七年级数学（第七章 实数）7.2 一元一次不等式（沪科版 学习、上课资料）

7.2一元一次不等式第七章一元一次不等式与不等式组 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2一元一次不等式不等式的解与解集不等式的解集的表示方法一元一次不等式的解法一元一次不等式的实际应用 知识点一元一次不等式知1－讲感悟新知11.定义含有一个未知数，未知数的次数是1且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式. 知1－讲感悟新知特别警示●判断一个不等式是否为一元一次不等式，必须化简整理后再判断.●只含有一个未知数，隐含着未知数的系数不为零，即化成最简形式ax＞0（ax≥0）,或ax<0（ax≤0）时，a≠0. 知1－讲感悟新知一元一次不等式的“三要素”：(1)不等式的两边都是整式；(2)只含一个未知数；(3)未知数的次数是1. 知1－讲感悟新知2.一元一次不等式与一元一次方程间的关系：一元一次方程一元一次不等式相同点未知数个数11未知数次数11式子特点含有未知数的式子均为整式含有未知数的式子均为整式不同点表示关系相等相等 感悟新知知1－练下列不等式中，是一元一次不等式的有()(1)x2+1>2x；(2)+2>0；(3)x>y；(4)≤1.A.1个B.2个C.3个D.4个例1A 感悟新知知1－练解：(1)中未知数的最高次数是2，故不是一元一次不等式；(2)中左边不是整式，故不是一元一次不等式；(3)中有两个未知数，故不是一元一次不等式；(4)是一元一次不等式.解题秘方：紧扣一元一次不等式的“三要素”去识别. 知1－练感悟新知方法点拨判断一个不等式是否为一元一次不等式的方法：先对所给不等式进行化简整理，再看是否满足一元一次不等式的“三要素”，同时要注意：1.化简前不等号的左右两边都是整式；2.化简后未知数的次数是1且系数不为0. 知识点不等式的解与解集知2－讲感悟新知21.不等式的解：一般地，能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解.判断一个数是否为不等式的解，就是将这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立，若成立，则该数是不等式的解，若不成立，则该数不是不等式的解. 知2－讲感悟新知2.不等式的解集：不等式的解的全体称为这个不等式的解集.特别提醒：不等式的解集必须符合两个条件：(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；(2)能够使不等式成立的所有数值都在解集中.3.解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式. 知2－讲感悟新知特别解读不等式的解与不等式解集的区别与联系：●区别：不等式的解集是能使不等式成立的未知数的所有取值，是所有解的集合，而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.●联系：解集包括所有的解，所有的解组成了解集. 感悟新知知2－练有下列四种说法：①x=是不等式4x－5>0的一个解；②x=是不等式4x－5>0的一个解；③x>是不等式4x－5>0的解集；④x>2中的任何一个数都可以使不等式4x－5>0成立，所以x>2是不等式4x－5>0的解集.其中正确的有().A.1个B.2个C.3个D.4个B例2 知2－练感悟新知解：①将x=代入不等式左边，得左边等于0，不等式不成立，所以x=不是这个不等式的一个解；②将x=代入不等式左边，得左边等于5，5>0，所以x=是这个不等式的一个解；解题秘方：紧扣不等式的解与解集的定义，以及它们的区别与联系进行辨析. 知2－练感悟新知③在x>内所有x的值都满足不等式4x－5>0，而不等式4x－5>0的所有的解都在x>内，所以x>是不等式4x－5>0的解集；④尽管x>2中的任何一个数都可以使不等式4x－5>0成立，但这个范围并不包含这个不等式的所有的解，因而x>2不是该不等式的解集.故选B. 知2－练感悟新知方法点拨识别不等式的解与解集的方法：代入不等式，能使不等式成立的未知数的值就是不等式的解；所有不等式的解的集合为不等式的解集.注意如果一个范围不包括不等式所有的解或包括有使不等式不成立的数，那么这个范围就不是不等式的解集. 知识点不等式的解集的表示方法知3－讲感悟新知3在数轴上表示不等式的解集：不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来.一般地，利用数轴表示不等式的解集通常有以下四种情况(设a>0)： 知3－讲感悟新知注意：在数轴上表示不等式的解集时，大于向右画，小于向左画；有等号画实心点(表示包括这一点)，无等号画空心点(表示不包括这一点).不等式的解集x>ax≥ax<ax≤a数轴表示 知3－讲感悟新知特别提醒用数轴表示解集的一般方法：1.画数轴；2.定界点，注意界点是实心点，还是空心点；3.定方向，原则是“小于向左，大于向右”. 感悟新知知3－练在数轴上表示下列不等式的解集：(1)x>－1；(2)x≤1.例3解题秘方：根据在数轴上表示解集的方法，确定界点以及方向. 感悟新知知3－练解：(1)如图7.2-1.(2)如图7.2-2. 知3－练感悟新知特别提醒因为x>－1无等号，所以把表示－1的点画成空心点.因为x≤1有等号，所以把表示1的点画成实心点. 知识点一元一次不等式的解法知4－讲感悟新知41.解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x<a(x≤a)或x>a(x≥a)的形式.解一元一次不等式的步骤如下：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1.特别提醒解一元一次不等式时，五个步骤不一定都要用到，并且不一定都要按照这个顺序求解，应根据不等式的特点灵活求解. 知4－讲感悟新知2.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系：一元一次方程一元一次不等式解法步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.(在解不等式的过程中，去分母、系数化为1时，若两边同时乘(或除以)同一个负数，则不等号的方向要改变)依据等式的性质不等式的性质解的个数只有一个解有无数个解解(集)的形式x=ax<a(x≤a)或x>a(x≥a) 感悟新知知4－练解不等式：，并把解集在数轴上表示出来.例4解题秘方：先根据解一元一次不等式的步骤求出解集，然后在数轴上表示出解集. 知4－练感悟新知解：去分母，得14x－7(3x－8)+14≥4(10－x).去括号，得14x－21x+56+14≥40－4x.移项，得14x－21x+4x≥40－56－14.合并同类项，得－3x≥－30.系数化为1，得x≤10.这个不等式的解集在数轴上的表示如图7.2-3所示.注意改变不等号的方向. 知4－练感悟新知方法点拨解一元一次不等式时，有两步可能会改变不等号的方向：其一，去分母；其二，系数化为1.为了使问题更加简便，可以在“去分母”这一步里，两边同乘一个正数，这样，使“改变不等号方向”的问题落到“系数化为1”这一步，由于要注意的只有这一步，因此就不容易出错了. 感悟新知知4－练已知不等式(x－m)>3－m的解集为x>1，则m的值为________.解题秘方：先用含m的式子表示出不等式的解集，再根据已知条件列出关于m的方程，求解即可.4例5 知4－练感悟新知题意解读已知不等式(x－m)>3－m的解集为x>1，则x为未知数. 知4－练感悟新知解：去分母，得x－m>3(3－m).去括号，得x－m>9－3m.移项、合并同类项，得x>9－2m.∵不等式的解集为x>1，∴9－2m=1，解得m=4.因为x>9－2m与x>1表示同一个不等式的解集，所以9－2m=1. 感悟新知知4－练当x取何正整数时，式子的值不大于的值？例6解题秘方：先根据题意列出不等式，再解不等式.方法点拨求满足不等关系式子成立时的字母的值或取值范围时，其关键是列出正确的不等式. 解：根据题意，得去分母，得3(x－2)≤2(7－x).去括号，得3x－6≤14－2x.移项、合并同类项，得5x≤20.系数化为1，得x≤4，则不等式的正整数解为1，2，3，4.所以当x取1，2，3，4时，式子的值不大于的值.知4－练感悟新知 知识点一元一次不等式的实际应用知5－讲感悟新知5有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的解. 知5－讲感悟新知列不等式解决实际问题的步骤：(1)审：认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系；(2)设：设出适当的未知数；(3)列：根据题中的不等关系列出不等式；(4)解：解不等式，求出其解集；(5)验：检验所求出的不等式的解集是否符合题意；(6)答：写出答案. 知5－讲感悟新知警示误区1.设未知数时，表示不等关系的文字(如至少或最多)不能写；2.检验时，要注意实际问题中的隐含条件，结果必须满足两个方面：一是不等式的解；二是要符合实际意义. 感悟新知知5－练某物流公司要将300吨物资运往某地，现有A，B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装20吨，B型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下，至少还需调用B型车多少辆？例7 知5－练感悟新知特别提醒●隐含的不等关系：A、B两种型号的汽车总共运的物资的吨数不少于300吨.●本题中由于车的辆数为整数，因此要在这个范围内取最小整数解.解题秘方：分析题中隐含的不等关系建立不等式模型解决问题. 感悟新知知5－练解：设还需调用B型车x辆.根据题意，得20×5+15x≥300.解得x≥13.因为x为整数，所以x的最小值为14.答：至少还需调用B型车14辆. 感悟新知知5－练某电器商场销售A，B两种型号计算器，A，B两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元.商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元.(利润=销售价格－进货价格)例8解题秘方：根据题中的等量关系列出方程组，求出题目中要求的未知量，再根据不等关系建立不等式模型解决问题. 感悟新知知5－练(1)商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是每台多少元？ 感悟新知知5－练解：设该商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是每台x元，y元，则解得答：A，B两种型号计算器的销售价格分别是每台42元，56元. 感悟新知知5－练(2)商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？ 感悟新知知5－练解：设需要购进A型号的计算器a台，则30a+40(70－a)≤2500，解得a≥30.答：最少需要购进A型号的计算器30台. 知5－练感悟新知方法点拨运用方程组或不等式解决实际问题时，从实际问题中发现相等关系或不等关系，通过方程组模型或不等式模型解决实际问题.列不等式解应用题时，首先审题，找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为未知数，然后用含未知数的式子表示相关的量，找出不等关系列不等式、求解、作答，即审、设、列、解、验、答. 感悟新知知5－练某校组织学生参加“周末郊游”.甲旅行社说：“只要一名学生买全票，那么其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“全体学生都可按6折优惠.”已知全票价为240元.例9 感悟新知知5－练(1)设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，用含x的式子表示出y甲与y乙；解题秘方：根据题意直接列式、化简即可；解：y甲=240+(x－1)×120=120x+120，y乙=240×0.6x=144x. 感悟新知知5－练(2)讨论哪一家旅行社更优惠.解题秘方：分三种情况讨论：y甲>y乙，y甲=y乙，y甲<y乙，分别求出满足要求的学生数.解法提醒当一个问题有多种可能的情况时，需要分情况讨论出所有可能的结果，体现了分类讨论思想. 感悟新知知5－练解：当y甲>y乙时，120x+120>144x，解得x<5.∴当学生数少于5人时，乙旅行社更优惠.当y甲=y乙时，120x+120=144x，解得x=5.∴当学生数正好为5人时，两家旅行社一样优惠.当y甲<y乙时，120x+120<144x，解得x>5.∴当学生数超过5人时，甲旅行社更优惠. 一元一次不等式解法解集在数轴上表示解决问题一元一次不等式定义应用