第八章　§8.11　圆锥曲线中范围与最值问题

§8.11圆锥曲线中范围与最值问题第八章直线和圆、圆锥曲线成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 题型一范围问题(1)求椭圆C的方程； 即2a＝4，所以a＝2， (2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围. 当直线l的斜率不存在或斜率为0时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意.故设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， 又由Δ>0，可得16(4k2－m2＋1)>0，所以4k2－4k>0，解得k<0或k>1， 思维升华圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围. 思维升华(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 跟踪训练1(2022·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)上一点C(1，y0)到其焦点F的距离为2.(1)求实数p的值；因为点C(1，y0)到其焦点F的距离为2，解得p＝2. (2)若过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，且l1，l2的交点为Q，l1，l2与y轴的交点分别为M，N.求△QMN面积的取值范围. 由(1)可知，抛物线E：y2＝4x，判别式Δ＝16t2＋16>0，故t∈R，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4， ∴△QMN面积的取值范围是[1，＋∞). 题型二最值问题(1)求双曲线C的方程； (2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值. 设点M的横坐标为xM>0，当直线l的斜率不存在时，则直线l：x＝2，易知点M到y轴的距离为xM＝2；当直线l的斜率存在时，Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0， 整理得4k2＝m2＋1，即xM>2，此时点M到y轴的距离大于2.综上所述，点M到y轴的最小距离为2. 圆锥曲线中最值的求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. (1)求C的方程； ∴椭圆的标准方程为x2＋3y2＝a2， 得AF2∥BF1，如图，延长BF1，AF2交椭圆于C，D两点，根据椭圆的对称性可知，四边形ABCD为平行四边形，且四边形ABF1F2的面积为四边形ABCD的面积的一半.由题知，BF1的斜率不为零， 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，∵Δ>0， 即m＝±1时取等号， 课时精练 基础保分练1.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A(1,0)，离心率为2，(1)求双曲线C的标准方程；∴c＝2，b2＝3，1234 1234(2)已知B(0，)，直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点Q(x0，y0)，①1234 ∵|BM|＝|BN|，∴BQ⊥MN，1234 ②③1234 1234(1)求椭圆C的方程； 1234 1234 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋t，消去y得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－9＝0，Δ＝12(3＋9k2－t2)>0，1234 即3t2－9≠0，则t2≠3，又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，1234 当直线l的斜率不存在时，x2＝x1，y2＝－y1，1234 综合提升练3.(2023·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为p2(O为坐标原点).(1)求抛物线E的方程；解得p＝2.故抛物线E的方程为y2＝4x.1234 1234(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值. 由题意知直线l的斜率一定存在且不为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，易知x1＝ty1＋1>0，x2＝ty2＋1>0，消去x得y2－4ty－4＝0.所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.1234 由AC垂直于l，得直线AC的方程为y－y1＝－t(x－x1)，1234 1234 所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.所以当x＝2时，f(x)取得最小值，1234 1234拓展冲刺练4.已知椭圆的两个焦点是F1(0，－2)，F2(0,2)，点P(，2)在椭圆上.(1)求此椭圆的方程； 由题意知，c＝2，因为焦点在y轴，1234 1234(2)过F2作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A，B，C，D四点，求四边形ACBD面积的取值范围. 如图，当过F2的两条互相垂直的直线的斜率都存在时，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝kx＋2，直线CD的方程为y＝＋2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，1234 1234因为AB⊥CD， 所以四边形ACBD的面积1234 当直线AB或CD有一条斜率不存在时，不妨设k＝0，则直线AB的方程为y＝2，将y＝2代入椭圆方程，1234 更多精彩内容请登录www.xinjiaoyu.com第八章直线和圆、圆锥曲线