适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习专题检测4概率与统计文（附解析）

专题检测四　概率与统计一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.现工厂决定从20只相同的“冰墩墩”,15只相同的“雪容融”和10个相同的北京2022年冬奥会会徽中,采用分层随机抽样的方法,抽取一个容量为n的样本进行质量检测,若“冰墩墩”抽取了4只,则n为(　　)A.12B.8C.5D.92.(2023四川南充二模)近年来国产品牌汽车发展迅速,特别是借助新能源汽车发展的东风,国产品牌汽车销量得到了较大的提升.如图是2021年1~7月和2022年1~7月我国汽车销量占比饼状图,已知2022年1~7月我国汽车总销量为1254万辆,比2021年1~7月汽车销量增加了99万辆,则2022年1~7月我国汽车销量与2021年1~7月相比,下列说法正确的是(　　)2021年1~7月我国汽车销量占比2022年1~7月我国汽车销量占比A.日系汽车销量占比变化最大B.国产汽车销量占比变大了C.德系汽车销量占比下降最大D.美系汽车销量变少了3.(2023四川眉山一模)采购经理指数(PMI),是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数,它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节,包括制造业和非制造业领域,是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一,具有较强的预测、预警作用.当制造业PMI高于50%时,反映制造业较上月扩张;低于50%,则反映制造业较上月收缩,下图为我国2021年1月—2022年6月制造业采购经理指数(PMI)统计图.2021年1月—2022年6月制造业采购经理指数(PMI) 根据统计图分析,下列结论最恰当的一项为(　　)A.2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩B.2021年第四季度各月制造业在逐月扩张C.2022年1月至4月制造业逐月收缩D.2022年6月PMI重回临界点以上,制造业景气水平呈恢复性扩张4.(2023江西南昌一模)如图,一组数据x1,x2,x3,…,x9,x10的平均数为5,方差为,去除x9,x10这两个数据后,平均数为,方差为,则(　　)A.>5,B.<5,C.=5,D.=5,5.为考察一种新药预防疾病的效果,某科研小组进行实验,收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中,由列联表中的数据计算得K2的观测值k≈9.616.参照附表,下列结论正确的是(　　)附表:P(K2≥k0)0.0500.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“药物有效”B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“药物无效”C.有99%以上的把握认为“药物有效”D.有99%以上的把握认为“药物无效”6. (2023陕西商洛统考二模)十项全能是田径运动中全能项目的一种,是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目,比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的,总分多者为优胜者.如图,这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图,则下列说法正确的是(　　)A.在400米跑项目中,甲的得分比乙的得分低B.甲的各项得分比乙的各项得分更均衡C.在跳高和铁饼项目中,甲、乙水平相当D.甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大7.(2023四川成都二模)某同学计划在A,B,C,D,E五所大学中随机选两所去参观,则A大学恰好被选中的概率为(　　)A.B.C.D.8.(2023陕西商洛一模)已知函数f(x)=2x-1,在[0,6]上任取一个实数x,使得3≤f(x)≤15的概率为(　　)A.B.C.D.9.某车间加工某种机器的零件数x(单位:个)与加工这些零件所花费的时间y(单位:min)之间的对应数据如下表所示:x/个1020304050y/min6268758189由表中的数据可得回归直线方程x+54.9,则加工70个零件比加工60个零件大约多用(　　)A.5.8minB.6min C.6.7minD.8min10.(2023贵州毕节二模)某市质量检测部门从辖区内甲、乙两个地区的食品生产企业中分别随机抽取9家企业,根据食品安全管理考核指标对抽到的企业进行考核,并将各企业考核得分整理成如下的茎叶图.由茎叶图所给信息,可判断以下结论中正确的是(　　)A.若a=2,则甲地区考核得分的极差大于乙地区考核得分的极差B.若a=4,则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数C.若a=5,则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差D.若a=6,则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数11.(2023广东梅州一模)为了了解小学生的体能情况,抽取了某小学四年级100名学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,绘制如下频率分布直方图.根据此图,下列结论中错误的是(　　)A.x=0.015B.估计该小学四年级学生的一分钟跳绳的平均次数超过125C.估计该小学四年级学生的一分钟跳绳次数的中位数约为119D.四年级学生一分钟跳绳超过125次以上为优秀,则估计该小学四年级优秀率为35%12.(2023四川巴中一模)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和除以4,余数分别为0,1,2,3,所对应的概率分别为P0,P1,P2,P3,则(　　)A.P1<P0=P2<P3B.P0<P1=P3<P2C.P2<P1=P0<P3D.P1<P2=P3<P0二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2023陕西咸阳一模)某校有高三学生1200名,现采用系统抽样的方法从中抽取200名学生进行体检,用电脑对这1200名学生随机编号1,2,3,…,1200,已知随机抽取的一个学生编号为10,则抽取的学生最大编号为　　　　　. 14.(2023河北唐山二模)某种产品的广告费支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)之间有如下对应数据:x13457y1520304045 根据上表数据得到y关于x的线性回归方程=4.5x+a,则a的值为　　　　　. 15.(2023安徽安庆一模)设集合P={0,1,2},x∈P且y∈P,则点(x,y)在圆x2+y2=4内部的概率为　　　　　. 16.(2023山东聊城一模)某班共有50名学生,在期末考试中,小明因病未参加数学考试.参加考试的49名学生的数学成绩的方差为2.在评估数学成绩时,老师把小明的数学成绩按这49名学生的数学成绩的平均数来算,那么全班50名学生的数学成绩的标准差为　　　　　. 三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)家庭教育是现代基础教育必不可少的一个重要组成部分,家庭教育指导师成为一个新兴的行业.因为疫情的影响,某家庭教育指导师培训班转为线上教学.已知该培训班推出网课试听的收费标准为每课时100元,现推出学员优惠活动,具体收费标准如下(每次听课1课时):第n次课第1次课第2次课第3次课第4次课或之后收费比例0.90.80.70.6现随机抽取100位学员并统计他们的听课次数,得到数据如下:听课课时数1课时2课时3课时不少于4课时频数50201020假设网课的成本为每课时50元.(1)根据以上信息估计1位学员消费三次及以上的概率;(2)若一位学员听课4课时,求该培训班每课时所获得的平均利润.18.(12分)(2023四川南充二模)某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系,随机对200名青少年展开了调查,得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”,其中“不爱吃甜食”且“有蛀牙”的有30人,“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的有50人,得到2×2列联表:是否爱吃甜食有蛀牙无蛀牙合计爱吃甜食 不爱吃甜食合计(1)根据已知条件完成所给的2×2列联表,并判断是否有99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关;(2)若从“无蛀牙”的青少年中用分层抽样的方法随机抽取8人作进一步调查,再从抽取的这8人中随机抽取2人去担任“爱牙宣传志愿者”,求抽取的2人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的青少年的概率.附:K2=,n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.0500.0100.005k03.8416.6357.87919.(12分)(2023江西赣州统考一模)某学校为了加强落实“读物管理”,鼓励优质读物进校园,营造学校良好的阅读氛围,充分发挥课外读物帮助学生开阔视野、陶冶情操、增长知识、启迪智慧、塑造良好品质和健康人格等方面的积极作用,决定举办“阅读经典·收获未来”知识竞赛.班主任张老师拿到班委推选的参赛名单后,按要求需从甲、乙两人中先淘汰一人,为此特意调取了甲、乙两人5次模拟大赛的成绩,统计结果如茎叶图所示.(1)你认为派谁去参赛合适?请用统计知识说明理由.(2)据悉,知识大赛现场有一个观众互动游戏环节:将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》与对应作者用红线连起来,求观众丙恰好连对1个的概率. 20.(12分)(2023江西九江二模)某市正在创建第七届全国文明城市,某中学为了增强学生对该市创文的了解和重视,组织全校高三学生进行了“创文知多少”知识竞赛(满分100),现从中随机抽取了文科生、理科生各100名同学,统计他们的知识竞赛成绩分布如下:学生[0,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]文科生116234416理科生92427328合计1040507624(1)在得分小于80分的学生样本中,按文理科类分层抽样抽取5名学生.①求抽取的5名学生中文科生、理科生各有多少人;②从这5名学生中随机抽取2名学生,求抽取的2名学生中至少有一名文科生的概率.(2)如果得分大于等于80分可获“创文竞赛优秀奖”.能否有99.9%的把握认为获“创文竞赛优秀奖”与文理科类有关?参考数据:P(K2≥k0)0.100.050.010.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828 K2=,其中n=a+b+c+d.21.(12分)买鞋时常常看到下面的表格.脚长与鞋号对应表脚长/mm220225230235240245250255260鞋号343536373839404142(1)若将表中两行数据分别看成数列,记脚长为数列{an},鞋号为数列{bn},试写出bn关于an的表达式,并估计30号童鞋所对应的脚长是多少?(2)有人认为可利用线性回归模型拟合脚长x(单位:mm)和鞋号y之间的关系,请说明合理性;若一名篮球运动员脚长为282mm,请判断该运动员穿多大号的鞋?请说明理由.附:相关系数r=. 22.(12分)(2023湖南岳阳二模)根据国家统计局公布的数据,对2013~2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y进行统计,得到如下表格:年份20132014201520162017201820192020年份代码x12345678垃圾焚烧无害化处理厂的个数y166188220249286331389463(1)根据表格中的数据,能否用线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系,请用相关系数加以说明(精确到0.01);(2)求出y关于x的线性回归方程,并预测2023年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数;(3)对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数,还能用(2)所求的线性回归方程预测吗?请简要说明理由.参考公式:相关系数r=,回归方程x+中斜率和截距的最小二乘公式分别为x.参考数据:yi=2292,=204,=730348,xiyi=12041,5732=328329,≈10.25,≈85.84,≈20.49.专题检测四　概率与统计1.D　解析20∶15∶10=4∶3∶2,由于“冰墩墩”抽取了4只,所以“雪容融”抽取了3只,“冬奥会会徽”抽取了2只.所以n=4+3+2=9.故选D.2.B　解析由饼状图可得日系汽车销量占比下降2.2%,德系汽车销量占比下降1.6%,美系与其他下降不足1%,而国产汽车销量占比增加5%>2.2%,故B选项正确,A,C选项错误;美系汽车销量由(1254-99)×9.2%=106.26万辆变为1254×8.9%=111.606万辆,美系汽车销量增加了,D选项错误.故选B. 3.D　解析对于A选项,由统计图可以得到,只有9月份的制造业PMI低于50%,故A选项错误;对于B选项,由统计图可以得到,10月份的制造业PMI低于50%,故B选项错误;对于C选项,由统计图可以得到,1,2月份的制造业PMI高于50%,故C选项错误;对于D选项,由统计图可以得到,从4月份的制造业PMI呈现上升趋势,且在2022年6月PMI超过50%,故D选项正确.故选D.4.D　解析由题意可得xi=5,x9=1,x10=9,则xi=50,故xi=xi-x9-x10)=×(50-1-9)=5.∵x9,x10是波幅最大的两个点的值,则去除x9,x10这两个数据后,整体波动性减小,故.故选D.5.C　解析因为k≈9.616,即7.879<k<10.828,所以有99%以上的把握认为“药物有效”.故选C.6.D　解析由雷达图可知,在400米跑项目中,甲的得分比乙的得分高,A错误;甲各项得分的波动较大,乙的各项得分均在(600,800]上,波动较小,B错误;在铁饼项目中,乙比甲水平高,C错误;甲的各项得分的极差大于400,乙的各项得分的极差小于200,D正确.故选D.7.B　解析由题意,从五所大学随机选两所共有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE10种结果,其中含有A大学的有AB,AC,AD,AE,共4种结果,所以所求概率P=.8.A　解析由3≤2x-1≤15,得2≤x≤4,则所求概率P=.故选A.9.C　解析由表中的数据,得=30,=75,将代入x+54.9,得=0.67,所以加工70个零件比加工60个零件大约多用70+54.9-(60+54.9)=10=6.7(min).故选C.10.C　解析对于A,甲地区考核得分的极差为94-75=19,乙地区考核得分的极差为99-74=25,即甲地区考核得分的极差小于乙地区考核得分的极差,故A错误;对于B,甲地区考核得分的平均数为×(75+78+81+84+85+88+92+93+94)=,乙地区考核得分的平均数为×(74+77+80+84+87+83+94+99+91)=,即甲地区考核得分的平均数大于乙地区考核得分的平均数,故B错误;对于C,甲地区考核得分从小到大排列为75,78,81,84,85,88,92,93,94,乙地区考核得分从小到大排列为74,77,80,83,84,87,91,95,99,由以上数据可知,乙地区考核得分的波动程度比甲地区考核得分的波动程度大,即甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差,故C正确;对于D,由茎叶图可知,甲地区考核得分的中位数为85,乙地区考核得分的中位数为84,则甲地区考核得分的中位数大于乙地区考核得分的中位数,故D错误.故选C.11.B　解析根据题意可得(0.005×3+0.01+2x+0.02+0.025)×10=1,可得x=0.015,故A正确;平均数为90×0.05+100×0.15+110×0.2+120×0.25+130×0.15+140×0.1+150×0.05+160×0.05=120.5, 所以B错误;由频率分布直方图可知(0.005+0.015+0.02)×10=0.4,而0.4+0.25>0.5,中位数落在区间[115,125)内,设中位数为a,则(a-115)×0.025=0.5-0.4,可得a=119,所以C正确;超过125次以上的频率为(0.15+0.1+0.05+0.05)×10=0.35,所以优秀率为35%,即D正确.故选B.12.A　解析由题设,两枚骰子所得点数和除以4的余数情况如下,除以4的余数123456123012323012303012301412301252301236301230由上表知,共36种情况,其中余数为0,1,2,3的分别有9种,8种,9种,10种,所以P1=<P0=P2=<P3=.故选A.13.1198　解析根据系统抽样的方法可知,分组间隔为6,编号共分为200组,编号10属于第2段,所以最大编号在第200组,号码为10+6×(200-2)=1198.14.12　解析=4,=30,可得样本中心点为(4,30),=4.5x+a过(4,30),可得30=4.5×4+a,所以a=12.15.　解析由题意,点(x,y)有如下情况(0,0),(1,1),(2,2),(0,1),(0,2),(1,0),(1,2),(2,0),(2,1),共9种,满足在圆x2+y2=4内部的情况有(0,0),(1,1),(0,1),(1,0),共4种,所以点(x,y)在圆x2+y2=4内部的概率为.16.　解析设参加考试的49名学生的数学成绩为xi(i=1,2,3,…,49),平均成绩为,由题意得=2,则全班50名学生的数学成绩的标准差为=.17.解(1)由题知,在100名学员中听课三次及以上的有30人,故1位学员消费三次及以上的概率大约为=0.3. (2)当一位学员听课4课时时,学费为100×(0.9+0.8+0.7+0.6)=300(元),网课成本共50×4=200(元),所以培训班每课时所获得的平均利润为=25(元).18.解(1)由题意可知,补全2×2列联表如下:是否爱吃甜食有蛀牙无蛀牙总计爱吃甜食9030120不爱吃甜食305080总计12080200∵k==28.125>7.879,∴有99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关.(2)若从“无蛀牙”的青少年中用分层抽样的方法随机抽取8人作进一步调查,则爱吃甜食的有3人,设为x,y,z,不爱吃甜食的有5人,设为a,b,c,d,e,从中随机选取2人,所有可能的情况为{x,y},{x,z},{y,z},{x,a},{x,b},{x,c},{x,d},{x,e},{y,a},{y,b},{y,c},{y,d},{y,e},{z,a},{z,b},{z,c},{z,d},{z,e},{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,e},{c,d},{c,e},{d,e},共28种,其中抽取的2人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的情况有{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,e},{c,d},{c,e},{d,e},共10种,故抽取的2人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的青少年的概率为P=.19.解(1)甲的平均成绩为=82,乙的平均成绩为=82,甲的成绩的方差×[(70-82)2+(78-82)2+(84-82)2+(85-82)2+(93-82)2]=58.8,乙的成绩的方差为×[(73-82)2+(74-82)2+(81-82)2+(90-82)2+(92-82)2]=62,由于,则甲的成绩较稳定,故派甲参赛比较合适.(2)记四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》的作者依次为A,B,C,D,则在游戏互动中,观众丙随机连线的结果有ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BCDA,BCAD,BDAC,BDCA,BACD,BADC,CABD,CADB,CBDA,CBAD,CDAB,CDBA,DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCBA,DCAB,共24种,其中恰好连对1个的结果有ACDB,ADBC,BDCA,BCAD,CABD,CBDA,DACB,DBAC,共8种,所以观众丙恰好连对1个的概率为P=. 20.解(1)①得分小于80分的学生中,文科生与理科生人数分别为40和60,比例为2∶3,所以抽取的5人中,文科生2人,理科生3人.②这5名学生有2人是文科生,记作a1,a2,3人是理科生,记作b1,b2,b3,随机抽取两名学生可能的情况有10种:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),其中至少有一名文科生的情况有7种:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),因此抽取的2名学生中至少有一名文科生的概率为P=.(2)由题中数据可得如下2×2列联表:学生创文竞赛优秀奖未获优秀奖合计文科生6040100理科生4060100合计100100200k==8<10.828,所以没有99.9%的把握认为获“创文竞赛优秀奖”与文理科类有关.21.解(1)在数列{an}中,an+1=an+5,a1=220,所以{an}是以220为首项,5为公差的等差数列,可得an=215+5n.①在数列{bn}中,bn+1=bn+1,b1=34,所以{bn}是以34为首项,1为公差的等差数列,可得bn=33+n.②由①②可得bn=0.2an-10.③将脚长和对应鞋号记作(a,b),当b=30时,代入公式③可得a=200,估计30号童鞋对应的脚长200mm.(2)合理性说法一:由(1)可得脚长与鞋号之间满足一次函数关系,相关系数为1,故可用线性回归模型拟合.合理性说法二:将表格中数据代入公式计算可得,r==1,故可用线性回归模型拟合.当a=282时,代入公式③可得,b=46.4.建议一:选46号鞋,刚开始会稍有挤脚,但穿过一段时间后鞋子会变大,就比较舒适了.建议二:选47号鞋,穿上会比较宽松,运动员运动量比较大,宽松的鞋子会更舒适一些.建议三:选46.5号鞋,相对而言更合脚一些.22.解(1), 相关系数r====≈0.98,因为y与x的相关系数r=0.98,接近1,所以y与x的线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合y与x的关系.(2)≈41.12,-41.12×=101.46,所以y与x的线性回归方程为=41.12x+101.46.又因为2023年对应的年份代码x=11,当x=11时,=41.12×11+101.46=553.78≈554,所以预测2023年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为554.(3)对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数,不能由(2)所求的线性回归方程预测,理由如下(说出一点即可):①线性回归方程具有时效性,不能预测较远情况;②全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限,一段时间内不再新建;③受国家政策的影响,可能产生新的生活垃圾无害化处理方式.