北京市西城区2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷

北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设，，且，则（）A.B.C.D.4.已知双曲线的一个焦点是，渐近线为，则的方程是（）A.B.C.D.5.已知点，点满足.若点，其中，则的最小值为（）A.5B.4C.3D.26.在中，，，，则的面积为（）A.B.C.D.7.已知函数，则（）A.在上是减函数，且曲线存在对称轴B.在上是减函数，且曲线存在对称中心C.在上是增函数，且曲线存在对称轴D.在上是增函数，且曲线存在对称中心学科网（北京）股份有限公司 8.设，是非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.设是首项为正数，公比为的无穷等比数列，其前项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（）A.B.C.D.10.如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，，的高度依次为，，，则另外三根柱子的高度之和为（）A.B.C.D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在的展开式中，的系数为______.（用数字作答）12.设，函数.若曲线关于直线对称，则的一个取值为______.13.已知函数，则的定义域是______；的最小值是______.14.已知抛物线：.①则的准线方程为______.②设的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称若平分，则点的横坐标为______.15.设，函数给出下列四个结论：①在区间上单调递减；②当时，存在最大值；学科网（北京）股份有限公司 ③当时，直线与曲线恰有3个交点；④存在正数及点（）和（），使.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题13分）已知函数的一个零点为.（Ⅰ）求的值及的最小正周期；（Ⅱ）若对恒成立，求的最大值和的最小值.17.（本小题13分）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.（Ⅰ）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；（Ⅱ）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人.记为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）18.（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，为中点，.学科网（北京）股份有限公司 （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；（Ⅲ）求四面体的体积.19.（本小题15分）已知椭圆：（）的离心率为，且经过点.（Ⅰ）求的方程：（Ⅱ）过点的直线交于点，（点，与点不重合）.设的中点为，连接并延长交于点.若恰为的中点，求直线的方程.20.（本小题15分）已知函数，其中.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）当且时，判断与的大小，并说明理由.21.（本小题15分）给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：，，…，满足如下三个性质：①，且（）；②（）；③与不同时在数对序列中.（Ⅰ）当，时，写出所有满足的数对序列；（Ⅱ）当时，证明：；（Ⅲ）当为奇数时，记的最大值为，求.学科网（北京）股份有限公司 北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.C2.A3.D4.D5.C6.B7.D8.A9.B10.A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.1213.3（答案不唯一）13.14.215.①②④三、解答题（共6小题，共85分）16.（共13分）解：（Ⅰ）由题设，解得.所以.所以的最小正周期为.（Ⅱ）因为，所以.所以，即.当，即时，取得最大值1，当，即时，取得最小值.由题设，且.所以的最大值是；的最小值是1.17.（共13分）解：（Ⅰ）记“这2人都最喜爱使用跑步软件一”为事件，则.（Ⅱ）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为，所以的所有可能取值为0，1，2.，，.所以的分布列为012学科网（北京）股份有限公司 故的数学期望.（Ⅲ）.18.（共14分）解：（Ⅰ）因为，为中点，所以.又因为平面平面，平面平面，且平面.所以平面.所以.因为平面，所以.所以平面.（Ⅱ）因为平面，，所以平面.又平面，所以，，两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系，则，，，，，.所以，，.设平面的法向量为，则即令，则.于是.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的大小为30°.（Ⅲ）因为，学科网（北京）股份有限公司 所以点到平面的距离为.因为，所以四面体的体积为.19.（共15分）解：（Ⅰ）由题设，解得，.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）若直线与轴重合，则点与原点重合，符合题意，此时直线的方程为.若直线与轴不重合，设其方程为.由得.设，，则.所以，.因为是的中点，所以，.因为，所以.整理得.解得.但此时直线经过点，不符合题意，舍去.综上，直线的方程为.20.（共15分）解：（Ⅰ）当时，，所以.学科网（北京）股份有限公司 所以，.所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）的定义域为，且.令，得.与的情况如下：－－0＋所以的单调递增区间为；单调递减区间为和.（Ⅲ）当且时，，证明如下：令，则.设，则.所以当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.从而，即.所以的单调递增区间为和.当时，，即；当时，，即.学科网（北京）股份有限公司 综上，当且时，.21.（共15分）解：（Ⅰ）：，，，或：，，.（Ⅱ）因为和不同时出现在中，故，所以1，2，3，4，5，6每个数至多出现5次.又因为（），所以只有，对应的数可以出现5次，故.（Ⅲ）当为奇数时，先证明.因为和不同时出现在中，所以.当时，构造：，，恰有项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1.对奇数，如果可以构造一个恰有项的序列，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么对奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列：首先，对于如下个数对集合：，，，，……，，，每个集合中都至多有一个数对出现在序列中，所以.其次，对每个不大于的偶数，将如下4个数对并为一组：，，，，共得到组，将这组数对以及，，学科网（北京）股份有限公司 按如下方式补充到的后面，即：，，，，，，…，，，，，，.此时恰有项，所以.综上，当为奇数时，.学科网（北京）股份有限公司