适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习考点突破练23不等式选讲选修4_5理（附解析）

考点突破练23　不等式选讲(选修4—5)1.(2023陕西商洛二模)已知函数f(x)=|x-m|+|x+2|.(1)当m=1时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)若关于x的不等式f(x)≤2m-4有解,求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)=lg(|x-m|+|x-2|-3)(m∈R).(1)当m=1时,求函数f(x)的定义域;(2)若不等式f(x)≥0对于x∈R恒成立,求实数m的取值范围.3.(2021全国甲,理23)已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图象;(2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范围. 4.(2023江西赣州二模)设函数f(x)=|x-1|+2|x+5|.(1)求函数f(x)的最小值;(2)若|a|<3,|b|<3,求证:|a+b|+|a-b|<f(x).5.(2023全国乙,理23)已知f(x)=2|x|+|x-2|.(1)求不等式f(x)≤6-x的解集;(2)在直角坐标系xOy中,求不等式组f(x)≤y,x+y-6≤0所确定的平面区域的面积.6.已知a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞).(1)求x1a+x2b+2x1x2的最小值;(2)求证:(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2. 7.(2023河南郑州三模)已知正实数a,b,c.(1)若x,y,z为正实数,求证:a2x+b2y+c2z≥(a+b+c)2x+y+z;(2)求ca+b+ab+c+bc+a的最小值.8.(2023广西玉林二模)已知正数a,b,c满足a2+b2+2c2=4.(1)若a+b+c=3,证明:15≤c≤1;(2)若a=b,求b4+c4bc+bcb4+c4的最小值. 考点突破练23　不等式选讲(选修4—5)1.解(1)当m=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|,当x≥1时,得2x+1≤6,则1≤x≤52;当-2<x<1时,得3≤6,则不等式恒成立;当x≤-2时,得-2x-1≤6,则-72≤x≤-2,综上,不等式f(x)≤6的解集为[-72,52].(2)不等式f(x)≤2m-4有解,即f(x)min≤2m-4.因为|x-m|+|x+2|≥|(x-m)-(x+2)|=|m+2|,所以f(x)min=|m+2|.由|m+2|≤2m-4,得m+2≤2m-4,m+2≥-2m+4,解得m≥6.所以实数m的取值范围为[6,+∞).2.解(1)当m=1时,f(x)=lg(|x-1|+|x-2|-3),即|x-1|+|x-2|-3>0,即等价于x≤1,3-2x-3>0或1<x<2,1-3>0或x≥2,2x-3-3>0,解得x<0或x∈⌀或x>3,故函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(3,+∞).(2)由f(x)≥0对于x∈R恒成立,得|x-m|+|x-2|-3≥1,即|x-m|+|x-2|≥4,又|x-m|+|x-2|≥|m-2|,当且仅当(x-m)(x-2)≤0时等号成立,即|m-2|≥4,解得m≤-2或m≥6,故实数m的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).3.解(1)f(x)=x-2,x≥2,2-x,x<2;g(x)=-4,x≤-32,4x+2,-32<x<12,4,x≥12.(2)取临界状态,如图,设点Q(x,0),P12,4,令过点P,Q的直线的斜率是1,即0-4x-12=1,解得x=-72.由函数f(x)=|x-2|知f(x+a)=|x+a-2|=|x-(2-a)|,函数f(x+a)=|x-(2-a)|的图象的对称轴是直线x=2-a.当2-a≤-72,即a≥112时,f(x+a)≥g(x)成立.所以a∈112,+∞.4.(1)解因为f(x)=|x-1|+2|x+5|=-3x-9,x≤-5,x+11,-5<x≤1,3x+9,x>1,所以f(x)的图象如图所示, 则f(x)在(-∞,-5)内单调递减,在(-5,+∞)内单调递增,所以f(x)min=f(-5)=6.(2)证明若(a+b)(a-b)≥0,则|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|<6,若(a+b)(a-b)<0,则|a+b|+|a-b|=|a+b-(a-b)|=2|b|<6,因此|a+b|+|a-b|<6,而f(x)≥6,故|a+b|+|a-b|<f(x)成立.5.解(1)由题得f(x)=-3x+2,x<0,x+2,0≤x≤2,3x-2,x>2,则当x<0时,-3x+2≤6-x,解得-2≤x<0,当0≤x≤2时,x+2≤6-x,解得0≤x≤2,当x>2时,3x-2≤6-x,无解.综上所述,不等式的解集为{x|-2≤x≤2}.(2)作出不等式组f(x)≤y,x+y-6≤0所表示的平面区域,如图中阴影表示的△ABC,则该平面区域的面积为S△ABC=S△ADC+S△BDC=12|DC|·|xB|+12|DC|·|xA|=12|DC|(|xB|+|xA|)=12×4×4=8.6.(1)解因为a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞),所以x1a+x2b+2x1x2≥3·3x1a·x2b·2x1x2=3·32ab≥3·32(a+b2) 2=3×38=6,当且仅当x1a=x2b=2x1x2,a=b,即a=b=12且x1=x2=1时,x1a+x2b+2x1x2有最小值6.(2)证明(方法一)由a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞),及柯西不等式可得(ax1+bx2)(ax2+bx1)=[(ax1)2+(bx2)2][(ax2)2+(bx1)2]≥(ax1·ax2+bx2·bx1)2=(ax1x2+bx1x2)2=x1x2,当且仅当ax1ax2=bx2bx1,即x1=x2时取得等号.即证.(方法二)因为a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞),所以(ax1+bx2)(ax2+bx1)=a2x1x2+abx22+abx12+b2x1x2=x1x2(a2+b2)+ab(x22+x12)≥x1x2(a2+b2)+ab(2x1x2)=x1x2(a2+b2+2ab)=x1x2(a+b)2=x1x2,当且仅当x1=x2时,取得等号.即证.7.(1)证明由柯西不等式,得a2x+b2y+c2z(x+y+z)≥ax·x+by·y+cz·z2=(a+b+c)2,所以a2x+b2y+c2z≥(a+b+c)2x+y+z.(2)解因为a,b,c为正实数,则a2+b2+b2+c2+a2+c2≥2ab+2bc+2ac,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥ab+ac+bc+2ab+2bc+2ac=3(ab+bc+ac),当且仅当a=b=c时,等号成立.由(1)可得ab+c+ba+c+ca+b=a2ab+ac+b2ab+cb+c2ac+bc≥(a+b+c)22(ab+bc+ac)≥3(ab+bc+ac)2(ab+bc+ac)=32,当且仅当a=b=c时,等号成立.所以ca+b+ab+c+bc+a的最小值为32.8.(1)证明由a+b+c=3,得a+b=3-c,∵(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2=(3-c)2,∴a2+b2≥(3-c)22,当且仅当a=b时,等号成立,∴a2+b2+2c2=4≥(3-c)22+2c2,即5c2-6c+1≤0,解得15≤c≤1.(2)解若a=b,则a2+b2+2c2=2b2+2c2=4,即b2+c2=2,∵b4+c4≥2b2c2,∴2(b4+c4)≥(b2+c2)2,当且仅当b=c=1时,等号成立,∴t=b4+c4bc≥(b2+c2)22bc=2(b2+c2)2bc≥2bcbc=2,当且仅当b=c=1时,等号成立,令f(t)=t+1t(t≥2),∵f(t)在[2,+∞)内单调递增,则f(t)min=f(2)=52,∴b4+c4bc+bcb4+c4的最小值为52.