈d,令x=0,则有f(0)+f(-0)=0,即f(0)=0.f若奇函数f(x)在df上有最值,设f(x)max=f(x0),则f(x0)≥f(x)(x∈d),所以f(-x0)=-f(x0)≤-f(x)=f(-x)(-x∈d),即f(x)min=f(-x0).由f(x0)+f(-x0)=0,得f(x)max+f(x)min=0.(x+1)(x-4)+tanx!4设函数f(x)=的最大值为m,最小值为m,则m+m=.2x-4æ1ö变式1已知函数f(x)=ln(1+9x2-3x)+1,则f(lg2)+fçlg÷=().è2øa.-1b.0c.1d.2变式2对于函数f(x)=asinx+bx+c(其中a,b∈r,c∈z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是().a.4和6b.3和1c.2和4d.1和22,常考二级结论及其应用结论四若函数y=f(x)是定义在非空数集d上的单调函数,则存在反函数y=f-1(x).特别地,y=ax与y=logax(a>
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