浙江省七彩阳光新高考研究联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

绝密★考试结束前2023学年第一学期浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设全集，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用补集和交集的定义可求得集合.【详解】因为全集，集合，则或，又因为，则.故选：A.2.函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】根据函数的定义域要求求解定义域即可.【详解】函数定义域需满足，解得且，即，故选：C3.设或，或，则是的（）条件．A.充分不必要B.必要不充分C.充要条件D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根据条件的充分性必要性判断即可.【详解】取，此时条件成立，条件不成立，所以，不是的充分条件；对任意或者，都满足或者，所以，是的必要条件，故是的必要不充分条件，故选：B4.已知，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式性质进行分析求解.【详解】由题干可知，对于选项A，两边同时乘，当时，所以.选项A错误.由题干可知，对于选项B，两边同时乘，当时，所以.选项B错误.由题干，选项C，两边同时乘，则可知成立，选项C正确.由题干可知，当，，，则，选项D错误.故选：C.5.若函数，无最值，则的取值范围是（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的单调性可得答案.【详解】若函数在无最值，只需即可.故选：D.6.已知函数，则的解析式为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】应用换元法求函数解析式，注意定义域.【详解】令，则，所以，综上，.故选：B7.若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】不等式在区间内有解，转化为，求出的最大值可得答案.【详解】因为，所以由不等式得， 不等式在区间内有解，只需，因为在上单调递增，所以的最大值为，可得，解得.故选：D.8.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先将函数表示成分段函数，作出其图像，判断函数奇偶性，利用函数的单调性求解抽象不等式即得.【详解】由函数=作出函数图象，故函数为偶函数，且在上为增函数，又由，故可得：两边平方化简可得：解得： 故选：B.二、选择题（本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9.已知函数，则关于函数的结论正确的是（）A.B.若，则的值为C.的图象关于轴对称D.的值域为【答案】BD【解析】【分析】将代入可知A错误；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和方程求得B正误,根据定义域不关于原点对称判断奇偶性判断C选项，分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知D正确；【详解】对于A，因为，所以，所以A错误；对于B，当时，由，得，解得，当时，由，得，解得或（舍去），综上，，所以B正确;对于C，的定义域为定义域不关于原点对称函数没有奇偶性,的图象不关于轴对称,所以C错误；对于D，因为，所以的定义域为，当时，，当时，，所以的值域为，所以D正确；故选：BD.10.若为上的奇函数，则下列说法正确的是（）A.B.是偶函数 C.是偶函数D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据函数奇偶性逐个判断即可.【详解】因为为上的奇函数，所以，对于A：所以，A正确；对于B：，所以是奇函数，B错误；对于C：，所以是偶函数，C正确；对于D：令，则，又因为为上的奇函数，所以，所以，D正确，故选：ACD11.已知是定义在上的函数，且对任意，有，当时，，则下列结论正确的是（）A.不等式的解为B.是的增区间C.方程有5个解D.，，都有【答案】BC【解析】【分析】根据已知画出函数草图，数形结合判断各项正误即可.【详解】由题设知：关于对称，结合已知解析式可得图象如下： 由图知：的解集为，A错；是的增区间，B对；令，若，则，当，对应有两个值，当，对应有两个值，当，对应有一个值，所以共有5个，C对；由，而，所以，D错.故选：BC12.已知正实数、满足，则下列结论中正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式可判断ABC选项；对于D选项，由已知可得出，可得出，求出的取值范围，结合双勾函数的单调性可判断D选项.【详解】因为正实数、满足. 对于A选项，当，时，，可得，即，当且仅当时，即当时，等号成立，A对；对于B选项，若，，则，所以，，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，B错；对于C选项，若，，则，则，当且仅当时，即当时，等号成立，C对；对于D选项，若，，则，可得，即，则，又因为，则，令，所以，，因为函数在上单调递减，则，即，D对.故选：ACD.非选择题部分三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.命题“，”的否定是__________． 【答案】，【解析】【分析】由全称命题的否定：任意改存在并否定原结论，即可得答案.【详解】由全称命题的否定为特称命题，原命题的否定为，.故答案为：，14.计算：__________．【答案】【解析】【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值.【详解】原式.故答案为：.15.若函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】由分段函数的单调性，结合一次函数性质列不等式组求参数范围.【详解】由题意，，则，可得.故答案为：16.已知实数、、满足，则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】由已知可得出，可得出，结合二次函数的基本性质可得出的最大值. 【详解】因为，则，由，可得，所以，，因为，当且仅当时，即当或，等号成立，因此，的最大值为.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余各题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.设集合，集合，其中、为常数．（1）用列举法表示集合；（2）若，写出以的值组成的集合．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接求出集合即可；（2）由题意可得，分、两种情况讨论，根据求出、的值，即可得出以的值组成的集合.【小问1详解】解：.【小问2详解】解：因为，则. ①当时，，则或，此时，或；②当时，，则或，此时，.综上所述，以的值组成的集合为.18.已知幂函数在区间单调递增．（1）求实数的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）由幂函数的定义可得，再利用在上单调递增，即可得出范围；（2）代入得，平方即可求解.【小问1详解】因为是幂函数，则，解得或，又因为在区间单调递增，则，故；【小问2详解】由（1）得，则，则19.已知函数．（1）若，，解关于的不等式；（2）若，，求的取值范围．【答案】（1）答案见解析； （2）.【解析】【分析】（1）先转化为关于的不等式，然后对进行分类讨论即可；（2）先求出和，再应用待定系数法求出，最后应用不等式性质相加即可.【小问1详解】因为，所以，又因为，所以，所以，代入可得，即，即当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为，所以当时不等式的解集为，当时不等式的解集为，当时不等式的解集为；【小问2详解】，又因，令，解得，而，两式相加可得，所以，即.20.是定义在上的函数，满足以下性质：①、，都有，②当 时，．（1）判断的单调性并加以证明；（2）不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）单调递增，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）判断出在上为增函数，令，可得出，令，可得出，然后任取、且，可得出，利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）将已知不等式变形可得，利用（1）中的结论可得，整理可得对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.【小问1详解】函数在上为增函数，证明如下：令，可得，则，令，可得，所以，，任取、且，则，故，所以，，即，因此，函数在上为增函数.【小问2详解】由可得，所以，，整理可得对任意的恒成立， 当时，即，则有，解得，不合乎题意；当时，则有，解得.因此，实数的取值范围是.21.用不等式知识解决下列问题：（1）已知克糖水中有克糖，往糖水中加入克糖，（假设糖全部溶解）糖水更甜了，请将这个事实表示为一个不等式；（2）某超市进货，，三种水果榶，进货价格分别为元/千克，元/千克，元/千克，然后把所有榶混合成什锦榶，进货方案有两种，方案一：每种榶进货1500元，方案二：每种榶进货100千克；问哪种方案混合成的什锦榶每千克的价格更低？【答案】21.22.答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意列出不等式即可；（2）根据题意表示出来每种方案的平均价格，然后应用基本不等式比较大小，即可判断哪种方案经济.小问1详解】不等式为【小问2详解】若按第一种方案采购，每种糖用的钱数是，则购买3种糖的平均价格为，若按第二种方案采购，每种糖购买量为，则购买3种糖的平均价格为，又， 所以当时，两种方案一样；当时，第一种方案比较经济.22.已知函数，，常数．（1）若是奇函数，设、，实数满足，求的取值范围；（2）当时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义求出的值，可得出函数的解析式，利用基本不等式求出函数的值域，根据以及函数的值域可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围；（2）分、两种情况讨论，构造函数，计算后得到，在时得到对任意的恒成立，在时得到对任意的恒成立，结合一次函数的基本性质可求得实数的取值范围.【小问1详解】解：函数的定义域为，且函数为奇函数，则，所以，，可得，解得，所以，，当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立，此时，；当时，，当且仅当时，即当时，等号成立，此时，，又因为，所以，函数的值域为，对、，有，若、中至少有一个零时，则，此时，；若、两个均不为零时，则、，则，不妨设，，则，，则，由不等式的性质可得，即，解得或，综上所述，实数的取值范围是.【小问2详解】解：当时，由可得，即，令，所以，对任意的恒成立，显然当时矛盾；当时，由可得，即，则，所以，对任意的恒成立， 当时，则由，合乎题意，当时，则有，解得，此时，，当且时，，矛盾.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键就是采取作差法，将式子进行化简，通过降次，转化为一次不等式恒成立问题，再结合一次函数的基本性质求解.