备考2024届高考数学一轮复习强化训练第六章平面向量复数第3讲平面向量的数量积及应用极化恒等式

极化恒等式例6（1）[2022北京高考]在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则PA·PB的取值范围是（　D　）A.[－5，3]B.[－3，5]C.[－6，4]D.[－4，6]解析　解法一（极化恒等式）　设AB的中点为M，CM与CP的夹角为θ，由极化恒等式得PA·PB＝PM2－14AB2＝（CM－CP）2－254＝CM2＋CP2－2CM·CPcosθ－254＝254＋1－5cosθ－254＝1－5cosθ，因为cosθ∈[－1，1]，所以PA·PB∈[－4，6].解法二　以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（0，4），设P（x，y），则x2＋y2＝1，PA＝（3－x，－y），PB＝（－x，4－y），所以PA·PB＝x2－3x＋y2－4y＝（x－32）2＋（y－2）2－254，又（x－32）2＋（y－2）2表示圆x2＋y2＝1上一点到点（32，2）距离的平方，圆心（0，0）到点（32，2）的距离为52，所以PA·PB∈[（52－1）2－254，（52＋1）2－254]，即PA·PB∈[－4，6]，故选D.解法三　以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（0，4），因为PC＝1，所以P在以（0，0）为圆心，1为半径的圆上，所以设点P坐标为（cosα，sinα），则PA·PB＝（3－cosα，－sinα）·（－cosα，4－sinα）＝1－3cosα－4sinα＝1－5sin（α＋φ）（其中tanφ＝34）.因为sin（α＋φ）∈[－1，1]，所以PA·PB∈[－4，6].（2）[全国卷Ⅱ]已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·（PB＋PC）的最小值是（　B　）A.－2B.－32C.－43D.－1解析　解法一　如图，取BC的中点D，则PB＋PC＝2PD，则PA·（PB＋PC）＝2PA·PD.在△PAD中，取AD的中点O，则2PA·PD＝2｜PO｜2－12｜AD｜2＝2｜PO｜2－32.由于点P在平面内是任意的，因此当且仅当点P，O重合时，｜PO｜取得最小值，即2PA·PD取得最小值－32.故选B.解法二　如图，以等边三角形ABC的底边BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，3），B（－1，0），C（1，0）.设P（x，y），则PA＝（－x，3－y），PB＝（－1－x，－y），PC＝（1－x，－y），所以PA·（PB＋PC）＝（－x，3－y）·（－2x，－2y）＝2x2＋2（y－32）2－32，易知当x＝0，y＝32时，PA·（PB＋PC）取得最小值，最小值为－32.故选B. 方法技巧极化恒等式：a·b＝14[（a＋b）2－（a－b）2].几何意义：向量a，b的数量积等于以这组向量所对应的线段为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”的平方差的14.应用：（1）在▱ABCD中，O为AC，BD的交点，则有AB·AD＝14（4｜AO｜2－4｜OB｜2）＝｜AO｜2－｜OB｜2.（2）如图，在△ABC中，若M是BC的中点，则AB·AC＝AM2－14BC2.训练4[2023山东青岛二中5月模拟]如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且AD＝λBC，AD·AB＝－32，则实数λ的值为　16　，若M，N是线段BC上的动点，且｜MN｜＝1，则DM·DN的最小值为　132　.解析　依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，由AD·AB＝｜AD｜·｜AB｜·cos∠BAD＝－32｜AD｜＝－32，得｜AD｜＝1，因此λ＝｜AD｜｜BC｜＝16.取MN的中点E，连接DE，则DM＋DN＝2DE，DM·DN＝14[（DM＋DN）2－（DM－DN）2]＝DE2－14NM2＝DE2－14.注意到线段MN在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即AB·sinB＝332，因此DE2－14的最小值为（332）2－14＝132，即DM·DN的最小值为132.思维帮·提升思维　快速解题三角形“四心”的向量表示与运用角度1　垂心的向量表示与运用例7[2023山西朔州模拟]已知H为△ABC的垂心，若AH＝13AB＋25AC，则sin∠BAC＝　63　.解析　如图，连接BH，CH，因为AH＝13AB＋25AC，所以BH＝BA＋AH＝－23AB＋25AC，CH＝CA＋AH＝13AB－35AC.由H为△ABC的垂心，得BH·AC＝0，即（－23AB＋25AC）·AC＝0，可知25｜AC｜2＝23｜AC｜·｜AB｜cos∠BAC，即cos∠BAC＝3｜AC｜5｜AB｜　①，同理有CH·AB＝0，即（13AB－35AC）·AB＝0，可知13｜AB｜2＝35｜AC｜｜AB ｜cos∠BAC，即cos∠BAC＝5｜AB｜9｜AC｜　②，①×②得cos2∠BAC＝13，得sin2∠BAC＝1－cos2∠BAC＝1－13＝23，又sin∠BAC＞0，所以sin∠BAC＝63.方法技巧1.垂心的定义：三角形三条高的交点称为该三角形的垂心.2.垂心的性质：设O是△ABC的垂心，P为△ABC所在平面内任意一点，则有（1）OA·OB＝OB·OC＝OC·OA；（2）｜OA｜2＋｜BC｜2＝｜OB｜2＋｜CA｜2＝｜OC｜2＋｜AB｜2；（3）动点P满足AP＝λ（AB｜AB｜cos∠ABC＋AC｜AC｜cos∠ACB）或OP＝OA＋λ（AB｜AB｜cos∠ABC＋AC｜AC｜cos∠ACB），λ∈R时，动点P的轨迹经过△ABC的垂心.角度2　重心的向量表示与运用例8[2023广州一中诊断]如图，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC分别交于M，N两点，AM＝xAB，AN＝yAC，则xyx＋y＝　13　.解析　由M，G，N三点共线得，存在实数λ使得AG＝λAM＋（1－λ）AN＝xλAB＋y（1－λ）AC，且0＜λ＜1.因为G是△ABC的重心，所以AG＝13（AB＋AC），所以xλ＝13，y（1－λ）＝13，则x＝13λ，y＝13（1－λ），故xy＝19λ（1－λ），x＋y＝13λ（1－λ），则xyx＋y＝19λ（1－λ）×3λ（1－λ）＝13.方法技巧1.重心的定义：三角形三条中线的交点称为该三角形的重心.2.重心的性质：设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有（1）OA＋OB＋OC＝0；（2）PO＝13（PA＋PB＋PC）；（3）动点P满足AP＝λ（AB＋AC）或OP＝OA＋λ（AB＋AC），λ∈[0，＋∞）时，动点P的轨迹经过△ABC的重心.角度3　外心的向量表示与运用例9[2023湖北荆门模拟]已知点O为△ABC所在平面内一点，在△ABC中，满足2AB·AO＝｜AB｜2，2AC·AO＝｜AC｜2，则点O为该三角形的（　B　）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析　因为2AB·AO＝2｜AB｜｜AO｜cos∠OAB＝｜AB｜2，所以｜AO｜cos∠OAB＝12｜AB｜，则向量AO在向量AB上的投影向量的长度为｜AB｜的一半，所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，所以点O为该三角形的外心，故选B.方法技巧1.外心的定义：三角形三边垂直平分线的交点称为该三角形的外心. 2.外心的性质：若O是△ABC的外心，则有（1）｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜；（2）（OA＋OB）·AB＝（OA＋OC）·AC＝（OB＋OC）·BC＝0.角度4　内心的向量表示与运用例10[2023四川南充阶段测试]已知O是△ABC所在平面内一点，且点O满足OA·（AB｜AB｜－AC｜AC｜）＝OB·（BA｜BA｜－BC｜BC｜）＝OC·（CA｜CA｜－CB｜CB｜）＝0，则点O为△ABC的（　C　）A.外心B.重心C.内心D.垂心解析　解法一　AB｜AB｜，AC｜AC｜分别是与AB，AC方向相同的单位向量，可令AB｜AB｜＝AD，AC｜AC｜＝AE，连接ED，则△ADE为腰长是1的等腰三角形，AB｜AB｜－AC｜AC｜＝ED，所以OA·ED＝0，所以AO为∠CAB的平分线，同理BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，所以O为△ABC的内心.故选C.解法二　OA·（AB｜AB｜－AC｜AC｜）＝0，即OA·AB｜AB｜＝OA·AC｜AC｜，即｜OA｜·｜AB｜｜AB｜cos（π－∠OAB）＝｜OA｜·｜AC｜｜AC｜·cos（π－∠OAC），所以∠OAB＝∠OAC，即AO是∠BAC的平分线，同理可得BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，所以O为△ABC的内心.方法技巧1.内心的定义：三角形三条内角平分线的交点称为该三角形的内心.2.内心的性质：若O是△ABC的内心，P为平面内任意一点，则有（1）aOA＋bOB＋cOC＝0（a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长）；（2）动点P满足AP＝λ（AB｜AB｜＋AC｜AC｜）或OP＝OA＋λ（AB｜AB｜＋AC｜AC｜），λ∈[0，＋∞）时，动点P的轨迹经过△ABC的内心.训练5（1）[2023长春模拟]点O是平面α上一定点，点P是平面α上一动点，A，B，C是平面α上△ABC的三个顶点（点O，P，A，B，C均不重合），以下命题正确的是　①②③④　.①动点P满足OP＝OA＋PB＋PC，则△ABC的重心一定在满足条件的P点的集合中；②动点P满足OP＝OA＋λ（AB｜AB｜＋AC｜AC｜）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点的集合中；③动点P满足OP＝OA＋λ（AB｜AB｜sinB＋AC｜AC｜sinC）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点的集合中；④动点P满足OP＝OA＋λ（AB｜AB｜cosB＋AC｜AC｜cosC） （λ∈R），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点的集合中.解析　对于①，OP＝OA＋PB＋PC，移项得－OA＋OP＝AP＝PB＋PC，即PA＋PB＋PC＝0，则点P是△ABC的重心，故①正确.对于②，因为动点P满足OP＝OA＋λ（AB｜AB｜＋AC｜AC｜）（λ＞0），移项得AP＝λ（AB｜AB｜＋AC｜AC｜）（λ＞0），所以AP与∠BAC的平分线对应的向量共线，所以P在∠BAC的平分线上，所以△ABC的内心在满足条件的P点的集合中，②正确.对于③，OP＝OA＋λ（AB｜AB｜sinB＋AC｜AC｜sinC）（λ＞0），即AP＝λ（AB｜AB｜sinB＋AC｜AC｜sinC），过点A作AD⊥BC，垂足为D，则｜AB｜sinB＝｜AC｜sinC＝AD，AP＝λAD（AB＋AC），设M为BC的中点，则AB＋AC＝2AM，则AP＝2λADAM，所以P在BC的中线上，所以△ABC的重心一定在满足条件的P点的集合中，③正确.对于④，OP＝OA＋λ（AB｜AB｜cosB＋AC｜AC｜cosC）（λ∈R），即AP＝λ（AB｜AB｜cosB＋AC｜AC｜cosC），所以AP·BC＝λ（AB·BC｜AB｜cosB＋AC·BC｜AC｜cosC）＝λ（－｜BC｜＋｜BC｜）＝0，所以AP⊥BC，所以P在边BC上的高所在的直线上，所以△ABC的垂心一定在满足条件的P点的集合中，④正确.故正确的命题是①②③④.（2）[多选/2023安徽淮北师大附中模拟]数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的重心、垂心和外心共线.这条线就是三角形的欧拉线.在△ABC中，O，H，G分别是外心、垂心和重心，D为BC边的中点，则下列四个选项中正确的是（　ABD　）A.GH＝2OGB.GA＋GB＋GC＝0C.AH＝ODD.S△ABG＝S△BCG＝S△ACG解析　根据题意画出图形，如图所示.对于B，连接GD，由重心的性质可得G为AD的三等分点，且GA＝－2GD，又D为BC的中点，所以GB＋GC＝2GD，所以GA＋GB＋GC＝－2GD＋2GD＝0，故B正确.对于A，C，因为O为△ABC的外心，D为BC的中点，所以OD⊥BC，所以AH∥OD，所以△AHG∽△DOG，所以GHOG＝AHOD＝AGDG＝2，即GH＝2OG，AH＝2OD，故A正确，C不正确.对于D，延长AH交BC于N，过点G作GE⊥BC，垂足为E，则△DEG∽△DNA，所以GEAN＝DGDA＝13，所以S△BGC＝12×BC×GE＝12×BC×13×AN＝13S△ABC，同理，S△AGC＝S△AGB＝13S△ABC，所以S△ABG＝S△BCG＝S△ACG，故D正确.故选ABD.