山东省烟台市2022-2023学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析）

2022~2023学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上．3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.若函数，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用乘法的求导法则结合倍角余弦公式即可求解.【详解】，故选：C2.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（）A.B.CD.【答案】A【解析】【分析】根据韦恩图表达的集合和之间的关系，求解阴影部分所表达的集合即可．【详解】根据韦恩图，阴影部分表达的是集合中不属于集合的元素组成的集合，即.故选：A. 3.若实数a使得“，”为真命题，实数a使得“，”为真命题，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先一元二次方程有解及一元二次不等式恒成立求解出和，进而根据充分条件和必要条件的定义判断即可求解.【详解】对于，，所以，即.对于，，因为函数在上单调递增，所以当时，，则，即.所以p是q的必要不充分条件.故选：B.4.某银行拟面向部分科创小微企业开展贷款业务．调查数据表明，科创小微企业的贷款实际还款比例关于其年收入x（单位：万元）的函数模型为．已知当贷款小微企业的年收入为10万元时，其实际还款比例为50%，若银行期待实际还款比例为60%，则贷款小微企业的年收入约为（）（参考数据：，）A.14万元B.16万元C.18万元D.20万元【答案】C【解析】【分析】先根据题中数据代入计算函数中参数的值，然后计算时的值即可．详解】由题意可知，，得，． 令，得，得，取对数得得．故选：C5.函数的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，可排除CD选项；进而取特殊值和排除B选项，进而即可求解.【详解】由，得，所以函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD选项； 当时，函数，当时，函数，故排除B选项.故选：A.6.已知定义在上的奇函数，则的值为（）A.B.2C.D.4【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及自变量的取值范围，即可代入求解.【详解】由于所以，由于为奇函数，所以，，所以，，故选：C7.定义在上的函数满足，是偶函数，若在上单调递增，，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用给定的性质把函数值化成上某个数对应的函数值，再利用单调性比较作答.【详解】因为在上的函数满足，则， ，又，于是，所以.故选：D8.已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】把函数有3个不同零点问题转化成方程有两个不同解，再利用导数结合函数图象求解作答.【详解】函数的定义域为R，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，，且，恒有，由，得，即或，由，得，于是函数有3个不同零点，当且仅当方程有2个不同的解，即直线与图象有2个公共点，在同一坐标系内作出直线与的图象，如图， 观察图象知，当，即时，直线与的图象有2个公共点，所以实数m的取值范围为.故选：C【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】对于A，结合对数函数的单调性将与3作大小比较，进而判断即可；对于B，化简，，进而根据对数的运算性质计算即可判断；对于C，结合对数函数的单调性可得，，进而根据不等式的基本性质判断即可；对于D，化简，进而根据基本不等式即可判断.【详解】对于A，因为，，所以，故A错误；对于B，因为，即，，即，所以，故B正确； 对于C，因为，由A选项知，，所以，故C正确；对于D，由B选项知，，，因为，且，，所以，即，故D正确.故选：BCD.10.已知函数，则（）A.有极大值B.在上单调递增C.的图象关于点中心对称D.对，，都有【答案】ACD【解析】【分析】求导得函数的单调性，即可求解极值判断AB，根据对称满足的函数关系即可化简验证求解C，作差，结合不等式的性质即可求解D.【详解】的定义域为，求导得，当和时，单调递减，当和时，单调递减，故当时，函数取极大值，故A正确，B错误；，故的图象关于点中心对称，C正确；， 由于，，，，，，，故，故D正确，故选：ACD【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数问题的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.11.对于函数，若在其定义域内存在使得，则称为函数的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据一元二次方程的判别式可判断A，根据零点存在性定理可判断B,由特殊值可求解C,利用导数求解函数的单调性,进而求解函数的最值即可判断D.【详解】对于A,定义域为,则，由于,故方程无实数根，故A错误，对于B,定义域为,，记，则的图象是连续不断的曲线，,,根据零点存在性定理可知在存在零点，故B正确，对于C,定义域为，，由于，所以是的一个不动点，故C正确，对于D,的定义域为，，令，则 ，故当单调递减，当单调递增，故当时，取极大值也最大值，故，故在无实数根，故D错误，故选:BC12.关于曲线和的公切线，下列说法正确的有（）A.无论a取何值，两曲线都有公切线B.若两曲线恰有两条公切线，则C.若，则两曲线只有一条公切线D.若，则两曲线有三条公切线【答案】BCD【解析】【分析】设曲线和的公切线分别与两曲线相切于，，根据导数的几何意义得到，化简可得，结合对数的定义可判断A选项；构造函数和，利用导数分析其单调性，进而分析方程解的情况，进而求解.【详解】设曲线和的公切线分别与两曲线相切于，，因为，，所以，， 所以公切线的方程为，即，也可以为，即，所以，即化简得，即，若，，则上述式子无意义，此时两曲线没有公切线，故A错误；①令，则，所以，令，则；令，则，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以.当，即时，有两解，即方程在时有两解.当，即时，只有一解，即方程在时只有一解.当，即时，无解，即方程在时无解. ②令，则，所以，所以函数在上单调递减，而当时，，，则，当时，，，则，所以函数在上一定存在使得，即方程在时只有一解.综上所述，当时，有两条公切线，故B正确；当时，有一条公切线，而，所以时，只有一条公切线，故C正确；当时，有三条公切线，而，所以时，有三条公切线，故D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：求两曲线的公切线及其相关问题时，常常结合导数的几何意义表示出公切线方程，列出方程组分析求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.写出一个同时具有下列性质的函数______．①；②为增函数．【答案】（形如都可以，答案不唯一） 【解析】【分析】根据对数的运算性质以及对数函数的单调性可得出结果.【详解】取，该函数的定义域为，对任意的、，，即满足①；又因为函数为定义域上的增函数，即满足②.故函数满足条件.故答案为：（形如都可以，答案不唯一）.14.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】依题意可得在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，令，结合二次函数的性质求出的最大值，即可求解.【详解】因为，，所以，又函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，对称轴为直线，所以函数在上单调递减，所以，所以， 即实数a的取值范围为.故答案为：.15.已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的性质可得时，.若，当时，，结合图象可得，进而求解；若，当时，方程有1个解，结合图象可得，进而求解即可.【详解】当时，，则，若，当时，，因为方程有两个不相等的实数根，如图，所以，即.若，当时，，此时方程有1个解，如图， 当时，方程有1个解需满足，即.综上所述，实数a的取值范围为.故答案为：.16.若是区间上的单调函数，满足，，且（为函数的导数），则可用牛顿切线法求在区间上的根的近似值：取初始值，依次求出图象在点处的切线与x轴交点的横坐标，当与的误差估计值（m为的最小值）在要求范围内时，可将相应的作为的近似值．用上述方法求方程在区间上的根的近似值时，若误差估计值不超过0.01，则满足条件的k的最小值为______，相应的值为______．【答案】①.2②.【解析】【分析】根据牛顿切线法，求解切线方程为，进一步得到，代入检验与的误差估计值不超过0.01即可求解.【详解】设则，，当，故可用牛顿切线法求在区间上的根的近似值.由于在单调递增，所以，所以的最小值为2，即，图象在点处的切线方程为，化简得， 令，则，由于，所以，，，，，，故作为的近似值，故答案为：2，四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）分别求解集合，再根据集合间的交集运算即可求解；（2）由条件可知，利用子集关系，分和列式求解实数的取值范围.【小问1详解】当时，，而，所以.【小问2详解】因为，所以，当时，，即，此时满足； 当时，要使成立，则需满足，解得.综上所述，实数的取值范围是或.18.已知函数，的解集为．（1）求a，b的值；（2）若是定义在上的奇函数，且当时，，求不等式的解集．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先求导，结合题意可得1和2是方程的两个根，且，进而根据韦达定理即可求解；（2）先求得时，，结合导数分析其单调性，进而结合奇函数的性质可得函数是在上的单调性，进而转化为，进而利用单调性即可求解.【小问1详解】因为，所以，又的解集为，所以1和2是方程的两个根，且，所以，解得，.【小问2详解】 由（1）知，，由题意，当时，，则，所以函数在上单调递增，又是定义在上的奇函数，，所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递增.由，得，所以，即，所以不等式的解集为.19.若函数在处取得极小值．（1）求的图象在点处的切线方程；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可得，求出、的值，然后利用函数的极值与导数的关系验证即可，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）由参变量分离法可得，令，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：因为，则， 因为函数在处取得极小值，则，解得，此时，，则，由可得，由可得，所以，函数的减区间为，增区间为，所以，函数在处取得极小值，合乎题意，则，，因此，的图象在点处的切线方程为，即.【小问2详解】解：由可得，设，则，因为，由可得，由可得，所以，函数的减区间为，增区间为，所以，，故.20.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当时，，使得．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对求导，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论与两种情况即可得解；（2）结合（1）中结论，将问题转化为恒成立，从而构造函数 ，利用导数求得即可得证.【小问1详解】因为，则，当时，，函数在上单调递减；当时，当时，单调递减，时，单调递增；综上，当时，函数上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】由（1）可知，当时，在处取得最小值，若，使得，只需，即恒成立即可，令，则，当时，单调递增，当时，，单调递减，故当时，，所以，使得.21.某物流公司计划扩大公司业务，但总投资不超过100万元，市场调查发现，投入资金x（万元）和年增加利润y（万元）近似满足如下关系．（1）若该公司投入资金不超过40万元，能否实现年增加利润30万元？（2）如果你是该公司经营者，你会投入多少资金？请说明理由．【答案】（1）不能实现 （2）投资45万元时，公司年增加利润最大为45万元【解析】【分析】（1）当时，，对函数求导后求出其单调区间，从而可求出其最大值，再与30比较即可；（2由（1）可知当时，的最大值为，然后求出时的最大值进行比较判断【小问1详解】当时，，则，令，则，化简得，解得或（舍去），当时，，则在上递增，当时，，则在上递减，所以当时，取得最大值，因为，所以目标不能实现；【小问2详解】由（1）可知，当时，公司年增加最大利润为万元，当时，，所以当时，取得最大值45，因为，所以投资45万元时，公司年增加利润最大为45万元.22.已知函数．（1）求函数的零点个数；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围．【答案】（1）个零点 （2）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，根据及取值的特征，可得的单调性，再根据零点存在性定理判断即可；（2）求出的解析式与导函数，依题意可得有两个变号零点，令，则只需，有两个变号零点，利用导数求出函数的最小值，即可得到不等式，从而求出的取值范围.【小问1详解】函数定义域为，，显然在上单调递增，又，，所以存在，使得，即，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，且，且时且，，所以在上有唯一的零点.【小问2详解】因为，定义域为，则，因为有两个极值点，所以有两个变号零点，令，，，则，所以在上单调递增，要使有两个变号零点，只需，有两个变号零点， ，当时在上恒成立，单调递增，不满足题意，当时，当，，即单调递减，当，，即单调递增，所以在处取得极小值即最小值，，要使有两个变号零点，则，即，解得，此时，，所以在和上各有一个变号零点，满足题意，综上所述，实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．