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备考2024届高考数学一轮复习强化训练第五章数列突破1数列中含绝对值及奇偶项问题

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突破1数列中含绝对值及奇偶项问题1.[命题点1]设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝13.（1）求an；（2）若{an}是递增数列，求数列{｜an－n－2｜}的前n项和.解析　（1）设等比数列{an}的公比为q.由题意得a1＋a1q＋a1q2＝13，即1＋q＋q2＝13，解得q＝3或q＝－4.故an＝3n－1或an＝（－4）n－1.（2）由（1）知，an＝3n－1.令bn＝｜an－n－2｜＝｜3n－1－n－2｜.由3n－1－n－2≥0，得3n－1≥n＋2，所以n≥3.由3n－1－n－2＜0，得n≤2，即n＝1，2.设数列{｜an－n－2｜}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn.当n＝1时，T1＝b1＝2；当n＝2时，T2＝b1＋b2＝3；当n≥3时，Tn＝3＋9（1－3n－2）1－3－（n－2)(n+7）2＝3n－n2－5n+112.T1不满足上式，T2满足上式.综上，Tn＝2，n=1，3n－n2－5n+112，n≥2.2.[命题点2/2023合肥一中诊断]在等比数列{an}中，已知a2＝4，a5＝32.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝（－1）n·log2an，求数列{bn}的前n项和Sn.解析　（1）设{an}的公比为q，则a1q=4，a1q4=32，解得a1=2，q=2，所以数列{an}的通项公式为an＝2×2n－1＝2n.（2）由（1）得bn＝（－1）n·log2an＝（－1）n·n，所以数列{bn}的前n项和Sn＝－1＋2－3＋4－5＋6－7＋8－…＋（－1）n·n，当n为偶数时，Sn＝－1＋2－3＋4－5＋6－7＋8－…＋n＝n2；当n为奇数时，Sn＝－1＋2－3＋4－5＋6－7＋8－…－n＝n－12－n＝－n+12.所以Sn＝－n+12，n为奇数，n2，n为偶数.3.[命题点2/2023江苏南京外国语学校、金陵中学三模]已知正项数列{an}满足a1＝1，an+12－an2＝8n.（1）求{an}的通项公式；（2）记bn＝ansinanπ2，数列{bn}的前n项和为Sn，求S2023.解析　（1）对任意的n∈N*，an+12－an2＝8n，当n≥2时，an2＝（an2－an－12）＋…＋（a22－a12）＋a12＝8（n－1）＋…＋8×1＋1＝8[1＋2＋3＋…＋（n－1）]＋1＝8×n（n－1）2＋1＝（2n－1）2， 因为an＞0，所以an＝2n－1.当n＝1时，a1＝1符合an＝2n－1，所以an＝2n－1，n∈N*.（2）bn＝ansin（an2·π）＝（－1）n＋1（2n－1），所以当k∈N*时，b2k＋b2k＋1＝－（4k－1）＋4k＋1＝2，故S2023＝b1＋（b2＋b3）＋（b4＋b5）＋…＋（b2022＋b2023）＝1＋2×1011＝2023.

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所属： 高考 - 一轮复习
发布时间：2024-02-10 10:05:02 页数：2
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文章作者：随遇而安

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