统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点七解三角形理（附解析）

热点(七)　解三角形1．(解三角形解的个数问题)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定2．(解三角形求面积)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为(　　)A．4B．4C．2D．23．(解三角形判断三角形形状)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cosA，则△ABC为(　　)A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形4．(解三角形求角)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC－(b－c)cosA＝0，则角A的大小为(　　)A．B．C．D．5．(解三角形求面积最值)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，b＝4，则△ABC的面积的最大值为(　　)A．4B．2C．2D．[答题区]题号12345答案6.[2023·东北三校第二次联合模拟考试](解三角形求边)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，b－c＝2，cosA＝，则a的值为________．7．[2023·全国甲卷(理)](解三角形应用)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________．8．(解三角形应用求高)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m. 9．[2023·成都市第二次诊断性检测](和三角形面积有关的问题)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(b－a)cosC＝ccosA.(1)求角C的大小；(2)若a＝，c(acosB－bcosA)＝b2，求△ABC的面积．10．(解三角形综合)已知△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，·＝S.(1)求cosA的值；(2)若a，b，c成等差数列，求sinC的值． 热点（七）　解三角形1．C　由＝，得sinB＝＝＝>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在，故选C.2．C　由余弦定理，得（2）2＝AB2＋42－2×4×ABcos60°，化简为AB2－4AB＋4＝0，解得AB＝2，所以S△ABC＝AC·AB·sinA＝×4×2×＝2，故选C.3．A　由<cosA，得<cosA，所以sinC<sinBcosA，即sin（A＋B）<sinBcosA，所以sinAcosB<0，因为在三角形中sinA>0，所以cosB<0，所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故选A.4．A　∵acosC－（b－c）cosA＝0，∴由正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝sinBcosA，即sinB＝sinBcosA.∵sinB≠0，∴cosA＝.∵0<A<π，∴A＝.故选A.5．A　因为在△ABC中，＝，所以（2a－c）cosB＝bcosC，所以（2sinA－sinC）cosB＝sinBcosC，所以2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC＝sin（B＋C）＝sinA，所以cosB＝，即B＝，由余弦定理可得16＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，所以ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，所以△ABC的面积S＝acsinB＝ac≤4.6．答案：4解析：因为A∈（0，π），cosA＝，所以sinA＝＝，又S△ABC＝bcsinA＝，所以bc＝8，结合b－c＝2 ，解得b＝4，c＝2.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝16＋4－2×8×＝16，故a＝4.7．答案：2解析：方法一　由余弦定理得cos60°＝，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋.又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以×2ACsin60°＝×2ADsin30°＋AC×ADsin30°，所以AD＝＝＝2.方法二　由角平分线定理得＝，又BD＋CD＝，所以BD＝，CD＝.由角平分线长公式得AD2＝AB×AC－BD×CD＝2AC－，又由方法一知AC＝1＋，所以AD2＝2＋2－＝2＋2－（2－2）＝4，所以AD＝2.8．答案：100解析：在△ABC中，∵∠BAC＝30°，∠CBA＝105°，∴∠ACB＝45°.又∵AB＝600m，∴由正弦定理＝，得BC＝300m.在Rt△BCD中，∠DBC＝30°，BC＝300m，tan∠DBC＝＝，∴DC＝100m.9．解析：（1）由已知及正弦定理，得sinBcosC－sinAcosC＝sinCcosA，∴sinBcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＝sin（A＋C）.∵A＋C＝π－B，∴sin（A＋C）＝sinB，∴sinBcosC＝sinB.又sinB≠0，∴cosC＝.∵C∈（0，π），∴C＝.（2）由已知及余弦定理，得ac·－bc·＝b2，化简得a2＝2b2，∵a＝，∴b＝1.∴△ABC的面积S△ABC＝absinC＝××1×＝.10．解析：（1）由·＝S，得bccosA＝×bcsinA，即sinA＝cosA，代入sin2A ＋cos2A＝1，整理得cos2A＝，由sinA＝cosA，知cosA>0，所以cosA＝.（2）由a，b，c成等差数列，可得2b＝a＋c，结合正弦定理可得2sinB＝sinA＋sinC，即2sin（A＋C）＝sinA＋sinC，所以2sinAcosC＋2cosAsinC＝sinA＋sinC，①将cosA＝，sinA＝cosA＝代入①，整理得cosC＝，代入sin2C＋cos2C＝1，整理得65sin2C－8sinC－48＝0，解得sinC＝或sinC＝－，因为C为△ABC的内角，所以C∈（0，π），则sinC>0，所以sinC＝.