山东省潍坊市2022-2023学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析）

高二数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列中，，，则（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由题意利用等差数列的通项公式，求得公差的值，可得结论．【详解】等差数列中，，，故，则，故选：B．2.已知直四棱柱的高为1，其底面四边形水平放置的斜二测直观图为平行四边形，，，则该直四棱柱的体积为（）A.B.C.2D.4【答案】D【解析】【分析】根据斜二测画法可知，，结合棱柱的体积公式计算即可.【详解】根据斜二测画法可知，，即底面四边形为正方形，则该直四棱柱的体积为．故选：D．3.在空间直角坐标系中，为原点，已知点，，则（）A.点关于点的对称点为B.点关于轴的对称点为C.点关于轴的对称点为D.点关于平面的对称点为【答案】C【解析】 【分析】利用空间直角坐标系的性质逐个选项判断即可.【详解】点关于点的对称点为，A错；点关于轴的对称点为，B错；点关于轴的对称点为，C正确；点关于平面的对称点为，D错.故选：C4.已知为正项等比数列，若，，则（）A.6B.4C.2D.【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的性质求解.【详解】，又，解得，又，则，∵，∴.故选：B.5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】C【解析】【分析】根据空间线面位置关系依次判断各选项即可得答案.【详解】若，，，则可能相交，故A错误；若，，，则可能平行也可能异面，故B错误； 若，，则，又，则，故C正确；若，，，则可能平行,相交或异面，故D错误.故选：C.6.设，，，是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去得到的新数列（按原来的顺序）是等比数列，则的值为（）A.B.C.D.-1【答案】B【解析】【分析】根据题意，成等比数列，利用等比中项的性质得，进而求得和的关系．【详解】根据题意，成等比数列，则，则，则.故选：B．7.若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（）A.B.C.2D.3【答案】C【解析】【分析】由题可得，利用数列的增减性可得最值.【详解】∵数列的前项积，当时，，当时，， ，时也适合上式，∴，∴当时，数列单调递减，且，当时，数列单调递减，且，故的最大值为，最小值为，∴的最大值与最小值之和为2.故选：C.8.如图，在直三棱柱中，，四边形是边长为1的正方形，，是上的一个动点，过点作平面平面，记平面截四棱锥所得图形的面积为，平面与平面之间的距离为，则函数的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】过点作交AB于点，作交于点，设平面FMN与棱交于，可得平面截四棱锥所得图形为直角梯形，由平面，可知平面与平面PAD之间的距离，结合平行线分线段成比例，求出，进而得，即可得出答案．【详解】过点作交AB于点，作交于点，设平面FMN与棱交于，连接EF，EN，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，平面平面，∴，∵，平面，∴平面，又平面，∴，为直角梯形，∵，，∴，平面，平面，∴平面，，平面，平面，∴平面，平面，，∴平面平面，∴平面截四棱锥所得图形为直角梯形．∵，∴，∵平面ABC，平面ABC，∴，∵，平面，∴平面， ∴平面与平面PAD之间的距离，且四边形MNEF为直角梯形．由得，，所以，又，则，即，其图象为选项A．故选：A．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知为等差数列的前项和，若，，则（）A.数列的公差为B.C.D.数列为递减数列【答案】ACD【解析】【分析】由已知条件求出，可判断ABC，由的函数性质可判断D.【详解】，故，，，故AC正确，B错误；因为，则数列为递减数列，故D正确.故选：ACD.10.已知某圆锥的顶点为，其底面半径为，侧面积为，若，是底面圆周上的两个动点，则（）A.圆锥母线长为2B.圆锥的侧面展开图的圆心角为C.与圆锥底面所成角的大小为D.面积的最大值为【答案】AC【解析】 【分析】利用侧面积公式求出母线长，可判断A；由圆锥的侧面展开图的弧长与圆锥底面周长相等求解，可判断B；找出与圆锥底面所成角，求解可判断C；由题可得，结合三角形面积公式可判断D．【详解】如图，圆锥的轴截面PAC，高PO＝h，底面半径为，母线长PA＝PC＝，∵侧面积为，∴，得，故A正确；设圆锥的侧面展开图的圆心角为，则，得，故B错误；∵PO⊥底面ABC，∴为与圆锥底面所成角，直角三角形POA中，，∴，与圆锥底面所成角的大小为，故C正确；∵，∴，的面积，∴当时，面积的最大值为2，故D错误．故选：AC．11.斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，，记是数列的前项和，则（）A.B. C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用递推公式逐项计算可得的值，可判断A；推导出，分别令取偶数，奇数和正整数，结合累加法求解，可判断BCD．【详解】，，，，，故A正确；对任意的，，则，当取偶数时，得，相加得则，又，则，故B正确；对任意的，，则，当取奇数时，得，相加得则，故C错误；对任意的，，则，，故D正确.故选：ABD．12.如图，四个半径为2的实心小球两两相切，则（）A.这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个半径为的小球 B.这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个棱长为的正方体C.存在一个侧面积为的圆柱可以放进这四个实心小球所形成的空隙内D.这四个实心小球可以放入一个半径为的大球内部【答案】BCD【解析】【分析】根据球心构成的正四面体球内切球的半径，进而求出内部放入正方体，圆柱的可能性判断A,B,C选项，根据正四面体的外接球判断D选项即可.【详解】设分别为四个小球的球心，则显然几何体是正四面体，棱长为，设是正四面体的外接球的球心，可求得正四面体的高为，进而可求得正四面体的外接球的半径为，这四个实心小球可以放入一个半径为的大球内部,D选项正确，这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个半径为的小球,，A选项错误，这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个半径为的小球,时取等号，存在一个侧面积为的圆柱可以放进这四个实心小球所形成的空隙内,C选项正确，设正方体的棱长为，这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个半径为的小球，正方体的外接球半径为，，解得，B正确，故选:BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置 13.如图，在正方体中，与垂直的面对角线可以是__________．（写出一条即可）【答案】（答案不唯一，中的任意一条即可）【解析】【分析】由，，可得平面，从而，同理可得，与垂直的面对角线还有．【详解】连接，∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴，同理可得，与垂直的面对角线还有．故答案为：（答案不唯一，中的任意一条即可）．14.已知数列满足，，则__________.【答案】## 【解析】【分析】首先根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求.【详解】因为，所以，，，，…，所以数列是周期为3的数列，.故答案为：.15.在四棱锥中，为等边三角形，且平面平面，记直线与平面所成的角为，二面角的大小为，则___________（填“>”“<”“≥”“≤”）.【答案】【解析】【分析】根据面面垂直得出线面垂直，再应用线面角及面面角定义求解即可.【详解】取DC中点O，连接PO，∵侧面PCD是边长为2等边三角形，∴，，∵平面平面ABCD，平面平面,平面，∴平面ABCD与平面所成的角为,，∵取，交AD于点T,连接∴是二面角的平面角, ∴,∴∴,∴，∴.故答案为：.16.如图，将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的那个数称为某行某列的元素，记作，如第2行第4列的数是15，记作，则有序数对是____________.【答案】(985,211)【解析】【分析】根据已知图形中数排列的次序，归纳后分析出数的排列规律，当为奇数时，第列及第行的数据将按从上到下，从右到左的顺序排列，当为偶数时，第列及第行的数据将按从左到右，从下到上的顺序排列，即可找到求某行某列数的方法，从而可求得答案.【详解】观察图表可知，当为奇数时，第列及第行的数据将按从上到下，从右到左的顺序排列，即逐渐增大，且，当为偶数时，第列及第行的数据将按从左到右，从下到上的顺序排列，即逐渐增大，且，所以，，所以，因为由图表可知第32行的数第一个数开始连续32个依次增加1，第15行的数第一个数开始连续15个依次减小1， 所以，，所以是(985,211)，故答案为：(985,211)【点睛】关键点点睛：此题考查数列的实际应用和归纳推理的解题方法，解题时注意分析数的规律，由此确定关键数据的位置是解题的关键.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在正三棱柱中，，，分别为，的中点，点，分别在棱和上，且.（1）证明：四边形为梯形，并求三棱柱的表面积；（2）求三棱台的体积.【答案】（1）证明见解析，表面积为（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，，，，从而，，即可证得四边形PMNQ为梯形，根据棱柱的表面积公式求出三棱柱的表面积；（2）三棱台的高，根据棱台的体积公式求出答案．【小问1详解】因为P，Q分别为的中点， 所以，，又因为，则，所以，，所以，，故四边形PMNQ为梯形，又因为三角形ABC为边长为2的正三角形，所以的面积为，面积为，又三棱柱的侧面积，所以三棱柱的表面积．【小问2详解】因为三棱台的高，由题可得，，所以三棱台的体积为：．18.已知递增等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）若，请判断与的大小关系，并求数列的前20项和.【答案】（1）， （2），【解析】【分析】（1）利用等比数列基本量和等差数列基本量计算即可；（2）利用（1）求出即可判断，再利用并项求和思想结合等比数列前n项和公式求解.【小问1详解】设等比数列的公比为q，由题意得，即，解得，或，又等比数列单调递增，所以，所以，所以，，所以等差数列的公差为1，故；【小问2详解】由（1）知，所以，所以.19.在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，，，，为圆的内接正三角形.（1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)记与交于点，连接，要证明平面，只需证明;(2)建立空间直角坐标系，找到平面的法向量为，利用线面角的向量算法求解即可.【小问1详解】记与交于点，连接，因为是下底面圆的直径，且为圆的内接正三角形，所以垂直平分，，中，,因为，，所以故四边形为平行四边形，故，又平面,平面,故平面.【小问2详解】由（1）知，则面,如图建立空间直角坐标系： 则,设平面的法向量为则令，则，记直线与平面所成角为，则，故，故直线与平面所成角的正切值为.20.中小微企业是国民经济的重要组成部分，某小微企业准备投入专项资金进行技术创新，以增强自身的竞争力.根据规划，本年度投入专项资金800万元，可实现销售收入40万元；以后每年投入的专项资金是上一年的一半，销售收入比上一年多80万元.同时，当预计投入的专项资金低于20万元时，就按20万元投入，销售收入则与上一年销售收入相等.（1）设第年（本年度为第一年）投入的专项资金为万元，销售收入为万元，请写出，的表达式；（2）至少要经过多少年后，总销售收入就能超过专项资金的总投入?【答案】（1），（2）至少要经过7年后，总销售收入才能超过发项资金总投入【解析】【分析】（1）依题意分段讨论，结合等差数列，等比数列的通项公式得出的表达式；（2）分为，两种情况讨论总利润，结合函数的单调性及不等式求解.【小问1详解】 依题意得，当投入的专项资金不低于20万元时，即时，且，此时是首项为800，公比为的等比数列，是首项为40，公差为80的等差数列，所以，令，得，解得，所以，.【小问2详解】由（1）可知，当时，总利润，因为，设，则为单调递增函数，，所以，又因为，所以当时，，即前6年未盈利，当时，，令，得，综上，至少要经过7年后，总销售收入才能超过发项资金的总投入．21.如图（1），已知四边形是边长为2的正方形，点在以为直径的半圆弧上，点为的 中点.现将半圆沿折起，如图（2），使异面直线与所成的角为，此时.（1）证明：平面，并求点到平面的距离；（2）若平面平面，，当平面与平面所成角的余弦值为时，求的长度.【答案】（1）证明见解析，1（2）【解析】【分析】（1）利用异面直线所成的角得，利用勾股关系得，又，利用线面垂直的判定定理证明，利用面面垂直找到点在底面的射影即可求解点面距离；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用二面角平面角余弦值建立方程求出点的坐标，利用空间距离向量公式求解即可.【小问1详解】因为，所以为异面直线与所成的角，所以，又因为，所以，又因为，，所以，所以，又因为，，平面，平面，所以平面；平面，所以平面平面，两平面交线为，取中点为，则，所以平面，即就是点到平面的距离，又因为，所以点到平面的距离为1；【小问2详解】 延长，，设，连接，所以平面与平面的交线即为直线，又平面，故以为坐标原点，方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，设，则，因为平面，平面，所以，又因为，，平面，平面，所以平面，所以平面的一个法向量为，设平面的法向量为，因为，，所以，令，得，所以，解得，此时.22.已知正项数列中，，点在直线上，，其中.（1）证明：数列为等比数列；（2）设为数列的前项和，求；（3）记，数列的前项和为，试探究是否存在非零常数和，使得为定值?若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析 （2）（3）存在，为定值1【解析】【分析】（1）由题意，即，可得，即可得证结论；（2），结合对数运算及等比数列求和公式求解；（3）求得，又由得，进而可得，由裂项相消法求得，将代入题中式子，可得的值，从而得出答案.【小问1详解】因为点在直线上，所以，令，则，解得或(舍)，因为，故，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．【小问2详解】由（1）知，，所以．【小问3详解】由（2）知，，所以，又，，故，所以 .故要使上式为定值，只需故