黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

2022级高二学年上学期10月份月考数学试卷考试时间：120分钟分值：150分一、单选题（每小题5分，有且只有一个正确选项）1.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A.B.C.或D.或2.直线l经过两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（）A.B.∪C.D.3.设椭圆，的离心率分别为，，若，则（）A.1B.2C.D.4.“”是“方程表示椭圆”的（）A充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知双曲线的左焦点为为坐标原点，右焦点为，点为双曲线右支上的一点，且的周长为为线段的中点，则（）A.1B.2C.3D.46.已知，是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）AB.C.D. 7.已知点满足方程，点．若斜率为斜率为，则的值为（）A.B.C.D.8.已知，则的最小值为（）A.B.C.D.二、多选题（每小题5分，有错误选项得0分，选项不全得2分）9.下列结论不正确的是（）．A.过点，的直线的倾斜角为B.直线恒过定点C.直线与直线之间的距离是D.已知，，点P在x轴上，则的最小值是510.设有一组圆，下列命题正确的是（　　）A.不论k如何变化，圆心始终在一条直线上B.所有圆均不经过点C.经过点的圆有且只有一个D.所有圆的面积均为411.设曲线方程为，下列选项中正确的有（）A.由曲线围成的封闭图形的面积为B.满足曲线的方程的整点（横纵坐标均为整数的点）有5个C.若，是曲线上的任意两点，则，两点间的距离最大值为D.若是曲线上的任意一点，直线l：，则点到直线的距离最大值为12.已知椭圆：（），，分别为其左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，点在椭圆内部，则以下说法正确的是（） A.离心率的取值范围为B.不存在点，使得C.当时，的最大值为D.最小值为1三、填空题（每小题5分）13.已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为________.14.与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程为______．15.设点是圆：上的动点，定点，则的最大值为____．16.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为___________.四、解答题（共6道，满分70分，10+12+12+12+12+12）17.（1）求两条平行直线与间的距离；（2）若直线与直线垂直，求的值.18.直线l过点，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点.（1）若，求直线l的方程；（2）当的面积为6时，求直线l的方程.19.在平面直角坐标系中，已知圆.设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程； （2）设垂直于的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.20.党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国万平方千米的大地之下拥有超过座，总长接近赤道长度的隧道（约千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为米，洞门最高处距路面米.（1）建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程.（2）为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽米，高米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由.21.已知椭圆左右焦点分别为，离心率为．斜率为的直线（不过原点）交椭圆于两点，当直线过时，周长为8．（1）求椭圆的方程；（2）设斜率分别为，且依次成等比数列，求的值，并求当面积为时，直线的方程．22.已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过动点作直线交椭圆于两点，且，过作直线，使与直线垂直，证明：直线恒过定点，并求此定点的坐标． 2022级高二学年上学期10月份月考数学试卷考试时间：120分钟分值：150分一、单选题（每小题5分，有且只有一个正确选项）1.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】可以分截距都为零和截距不为零两种情况进行考虑，截距为零，直线过原点，求出方程即可，截距部位零，利用截距式，设出方程求解即可；也可以设出方程，求出截距，进行计算即可.【详解】解法一当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为，即；当直线不过原点时，设直线方程为，因为直线过点，所以，解得，此时直线方程为.故选：解法二易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.设直线方程为，则时，，时，，由题意知，解得或，即直线方程为或.故选：2.直线l经过两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（）A.B.∪ C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角可求得答案.【详解】直线l的斜率，因为，所以，设直线l的倾斜角为，则，因为，所以或，所以直线l的倾斜角的取值范围是故选：D.3.设椭圆，的离心率分别为，，若，则（）A.1B.2C.D.【答案】B【解析】【分析】根据离心率的关系列方程，从而求得.【详解】对于椭圆，有.因为，所以，解得．故选：B4.“”是“方程表示椭圆”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】等价于.若，则方程表示单位圆若方程表示椭圆，则椭圆方程可化为，则且.故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B.5.已知双曲线的左焦点为为坐标原点，右焦点为，点为双曲线右支上的一点，且的周长为为线段的中点，则（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据右焦点为，得到，进而得到，再根据的周长为得到，然后利用三角形中位线求解.【详解】解：因为右焦点为，所以，又因为，则，又因为，则，所以为坐标原点，且为线段的中点，所以，故选：B6.已知，是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 （）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依题意得点的轨迹是以焦距为直径的圆,因此,进而可求出离心率的取值范围.【详解】因为,所以点的轨迹是以焦距为直径的圆,又满足的点总在椭圆内部,∴,故选:B【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求法,结合了向量,轨迹等相关知识,难度不大.7.已知点满足方程，点．若斜率为斜率为，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，根据题意分析可知点在以为焦点的椭圆上，结合椭圆方程运算求解.【详解】设，则，可得，即点在以为焦点椭圆上，且，所以点的轨迹为，整理得， 由题意可知：，所以.故选：A.8.已知，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先对所求式子配方整理，把问题转化为，求直线上一点，到直线同侧的两点间的距离之和的最小值，就是将军饮马求最值问题，先对其中一点作关于直线的对称点，进一步把问题转化为，求两点间的距离，求解即可.【详解】该式子是表示点到点、点的距离之和，又，上述式子表示直线上的点到点、点的距离之和的最小值（如图）.设点关于直线的对称点为，则有，解得，即， 所以，所以直线上的点到点、点的距离之和的最小值为.故选：D.二、多选题（每小题5分，有错误选项得0分，选项不全得2分）9.下列结论不正确的是（）．A.过点，的直线的倾斜角为B.直线恒过定点C.直线与直线之间的距离是D.已知，，点P在x轴上，则的最小值是5【答案】ABC【解析】【分析】A选项，求出过点，的直线的斜率，进而得到倾斜角不为；B选项，变形后得到方程组，求出恒过点；C选项，直线变形为，利用两平行线间距离公式求出答案；D选项，在坐标系中画出点的坐标，利用对称性求出的最小值.【详解】A选项，过点，的直线的斜率为，设直线倾斜角为，则，由于，故过点，的直线的倾斜角不为，A错误；B选项，直线变形得到，令，解得，故直线恒过点，B错误；C选项，直线变形为，故与直线之间的距离是，故C错误； D选项，在平面直角坐标系中画出，，两点都在轴上方，画出关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则即为最小值，则，D正确.故选：ABC10.设有一组圆，下列命题正确的是（　　）A.不论k如何变化，圆心始终在一条直线上B.所有圆均不经过点C.经过点的圆有且只有一个D.所有圆的面积均为4【答案】AB【解析】【分析】对于AD：由题意可知：圆，的圆心，半径，进而分析判断；对于CD：分别将点，代入方程，通过解的个数分析判断.【详解】由题意可知：圆的圆心，半径.对于选项A：不论k如何变化，圆心始终在直线上，故A正确；对于选项B：令，整理得，因为，可知方程无解， 所以所有圆均不经过点，故B正确；对于选项C：令，整理得，因为，可知方程有两个不同的解，所以经过点的圆有且只有两个，故C错误；对于选项D：因为半径，所以所有圆的面积均为，故D错误；故答案为：AB.11.设曲线的方程为，下列选项中正确的有（）A.由曲线围成的封闭图形的面积为B.满足曲线的方程的整点（横纵坐标均为整数的点）有5个C.若，是曲线上的任意两点，则，两点间的距离最大值为D.若是曲线上的任意一点，直线l：，则点到直线的距离最大值为【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，作出曲线的图象，再数形结合依次讨论各选项求解即可．【详解】对于曲线，当，时，曲线表示，即，表示以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分；当，时，曲线表示，即，表示以为圆心，半径为的圆在第四象限的部分；当，时，曲线表示，即，表示以为圆心，半径为的圆在第二象限的部分；当，时，曲线表示，即，表示以为圆心，半径为的圆在第三象限的部分； 当时，曲线表示坐标原点；即其图象如图所示，由图可知，对于A，曲线围成的图形的面积为4个半圆与1个正方形的面积之和，其面积为，故A正确；对于B，曲线恰好经过，，，，，，，，共9个整点，故B不正确；对于C，曲线上两点之间最大距离为，故C正确；对于D，由直线恒过定点，由知曲线上两点之间最大距离为，故D正确．故选：ACD．12.已知椭圆：（），，分别为其左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，点在椭圆内部，则以下说法正确的是（）A.离心率的取值范围为B.不存在点，使得C.当时，的最大值为D.的最小值为1【答案】ABC 【解析】【分析】A：根据点在椭圆内部可得，从而可得的取值范围，从而可求离心率的取值范围；B：根据相反向量的概念即可求解；C：求出c和，利用椭圆定义将化为，数形结合即可得到答案；D：利用可得，利用基本不等式即可求解.【详解】对于A，由已知可得，，所以，则，故A正确；对于B，由可知，点为原点，显然原点不在椭圆上，故B正确；对于C，由已知，，所以，．又，则．根据椭圆的定义可得，所以，由图可知，，所以当且仅当，，三点共线时，取得等号．故的最大值为，故C正确；对于D，因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立．所以，的最小值为，故D错误．故选：ABC【点睛】本题考查点和椭圆为位置关系，考查椭圆定义和基本不等式在计算最值问题里面的应用.三、填空题（每小题5分）13.已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可.【详解】由题意，表示圆，故，即或，点A（1，2）在圆C：外，故，即故实数m的取值范围为或，故答案为：.14.与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程为______．【答案】【解析】【分析】由椭圆方程求出焦点坐标，得出的值，再由双曲线的离心率得出 ，进而可得双曲线的标准方程．【详解】由椭圆方程，可得焦点为设双曲线的半焦距为，则，因双曲线的离心率为，则故，所以，所以双曲线的标准方程为：故答案为：15.设点是圆：上的动点，定点，则的最大值为____．【答案】10【解析】【分析】求出的坐标，表示出其模，根据P在圆上用x替换y，根据x的范围即可求出最大值.【详解】由题意知，，所以，由于点是圆上的点,故其坐标满足方程，故，所以.由圆的方程，易知，所以当时，的值最大，最大值为.故答案为：1016.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、 的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】设点，利用已知条件求出点的轨迹方程，利用平面向量数量积的运算性质可得出，求出的最小值，即可得出的最小值.【详解】设点，由可得，整理可得，化为标准方程可得，因为为的中点，所以，，记圆心为，当点为线段与圆的交点时，取最小值，此时，，所以，.故答案为：.四、解答题（共6道，满分70分，10+12+12+12+12+12）17.（1）求两条平行直线与间的距离； （2）若直线与直线垂直，求的值.【答案】（1）1;（2）【解析】【分析】（1）利用两平行直线间的距离公式直接求解；（2）根据两直线垂直的性质即可.【详解】（1）根据平行线间的距离公式,得.（2）由题意可知，因为两直线垂直，所以，解得或（舍去），经检验时，两直线垂直，满足题意.18.直线l过点，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点.（1）若，求直线l的方程；（2）当的面积为6时，求直线l的方程.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）设直线的截距式，由题意列出方程组，求出截距即可得解；（2）利用截距表示出三角形面积，再联立方程求出截距，即可得解.【小问1详解】设直线l的方程为（，），（直线l与坐标轴的交点位于正半轴）由题意知，①.因为直线l过点，所以②.联立①②，解得或，所以直线l的方程为或. 【小问2详解】由题意知，即③，联立②③，解得或，所以直线l的方程为或.19.在平面直角坐标系中，已知圆.设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）设垂直于的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）由题意求出圆，圆的圆心和半径，由两圆外切，可得，即可求出答案.（2）由，可求出圆心O1到直线l的距离，再由点到直线的距离公式代入求解即可.【小问1详解】圆：，则圆的标准方程为，即圆的圆心坐标为，半径为，因为圆与x轴相切，与圆O1外切，则圆心，，则圆的半径为，则，解得，即圆的标准方程为；【小问2详解】由（1）知O2（﹣6，1），则，所以直线l的斜率为，设直线l的方程为， 因为，则圆心O1到直线l的距离，所以，解得或，所以直线l的方程为或．20.党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国万平方千米的大地之下拥有超过座，总长接近赤道长度的隧道（约千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为米，洞门最高处距路面米.（1）建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程.（2）为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽米，高米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由.【答案】（1）（2）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，分析可知圆心在轴上，设圆心坐标为，设圆的半径为，将点、的坐标代入圆的方程，求出、的值，结合图形可得出圆弧的方程；（2）求出货车右侧的最高点的坐标，代入圆弧的方程，可得出结论.【小问1详解】解：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、，由圆的对称性可知，圆心在轴上，设圆心坐标为，设圆的半径为，则圆弧所在圆的方程为，因为点、在圆上，则，解得，。所以，圆弧所在圆的方程为，因此，圆弧的方程为.【小问2详解】解：此火车不能通过该路口，由题意可知，隔墙在轴右侧米，车宽米，车高米，所以货车右侧的最高点的坐标为，因为，因此，该货车不能通过该路口.21.已知椭圆左右焦点分别为，离心率为．斜率为的直线（不过原点）交椭圆于两点，当直线过时，周长为8．（1）求椭圆的方程；（2）设斜率分别为，且依次成等比数列，求的值，并求当面积为时，直线的方程．【答案】（1）；（2）；或.【解析】【分析】（1）根据的周长为求出，再根据离心率求出，从而求出椭圆方程.（2）设出直线的方程为，与椭圆方程联立，借助韦达定理表示出依次成等比数列，进而求出的值；再利用弦长公式和点到直线距离公式表示出的面积，求解即可得到的值，从而得到直线的方程. 【小问1详解】由题意，，解得，所以.故椭圆的方程为．【小问2详解】设直线的方程为，与椭圆方程联立得，，且，所以．由题意，，故..此时，，.又点O到直线的距离，故三角形的面积,解得或，所以直线l方程为或. 22.已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过动点作直线交椭圆于两点，且，过作直线，使与直线垂直，证明：直线恒过定点，并求此定点的坐标．【答案】（1）（2）证明见解析，.【解析】【分析】（1）待定系数法求椭圆方程；（2）分类讨论直线斜率是否存在，若存在，设直线斜率，由得弦中点为，结合中点坐标公式，利用韦达定理得到关系，再求出直线方程探究定点即可.【小问1详解】由已知得由解方程组得所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】当直线AB斜率存在时，设AB的直线方程为，联立，消得，，由题意，.设，则.因为，所以是的中点． 即，得，①，又，的斜率为，直线的方程为②，把①代入②可得：，所以直线恒过定点当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过.综上所述，直线恒过点.【点睛】解答圆锥曲线的定点问题的常用策略：（1）参数法：参数法解决定点问题的关键思路在于以下两个环节.①引进动点的坐标或动直线中的参数（如引入动直线的斜率，截距，动点的横或纵坐标等等）表示变化量，即确定题目中核心参数；②利用条件找到参数与过定点的曲线之间的关系，得到关于参数与的等式，再研究曲线不受参数影响时的定点坐标.（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.