适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练3三角函数与解三角形（附解析）

考点突破练3　三角函数与解三角形1.(2023安徽蚌埠三模)已知函数f(x)=3sinωxcosωx+cos2ωx-12(ω>0).(1)若ω=1,求函数f(x)的最小正周期;(2)若y=f(x)的图象在区间(0,π4)内有且仅有一条对称轴,求f(π8)的取值范围.2.(2023福建福州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2+c2-a2sinB=a2+c2-b2sinA.(1)证明:A=B;(2)若D为BC的中点,从①AD=4,②cosC=14,③CD=2这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立.3.(2023山东潍坊模拟)如图,P为半圆(AB为直径)上一动点,OA⊥OB,OA=3,OB=1,记∠BAP=θ.(1)当θ=15°时,求PO的长;(2)当△APO周长最大时,求θ.4.(2023湖南长沙模拟)如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足3cacosB+tanB=3. (1)求A;(2)在△ABC所在平面上存在点E,连接BE,CE,若EC=3AC,∠ACE=∠A,∠EBC=30°,BC=2,求△ABC的面积.5.某城建部门欲沿河边规划一个三角形区域建设市民公园.如图,MN为该城区内河段的一部分,现有两种设计方案,方案一的设计为△AMN区域,方案二的设计为△BMN区域,经测量,AM=AN=700米,BM=500米,BN=800米,∠A=∠B.(1)求MN的长度.(2)若市民公园建设每平方米的造价为80元,不考虑其他因素,要使费用较低,该选哪个方案?说明理由,并求出造价为多少?(参考数据:3≈1.732)6.(2023浙江湖州、衢州、丽水二模)在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足sinAsinC-1=sin2A-sin2Csin2B,且A≠C.(1)求证:B=2C;(2)已知BD是∠ABC的平分线,若a=4,求线段BD长度的取值范围. 考点突破练3　三角函数与解三角形1.解(1)f(x)=3sinωxcosωx+cos2ωx-12=32sin2ωx+1+cos2ωx2-12=32sin2ωx+12cos2ωx=sin(2ωx+π6).由ω=1,得f(x)=sin(2x+π6),则T=2π2=π.(2)由x∈(0,π4),得2ωx+π6∈(π6,π2ω+π6),因为y=f(x)的图象在区间(0,π4)内有且仅有一条对称轴,所以π2<π2ω+π6≤3π2,解得23<ω≤83.因为f(π8)=sin(π4ω+π6),且π3<π4ω+π6≤5π6,所以12≤sin(π4ω+π6)≤1,所以f(π8)的取值范围是[12,1].2.(1)证明已知b2+c2-a2sinB=a2+c2-b2sinA,由余弦定理可得2bccosAsinB=2accosBsinA,即bcosAsinB=acosBsinA.又由正弦定理bsinB=asinA,得cosA=cosB.因为A,B均为△ABC中内角,所以A=B.(2)解在△ABC中,A=B,D为BC的中点,如图所示.①②⇒③由(1)知,AC=BC,则AC=2CD.在△ACD中,cosC=AC2+CD2-AD22AC·CD=4CD2+CD2-164CD2=14,解得CD=2.①③⇒②由(1)知,AC=BC,则AC=2CD=4,所以在△ACD中,cosC=AC2+CD2-AD22AC·CD=16+4-162×4×2=14.②③⇒①由(1)知,AC=BC,则AC=2CD=4.在△ACD中,由余弦定理,得AD2=AC2+CD2-2AC·CDcosC=16+4-2×4×2×14=16,所以AD=4.3.解(1)在△ABO中,OA⊥OB,OA=3,OB=1,则AB=2,∴∠BAO=30°,∠ABO=60°,且O在以AB为直径的圆上,∴∠APO=60°.在△APO中,∠PAO=45°,OA=3,由正弦定理,得OPsin45°=OAsin60°,解得OP=2.(2)在△APO中,∠APO=60°,OA=3,由余弦定理,得OA2=PA2+PO2-2PA·POcos∠APO,即PA2+PO2-PA·PO=3,∴(PA+PO)2-3PA·PO=3,∴3PA·PO=(PA+PO)2-3≤3(PA+PO2)2,当且仅当PA=PO=3时,等号成立,∴(PA+PO)2≤12,∴PA+PO≤23.故当PA=PO时,△APO周长最大,此时∠PAO=60°,∴θ=60°-30°=30°.4.解(1)在△ABC中,由3cacosB+tanB=3,得3c=3acosB-asinB.由正弦定理,得3sinC=3sinAcosB-sinAsinB.因为sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),因此3sin(A+B)=3sinAcosB-sinAsinB,即3cosAsinB=-sinAsinB,而0°<A<180°,0°<B<180°,则sinB≠0,故3cosA=-sinA, 显然cosA≠0,则tanA=-3,故A=120°.(2)令∠ABC=α,四边形内角和为360°,由(1)的结论知,E=90°-α.在△ABC中,由正弦定理得,BCsinA=ACsinα,则AC=433sinα.在△BCE中,ECsin∠CBE=BCsinE,则EC=2×12sinE=1sin(90°-α)=1cosα.又EC=3AC,则4sinα=1cosα,即2sin2α=1,得sin2α=12.因为A=120°,A+α+∠ACB=180°,则0<α<60°,故2α=30°,即α=15°.又sinα=sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=6-24,因此AC=433sinα=32-63.又∠ACB=45°,所以△ABC的面积S△ABC=12AC·BCsin45°=12×32-63×2×22=3-33.5.解(1)在△AMN中,由余弦定理得cosA=AM2+AN2-MN22AM·AN=490000+490000-MN22×700×700.在△BMN中,由余弦定理得cosB=BM2+BN2-MN22BM·BN=250000+640000-MN22×500×800.由∠A=∠B,得cosA=cosB,故490000+490000-MN22×700×700=250000+640000-MN22×500×800,解得MN=700,故MN的长度为700米.(2)方案二的设计符合要求.理由如下:因为S△AMN=12·AM·AN·sinA=245000sinA,S△BMN=12·BM·BN·sinB=200000sinB.又sinA=sinB,所以S△AMN>S△BMN.故选择方案二的设计,建设市民公园的费用较低.因为AM=AN=MN=700米,所以△AMN是等边三角形,则∠A=∠B=60°,所以S△BMN=12·BM·BN·sinB=1000003≈173200平方米,所以总造价为80×173200=13856000元.故方案二符合要求,最低造价为13856000元.6.(1)证明由题意得,sinA-sinCsinC=sin2A-sin2Csin2B,即1sinC=sinA+sinCsin2B.由正弦定理得,b2=c2+ac.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,所以c=a-2ccosB,即sinC=sinA-2sinCcosB,故sinC=sin(B+C)-2sinCcosB,整理得sinC=sin(B-C).又△ABC为锐角三角形,则C∈(0,π2),B∈(0,π2),B-C∈(-π2,π2),所以C=B-C,即B=2C.(2)解在△BCD中,由正弦定理得,asin∠BDC=BDsinC,所以4sin∠BDC=BDsinC,所以BD=4sinCsin∠BDC=4sinCsin2C=2cosC.因为△ABC为锐角三角形,且B=2C,所以0<C<π2,0<2C<π2,0<π-3C<π2,解得π6<C<π4.故22<cosC<32,所以433<BD<22.因此线段BD的长度的取值范围为(433,22).