宁夏中卫市中宁县第一中学2022-2023学年高三上学期10月月考理科数学试题（Word版附解析）

中宁县第一中学2022—2023学年第一学期高三年级线上测试数学试卷（理）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先解一次不等式，结合得到集合A，再解一元二次不等式得到集合，从而利用集合的交集运算即可求得.【详解】由解得，又因为，所以，即；由得，故，即；所以.故选：A.2.若非零实数满足，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】通过反例可说明ABD错误；由可知，得C正确.【详解】对于A，当时，，A错误；对于B，当时，，B错误；对于C，，，，C正确；对于D，当时，无意义，D错误. 故选：C.3.下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用基本初等函数、正切函数的单调性以及奇偶性，逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，函数为奇函数，且在定义域上不单调，A不满足条件；对于B选项，函数奇函数，且在定义域上不单调，B不满足条件；对于C选项，设，因为，，则，所以，函数不是奇函数，C不满足条件；对于D选项，函数为奇函数，且在定义域上为增函数，D满足条件.故选：D.4.在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息．在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有2个1的概率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出总的事件个数，再求恰好有2个1的种数，根据概率公式即可求解.【详解】每个位置可排0或1，故有2种排法，因此用6个数字的一个排列的总个数为，恰好有2个1的排列的个数共有，故概率为：，故选：D5.函数的图象大致是（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数值的正负排除B，由函数的奇偶性排除C，由函数在时的变化趋势排除D．从而得正确选项．【详解】由题意，排除B；又，不是偶函数也不是奇函数，排除C；当时，，排除D．故选：A．【点睛】本题考查函数函数解析式选取函数图象，解题方法是排除法，通过研究的性质，函数值的正负，变化趋势等排除错误选项，后可得正确选项．6.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于C.讲座前问卷答题正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【解析】【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为,所以错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为，讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错.故选:B.7.“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分 C.充分必要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，则，解得：，当时，，，则，所以函数为奇函数，即充分性成立；“函数为奇函数”，则，即，解得：，故必要性不成立，故选：A．8.已知等比数列的前3项和为168，，则（）A.14B.12C.6D.3【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以. 故选：D.9.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到，再利用同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；【详解】解：由，即，即，则，所以.故选：D10.已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（）A.2B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】由为偶函数，结合为奇函数，可得以为周期的函数，从而根据已知的解析式可求出.【详解】因为是定义在上的奇函数，故可得，又为偶函数，所以有：，所以，有，即所以，故以为周期，故． 因为当时，，所以.故选：B11.北京时间2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量（单位：千米/秒）可以用齐奥尔科夫斯基公式来表示，其中，（单位：千米/秒）表示它的发动机的喷射速度，（单位：吨）表示它装载的燃料质量，（单位：吨）表示它自身（除燃料外）的质量.若某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度v达到第一宇宙速度（7.9千米/秒），则火箭的燃料质量与火箭自身质量之比约为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题设得，应用将对数化为指数形式即可得.【详解】由题设，，则.故选：C12.若且，且，且，则（） A.B.CD.【答案】C【解析】【分析】构造函数，求导，根据函数的单调性比大小即可.【详解】由，两边同时以为底取对数得，同理可得，，设，，则，，，，令，解得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，则，且，所以，故，故选：C.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若展开式中各项系数的和等于64,则展开式中的系数是________.【答案】【解析】【分析】先由各项系数的和，求出，再由二项展开式的通项公式，即可求出结果.【详解】因为展开式中各项系数的和等于64，所以，解得；所以展开式的通项为，令，得的系数为. 故答案为【点睛】本题主要考查二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.14.设函数，则使得成立的范围是_________.【答案】【解析】【分析】根据函数为偶函数以及在上递增，原不等式等价于，即可解出不等式．【详解】因为函数的定义域为R，，所以函数为偶函数，当时，，易知在上递增，在上递减，所以函数在上递增．原不等式等价于，所以，解得：．故答案为：．15.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为______．【答案】30【解析】【分析】先取2人一组且甲乙不在一组共有种，与剩余2人一起分配到3个不同的班级，再由分步乘法计数原理求得结果.【详解】取两个人一组，其中甲乙不在一组，共有种取法，剩余的2人和这一组分别分到三个不同的班级共有种分法，由分步乘法计数原理知，不同分法的种数为种.故答案为：3016.已知函数，若函数恰有三个零点，则实数 的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】将零点问题转化为函数的与的交点个数问题，画出两函数的图象，利用导函数求出当直线与相切时的的值，数形结合求出实数的取值范围.【详解】作出函数的与图象如图：当时，，则，当为的切线时，即，解得，即切点为，代入得，故当时，函数与恰有三个交点，故恰有三个零点；当为的切线时，即，解得，即切点为，代入得，令当过原点时，，所以由图象可知：当时，满足函数与恰有三个交点，故恰有三个零点；综上的取值范围是．故答案为：三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17至21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17.设命题：对任意，不等式恒成立，命题存在，使得不等式成立.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）考虑命题为真命题时，转化为对任意的成立，解出不等式可得出实数的取值范围；（2）考虑命题为真命题时，则可转化为对任意的成立，可解出实数的取值范围，然后由题中条件得出命题、一真一假，分真假和假真两种情况讨论，于此可求出实数的取值范围.【详解】对于成立，而，有，∴，∴存在，使得不等式成立，只需而，∴，∴；（1）若为真，则；（2）若为假命题，为真命题，则一真一假.若为假命题，为真命题，则，所以；若为假命题，为真命题，则，所以.综上，或.【点睛】 本题考查复合命题的真假与参数的取值范围，考查不等式在区间上成立，一般转化为最值来求解，另外在判断复合命题的真假性时，需要判断简单命题的真假，考查逻辑推理能力，属于中等题．18.在中，角A､B､C所对的边分别是a､b､c，的面积为S，且.（1）求角A；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合三角形面积公式和余弦定理即可求出tanA，从而求出A；(2)根据余弦定理求出c边，根据三角形面积公式即可求解．【小问1详解】由，可得，则，即，则，∵，∴；【小问2详解】在中，由余弦定理得，，即，可得或(舍)，则．19.年至今，因为新冠病毒的肆虐，各地不停地按下暂停键，居家隔离期间，人们对社会的依赖，对政府部门的期待也达到了前所未有的高度.某机构对封管区居民对政府部门的态度进行了一项网络调查，并随机抽取了份问卷进行了成绩统计，得到下表，规定成绩在为满意.成绩人数 （1）根据以上数据，补全列联表，并判断是否有的把握认为满意度与年龄有关？满意不满意合计岁及以上岁以下合计（2）为鼓励居民积极参与问卷调查，该机构设计奖励方案，参与问卷调查者可进行一次摸奖，从装有大小形状相同的个白球，个红球的口袋中，一次摸个球，如果摸到个红球获得元话费，摸到个红球获得元话费，个都是红球获得元话费，某人参加了问卷调查，他获得的话费为元，求的分布列及数学期望.附：【答案】（1）列联表见解析；有的把握认为满意度与年龄有关（2）分布列见解析；数学期望【解析】【分析】（1）由表格数据补全列联表即可；由列联表计算可得，由此可得结论；（2）首先确定所有可能的取值，并计算得到每个取值对应的概率，由此可得分布列；利用数学期望公式计算可得期望.【小问1详解】由表格数据可得列联表如下：满意不满意合计岁及以上 岁以下合计由列联表计算得：，有的把握认为满意度与年龄有关.【小问2详解】由题意知：所有可能的取值为，，，；；；；；的分布列为：则数学期望.20.已知等差数列的前项的和为.（1）求的通项公式;（2）求数列的前项和.并证明.【答案】（1）.（2），证明见解析.【解析】【分析】（1）利用基本量法以及等差数列的性质求解.（2）利用裂项相消法以及不等式的性质求解证明.【小问1详解】 设的公差为d，由题意得：，解得，所以.【小问2详解】令，由（1）有：，所以，，，，.21.已知函数．（1）求的极值；（2）当时，总有，求实数a的取值范围．【答案】（1）时，无极值；时，的极大值为，无极小值.（2）【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数，分类讨论求得函数的单调性，即可求解函数的极值； （2）解法一：依题意，令，不等式的恒成立，即为在恒成立，利用导数分类讨论求解函数的单调性和最值，即可求解；解法二：依题意，令，不等式的恒成立，转化为在恒成立，求得，利用二次函数的性质，求得函数的单调性与最值，即可求解.【小问1详解】的定义域为，，①时，，在上为增函数，所以无极值.②时，令，得.时，，为增函数，时，，为减函数，故的极大值为，无极小值.综上，时，无极值；时，的极大值为，无极小值.【小问2详解】解法一：依题意，当时，，即，即在恒成立，令，即在恒成立.，①时，，在上为增函数，时，，不合题意，舍去.②时，令，则，，所以时，，为减函数， 所以，适合题意；③时，，方程有两个不等实根，因为，所以时，，为增函数，故，不合题意，舍去.综上，的取值范围为.解法二：依题意，在恒成立，令，即在恒成立.，①时，因为，所以在上为增函数，故，适合题意；②时，令，，，以为，所以时，为减函数且，所以，为减函数，所以时，不合题意，舍去. ③时，的图象对称轴为，因为，，所以时，为减函数且，所以，故为减函数，所以时，，不合题意，舍去.综上，的取值范围为.【点睛】思路点睛：本题主要考查利用导数解决不等式的恒成立问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若点，直线l交曲线C于P，Q两点，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）消参可得直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的转化公式可求圆的直角坐标方程；（2）直线参数方程代入圆的方程可得关于t的一元二次方程，由根与系数的关系及几何意义求解.【小问1详解】 由直线l的参数方程（t为参数），消去参数可得：即直线l普通方程为，由可得，即，所以圆C的直角坐标方程：.【小问2详解】将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得：，即，设P､Q关于的参数分别是，，故与异号，.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.【小问1详解】 因为，所以等价于，或，或，解得或或，所以，即不等式的解集为．【小问2详解】因，当且仅当时等号成立；所以函数的最小值为，由已知可得，所以或，解得或，即a的取值范围．