四川省宜宾市叙州区第一中学2022-2023学年高二上学期期末模拟数学（理）试题（Word版附解析）

叙州区一中2022-2023学年高二上期期末模拟考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2.考试结束后，将本试卷自己保管，答题卡交回.3.考试时间：120分钟第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（）人.A.16B.18C.20D.24【答案】A【解析】【分析】由已知可求得抽样比为，再求出高三的学生数，即可求出结果.【详解】设高一学生数为，则高二学生数为，高三学生数为.所以，该高中共有学生数为，解得.用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，抽样比为，所以，高三年级应该抽取人.故选：A.2.设，且则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据负数或0举反例，结合不等式的性质逐个判断即可.【详解】对A，当时，但，故A错误；对B，当时，故B错误； 对C，当时，但，故C错误；对D，则，故D正确；故选：D3.已知则x＋2y的最大值为（）A.2B.3C.5D.6【答案】C【解析】【分析】作出可行域，根据简单线性规划求解即可．【详解】作出可行域如图：由可得：，平移直线经过点时，有最大值，由解得，．故选：C4.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】设,由于Ü，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B5.在崂山的山脚下临海断崖南侧，距岸百米处有一座石柱，形如老人坐在碧波之中，人称“石老人”.老人以手托腮，注目凝神，每天晨迎旭日，暮送晚霞，伴着潮起潮落，历尽沧桑，不知度过了多少岁月.这个由大自然鬼斧神工雕凿的艺术杰作，已成为石老人国家旅游度假区的重要标志，若该景区在开放时间内，每半个小时会有一趟观光车从景区入口发车，有一名学生周日上午某时刻到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意，等待时间的区间为，而等待时间不多于10分钟的等待时间区间为，根据几何概型求解即可.【详解】解：由题意，观光车的发车间隔为30分钟，即等待时间的区间为，设等待时间为，则等待时间不多于10分钟的等待时间区间为，由几何概型可得，等待时间不多于10分钟的概率为.故选：D.6.若某圆的标准方程为，则此圆的圆心和半径长分别为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接利用圆的标准方程得到答案.【详解】圆的标准方程为 则圆心为，半径为故选：B7.自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制．二进制以为基数，只用和两个数表示数，逢进，二进制数与十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如．我国数学史上，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口诀：，，，则八进制下等于A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由二进制的转化为十进制的方法，只要一次累加个位数字上的数该数为的权重，即可得到转化，求得答案．【详解】由题意知，，，根据十进制与八进制的转化可得，所以，故选A．【点睛】本题主要考查了算法的概念及其应用，其中解答中熟记十进制与八进制的转化方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8.已知，，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（）A.相交B.外切C.内切D.相离【答案】B【解析】【分析】由题意求出动点的轨迹方程,再由两圆圆心距与半径的关系判断.【详解】设,由题意可知, 整理得,点的轨迹方程为,其图形是以为圆心，以2为半径的圆，而圆的圆心坐标为,半径为1,可得两圆的圆心距为3,等于,则动点的轨迹与圆的位置关系是外切.故选：B.9.已知A，B，C是表面积为的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】设球的半径为，外接圆的半径为，根据题意求出，再根据球心到的距离，即三棱锥的高，从而可得出答案.【详解】解：设球的半径为，外接圆的半径为，在中，由，，则得，所以，因为球O的表面积为，则，解得，所以球心到的距离，即三棱锥的高为，，所以三棱锥的体积.故选：C.10.已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C点，若 ，则等于（）A.2B.3C.D.【答案】B【解析】【分析】过点作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于，根据相似得到，再利用抛物线的性质得到答案.【详解】如图所示：过点作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于，则，，，故，即.故选：B11.如图，在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点在线段上运动，包括线段两端点）.则下面说法中正确的有（　　）①对任意的点，是等腰三角形；②存在点，使得平面；③对任意的点，的面积都不大于；④对任意的点，的面积都不等于. A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据，求得，结合，可判定①正确；由点为平面与直线的交点时，得到平面，可判定②正确；由①可知是等腰三角形，当点与重合时，求得的面积最大值，可判定③正确；由的最小值即为点到直线的距离，结合，求得面积的最小值，可判定④错误.【详解】对于①中，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，，，，，，，因为点在上，设，由，可得，得，，，所以，可得，所以，，所以，即，所以①正确.对于②：当点为平面与直线的交点时，可得平面，所以②正确； 对于③中，由①可知是等腰三角形，所以与的面积成正比关系，在中，当点与重合时，此时最大，的面积最大，最大值为的面积，所以③正确；对于④中，由的最小值即为点到直线的距离，设点到直线的距离为，可得，可得，所以的最小值为，此时的面积最小，最小值为，所以④错误.故选：A.12.在平面直角坐标系中，分别是双曲线的左､右焦点，过作渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的右支交于点，且，，则双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用双曲线的定义建立的关系即可解得答案.【详解】设，其中，则焦点到渐近线的距离又因为，所以，又，得.则在中，有，，.则由余弦定理得则渐近线方程.故选：C第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线，若，则与的距离为_______.【答案】【解析】【分析】由求得的值，再根据两平行线间的距离计算即可.【详解】解：直线，当时，，解得；当时，与重合，不满足题意；当时，，此时； 所以，与的距离为故答案为：.14.已知函数的图像恒过点，点在直线上．则的最小值为_________.【答案】【解析】【分析】根据对数函数的性质求出点坐标，由点在直线上列方程求，再利用基本不等式求的最小值.【详解】对于函数，令可得，所以函数恒过定点，又点在直线上，所以，所以，因为，所以且，所以，当且仅当，即时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为4.故答案为：.15.已知命题，命题，若的否定为真命题，为真命题，则实数的范围是__________.【答案】【解析】【分析】由命题可得，由此可得的否定为真命题时的范围.再得为真命题时的范围.最后可得答案.【详解】，解得故当的否定为真命题时，实数的范围是 因为真，则，解得.则的范围是,若的否定为真命题，为真命题，则实数的范围是.故答案为：16.已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】将已知转化为直线与曲线有两个不同的交点，画出图形，结合图形可得所求的范围．【详解】由题意，将已知转化为直线与曲线有两个不同交点，直线过定点，曲线表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分（包括与轴的交点），画出图形如下图所示．当直线，即直线与圆相切时，则有，解得，．结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时，则有， ∴实数的取值范围是．故答案为：．【点睛】解决曲线交点个数、方程根的个数等关于“个数”的问题时，一般要结合图形（或函数的图象）求解，即利用数形结合的方法求解，考查数形结合思想的运用和转化能力，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答17.在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.（1）求圆的方程；（2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）求出过点且与直线垂直的直线方程，与联立求出圆心，根据两点间的距离求出半径，即可得圆的方程；（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.【小问1详解】过点且与直线垂直的直线方程为，联立，解得，所以,所以圆的半径为,所以圆的方程为. 【小问2详解】由（1）可知圆的方程为，因为直线被圆截得的弦长为，所以到直线的距离为，若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，不符合题意；若直线斜率存在，设方程为，则,即,解得或,所以直线的方程为或.18.已知函数．（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】(1)根据不等式的解集可得对应方程的根，从而可求实数的值；(2)根据不等式恒成立可得关于的不等式组，从而可求实数的取值范围. 【小问1详解】由题意可知：关于关于不等式的解集为，则且和是方程的两个根，所以，解得：，所以实数，.【小问2详解】因为，故函数，由题意，对任意恒成立，即关于的不等式在上恒成立，当，即时，可得，解得：，不满足题意，故舍去；当，即时，可得，解得：，综上所述：实数的取值范围为.19.某中药企业计划种植两种药材，通过大量考察研究得到如下统计数据.药材的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：年份20172018201920202021年份编号12345单价（元/公斤）1820232529药材的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下： （1）若药材的单价（单位：元/公斤）与年份编号间具有线性相关关系；请求出关于的回归直线方程，并估计2022年药材A的单价；（2）利用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）；（3）若不考虑其他因素影响，为使收益最大，试判断2022年该药企应当种植药材A还是药材B？并说明理由.参考公式：回归直线方程，其中.【答案】（1），元/公斤（2）401公斤（3）药材A的每亩产值更高，应该种植药材A，理由见解析【解析】【分析】（1）首先求出，，即可求出、，从而求出回归方程，再令，即可得解；（2）根据频率分布直方图中平均数公式计算可得；（3）比较、两种药材的均值，即可判断；【小问1详解】解：，.，故回归直线方程为， 当时，，从而2022年药材的单价预计为元/公斤.【小问2详解】解：组距为20，自左向右各组的频率依次为从而B药材的平均亩产量为公斤【小问3详解】解：预计2022年药材每亩产值为元，药材B每亩产值为元元，所以药材的每亩产值更高，应该种植药材.20.已知O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，P是C上在第一象限内的一点，PF与x轴垂直，．（1）求C的方程；（2）经过点F的直线l与C交于异于点P的A，B两点，若的面积为，求l的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）根据抛物线方程以及P的位置关系，由即可计算抛物线方程；（2）由题意可知直线l的斜率一定存在，设出直线方程并与抛物线联立方程组，利用弦长公式并根据的面积为即可求得直线的斜率，得到直线方程.【小问1详解】由题可知，点P的坐标为．因为，所以，解得p＝6或p＝－6（舍去），故C的方程为．【小问2详解】由题可知，，所以直线l的斜率一定存在， 可设l的方程为，，．联立方程组，整理得，则，．所以的面积，解得或（舍去），故l的方程为或．21.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（1）证明：AE⊥PB；（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接BD，设AE中点为O，可证，故而AE⊥平面POB，于是AE⊥PB；（2）证明OP⊥OB，建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．【详解】（1）连接BD，设AE的中点为O，∵AB∥CE，AB＝CECD，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE，△ABE为等边三角形， ∴OD⊥AE，OB⊥AE，折叠后，又OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AE⊥PB．（2）在平面POB内作PQ⊥平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，∴直线PB与平面ABCE夹角为∠PBO，又OP＝OB，∴OP⊥OB，∴O、Q两点重合，即PO⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），E（，0，0），C（1，，0），∴（，0，），（，，0），设平面PCE的一个法向量为（x，y，z），则，即，令x得（，﹣1，1），又OB⊥平面PAE，∴（0，1，0）为平面PAE的一个法向量，设二面角A﹣EP﹣C为α，则|cosα|＝|cos|，由图可知二面角A﹣EP﹣C为钝角，所以cosα． 【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查面面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22.已知椭圆的长轴长为是坐标原点，分别为椭圆的左､右焦点，点在椭圆上，且的内切圆半径为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，且直线的斜率之和为.①求直线经过的定点的坐标；②求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）①；②.【解析】【分析】（1）根据长轴长为8可求出，再根据的面积公式可求出，进而确定椭圆的方程；（2）①设出直线方程与椭圆进行联立，标准设而不求的步骤后，将韦达定理代入斜率和为的表达式中可得定点；②将①中求出的参数代入韦达定理，表示出的面积，求此表达式的最大值即可.【小问1详解】由题意可知，又的内切圆半径为，所以，又，所以，解得.因为，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】①设，联立整理，得，所以，可得，，设直线的斜率分别为，因为直线的斜率之和为，所以，即，所以，又，所以，所以直线经过的定点的坐标为.②设直线经过的定点为，则，设，则，当且仅当时，即，即时取等号，此时，所以，即的面积的最大值为.【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．