八年级数学（第十九章 四边形）19.3 矩形、菱形、正方形（沪科版 学习、上课资料）

19.3矩形、菱形、正方形第十九章四边形第1课时矩形 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2矩形的定义及其性质直角三角形斜边上的中线的性质矩形的判定 知1－讲感悟新知知识点矩形的定义及其性质11.定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 感悟新知知1－讲特别提醒1.矩形必须具备两个条件：(1)它是一个平行四边形；(2)它有一个角是直角.这两个条件缺一不可.2.由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的一种方法. 感悟新知2.性质矩形的性质如下表：知1－讲图形性质数学语言性质1矩形的四个角都是直角∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°性质2矩形的对角线相等∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=OB=OD矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 感悟新知特别提醒：1.利用矩形的性质可以证明线段相等或存在倍分关系、直线平行、角相等等.2.矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，分成四个面积相等的等腰三角形，因此有关矩形的计算问题经常转化到直角三角形和等腰三角形中来解决.知1－讲 知1－练感悟新知[中考·遂宁]如图19.3－1，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．(1)求证：△BDE≌△FAE；(2)求证：四边形ADCF为矩形．例1 知1－练感悟新知解题秘方：本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地识别图形是解题的关键． 知1－练感悟新知证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE.∵E是线段AD的中点，∴AE=DE，∵∠AEF=∠DEB，∴△BDE≌△FAE(AAS)；(2)∵△BDE≌△FAE，∴AF=BD，∵D是线段BC的中点，∴BD=CD，∴AF=CD，∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴平行四边形ADCF为矩形． 知1－练感悟新知解法提醒由定义来判定矩形，要在平行四边形的基础上，证明有一个角是90°，若在四边形的前提下，则需先证平行四边形，再证明有一个角是90°，矩形的定义既是矩形的性质也是矩形的判定. 知1－练感悟新知如图19.3－2所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BOC=120°，AB=6.求：(1)对角线的长；(2)BC的长；(3)矩形ABCD的面积.例2 知1－练感悟新知解题秘方：紧扣矩形的“角、对角线的性质”进行计算.解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=OB=OD.又∵∠BOC=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=6，∴BD=AC=2OA=2×6=12. 知1－练感悟新知(2)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°.∴BC====6.(3)S矩形ABCD=AB·BC=6×6=36. 知1－练感悟新知解法提醒1.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.2.矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形；另外，矩形的对角线与两邻边构成四个直角三角形，矩形中的有关计算通常需要用到等腰三角形或直角三角形的有关知识. 感悟新知知2－讲知识点直角三角形斜边上的中线的性质21.性质2的推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.数学语言：如图19.3－3，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AD=BD，∴CD=AB(或CD=AD=BD). 知2－讲感悟新知特别提醒1.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个面积相等的等腰三角形.2.此性质与“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”都是解决线段倍分关系的重要依据，但后者只在含30°角的直角三角形中才成立，而“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”适用于所有直角三角形，更具一般性. 感悟新知知2－讲说明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是根据矩形的两条对角线相等且互相平分推导出来的.将矩形沿某条对角线剪掉一半，剩下的一半就是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的模型. 感悟新知知2－讲2.直角三角形斜边上的中线的性质的逆命题(拓展)如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.数学语言：如图19.3－4，在△ABC中，∵CD=BD=AD=AB.∴∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形. 感悟新知知2－练[月考·成都]如图19.3－5，四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DCB=90°，E、F分别是BD、AC的中点.(1)请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；(2)当AC=8，BD=10时，求EF的长.例3 知2－练感悟新知解题秘方：紧扣条件“E，F分别为BD，AC的中点”，结合直角三角形斜边上中线的性质求解. 知2－练感悟新知技巧点拨1.若题目中出现了一边的中点，往往需要用到中线，若又有直角，往往需要用到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质.2.在直角三角形中，遇到斜边的中点常作斜边上的中线，从而利用直角三角形斜边上的中线的性质把问题转化为等腰三角形的问题，利用等腰三角形的性质解决. 知2－练感悟新知解：(1)EF⊥AC．证明如下：如图19.3－6，连接AE、CE，∵∠BAD=90°，E为BD的中点，∴AE=DB，∵∠DCB=90°，∴CE=BD，∴AE=CE，∵F是AC的中点，∴EF⊥AC； 知2－练感悟新知(2)∵AC=8，BD=10，E、F分别是BD、AC的中点，∴CE=5，CF=4，∵EF⊥AC，∴EF===3. 感悟新知知3－讲知识点矩形的判定31.判定定理1对角线相等的平行四边形是矩形.数学语言：如图19.3－7，在ABCD中，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形. 感悟新知知3－讲2.判定定理2三个角是直角的四边形是矩形.数学语言：如图19.3－8，在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形. 知3－讲感悟新知特别提醒1.矩形的判定和性质互为逆定理.2.矩形判定的常见思路从角的角度证明：(1)四边形矩形；(2)平行四边形矩形.从对角线的角度证明：(1)平行四边形矩形；(2)四边形矩形. 知3－练感悟新知如图19.3－9，在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F两点在边BC上，AB∥DE，AF∥DC，且四边形AEFD是平行四边形.(1)AD与BC有何数量关系？并说明理由.(2)当AB=DC时，求证：▱AEFD是矩形.例4 知3－练感悟新知解题秘方：紧扣“平行四边形”这一前提，从“对角线相等”入手(或有一直角入手)进行证明. 知3－练感悟新知解：BC=3AD.理由如下：∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，∴AD=BE，AD=FC.又∵四边形AEFD是平行四边形，∴AD=EF，∴AD=BE=EF=FC，∴BC=3AD.(1)AD与BC有何数量关系？并说明理由. 知3－练感悟新知证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，∴DE=AB，AF=DC.∵AB=DC，∴DE=AF.又∵四边形AEFD是平行四边形，∴四边形AEFD是矩形.(2)当AB=DC时，求证：AEFD是矩形. 知3－练感悟新知方法点拨证明一个平行四边形为矩形的两种方法：一种是证明有一个角是直角，另一种是证明两条对角线相等.本例采用的是对角线相等的方法.若采用有一个角是直角的方法，可证DE=DC，结合EF=FC，利用等腰三角形“三线合一”可得∠DFE=90°. 知3－练感悟新知如图19.3－10，ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形.例5 知3－练感悟新知解题秘方：题中证明矩形是建立在四边形基础上的，且都与角相关，可从证直角入手进行判定. 知3－练感悟新知证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°.∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，∴∠GBC+∠GCB=∠ABC+∠BCD=(∠ABC+∠BCD)=×180°=90°，∴∠BGC=90°. 知3－练感悟新知同理可得∠AFB=∠AED=90°，∴∠GFE=∠FEH=∠FGH=90°，∴四边形EFGH是矩形. 知3－练感悟新知思路点拨要判定一个四边形是矩形，通常选用“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明；也可以先判定它是平行四边形，再根据平行四边形成为矩形应满足的条件，证明有一个角是直角或对角线相等即可. 矩形直角三角形斜边上的中线性质边的关系矩形性质判定定义角的关系对角线的关系边的性质角的性质对角线的性质 19.3矩形、菱形、正方形第十九章四边形第2课时菱形 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2菱形的定义及其性质菱形的判定 知1－讲感悟新知知识点菱形的定义及其性质11.定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 感悟新知知1－讲特别提醒1.菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等.二者必须同时具备，缺一不可.2.菱形的定义既是菱形的基本性质，又是菱形的基本判定方法. 感悟新知2.性质如下表知1－讲图形性质数学语言1.菱形的四条边都相等∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAC=∠BAC，∠ACD=∠ACB，∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB菱形是轴对称图形，有两条对称轴 感悟新知特别提醒：(1)菱形的性质可以用来证明线段相等，角相等，直线平行、垂直以及进行相关的计算.(2)菱形的性质与勾股定理联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线长一半的平方和.(3)如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形.(4)菱形的面积=底×高=两条对角线长乘积的一半.知1－讲 感悟新知3.矩形与菱形的区别(1)矩形和菱形都建立在平行四边形的基础上，矩形是附加一直角，而菱形是附加一组邻边相等；(2)矩形的两条对角线把矩形分割成四个面积相等的等腰三角形；而菱形的两条对角线把菱形分割成四个全等的直角三角形；(3)矩形的对称轴是两条过两组对边中点的直线，而菱形的对称轴是两条对角线所在的直线.知1－讲 知1－练感悟新知[期末改编·东至县]如图19.3－19，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，BE平分∠ABC，则四边形DBFE是菱形吗？为什么？例1 知1－练感悟新知解题秘方：紧扣定义中“两个条件”进行判断. 知1－练感悟新知解法提醒菱形的定义既是菱形的性质，又是菱形的一种判定方法.在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，先判定这个四边形是平行四边形，再证一组邻边相等. 知1－练感悟新知解：四边形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∵BD=DE，∴四边形DBFE是菱形． 知1－练感悟新知如图19.3－20，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF的度数.例2 知1－练感悟新知特别提醒在菱形中如果出现“30°”“60°”“120°”“一边等于较短对角线”时，往往都指向等边三角形，我们需用等边三角形的知识来解决. 知1－练感悟新知解：如图19.3－20，连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B=60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，解题秘方：紧扣菱形的性质、三角形外角的性质求解. 知1－练感悟新知技巧点拨在求有关菱形的角的问题时，由于菱形的每条对角线都把菱形分成两个全等的等腰三角形，因此通常通过连接对角线，把四边形问题转化为特殊三角形问题来解答. 知1－练感悟新知∴AB=AC，∠B=∠ACF=∠BAC=60°.∵∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴AE=AF.又∵∠EAF=60°，∴△EAF是等边三角形，∴∠AEF=60°.∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，∴60°+18°=60°+∠CEF，∴∠CEF=18°. 知1－练感悟新知如图19.3－21，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．例3 知1－练感悟新知解法提醒(1)只要证明四边形OCED是矩形即可；(2)在Rt△ACE中，利用勾股定理即可解决问题. 知1－练感悟新知解题秘方：本题考查菱形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 知1－练感悟新知证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC=AC，∵DE=AC，∴DE=OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形OCED是矩形，∴OE=CD．(1)求证：OE=CD； 知1－练感悟新知解：∵菱形ABCD的边长为6，∴AB=BC=AD=6，BD⊥AC，AO=CO=AC．∵∠ABC=60°，AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=6，∴AO=3.(2)若菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，求AE的长． 知1－练感悟新知∵△AOD中OD⊥AO，AD=6，AO=3，∴OD=3，∵四边形OCED是矩形，∴CE=OD=3，∠ACE=90°.∵在Rt△ACE中，AC=6，CE=3，∴AE=3． 感悟新知知2－讲知识点菱形的判定21.判定定理1四边都相等的四边形是菱形.数学语言：如图19.3－22，在四边形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形. 感悟新知知2－讲2.判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形.数学语言：如图19.3－23，在ABCD中，∵AC⊥BD，∴ABCD是菱形. 知2－讲感悟新知特别提醒1.菱形的判定定理和性质定理是互逆定理.2.判定菱形的常见思路四边形平行四边形可根据题目特点选取不同的方法. 感悟新知知2－练[中考·滨州]如图19.3－24，过ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N.例4 知2－练感悟新知解法点拨证明一个四边形是菱形的方法：若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要考虑证明这个四边形是平行四边形，用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行证明. 知2－练感悟新知解题秘方：本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 知2－练感悟新知证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴EB=ED，AB∥CD，∴∠EBP=∠EDQ，∵∠BEP=∠DEQ，∴△PBE≌△QDE(ASA)；(1)求证：△PBE≌△QDE； 知2－练感悟新知证明：由(1)得△PBE≌△QDE，∴EP=EQ，同理可得△BME≌△DNE(ASA)，∴EM=EN，∴四边形PMQN是平行四边形，∵PQ⊥MN，∴平行四边形PMQN是菱形．(2)顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形． 感悟新知知2－练如图19.3－25，在四边形ABCD中，AB=CD，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点.试证明：四边形EFGH是菱形.例5 知2－练感悟新知解题秘方：紧扣题中中点条件与线段相等这一特征，从证四边相等入手判定菱形. 知2－练感悟新知技巧点拨判定菱形的方法：1.若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分；2.若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等. 知2－练感悟新知证明：∵点E，H分别为AD，AC的中点，∴EH为△ACD的中位线，∴EH=CD.同理可得EF=AB，FG=CD，HG=AB.∵AB=CD，∴EH=EF=FG=HG，∴四边形EFGH是菱形. 菱形轴对称性边的关系菱形性质判定定义对角线的关系边的性质对角线的性质 19.3矩形、菱形、正方形第十九章四边形第3课时正方形 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2正方形的定义正方形的性质正方形的判定 知1－讲感悟新知知识点正方形的定义11.正方形的定义 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形. 感悟新知知1－讲特别提醒1.正方形必须具备的两个条件:(1)四条边相等.(2)四个角都是直角.2.正方形的四条边都相等，说明正方形既是平行四边形，又是菱形；正方形的四个角都是直角，说明正方形是矩形，即正方形不仅是平行四边形，也是矩形和菱形. 感悟新知2.特殊四边形定义间的关系知1－讲 知1－练如图19.3－34，在△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，求证：四边形BEDF是正方形.例1 知1－练解题秘方：紧扣定义中“四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形”进行判定. 知1－练证明：∵DE⊥BC，DF⊥AB，∠ABC=90°，∴∠DEB=∠EBF=∠BFD=90°.∴四边形BEDF是矩形.∴∠DEB=∠EBF=∠BFD=∠FDE=90°，BE=FD，BF=ED.∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE=DF.∴DE=DF=BF=BE.∴四边形BEDF是正方形. 知1－练感悟新知解法提醒利用正方形定义判定正方形，它是建立在四边形的基础上，因此，既要有四条边相等，又要有四个角都是直角，两者缺一不可. 感悟新知知2－讲知识点正方形的性质21.正方形的性质 具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即：(1)边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；(2)角：四个角都是直角； 感悟新知知2－讲(3)对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；(4)是轴对称图形，有4条对称轴；(5)面积为边长的平方或对角线长平方的一半. 感悟新知知2－讲2.特殊四边形的性质间的关系类型平行四边形矩形菱形正方形边共性对边平行且相等特性四条边都相等 感悟新知知2－讲角共性对角相等且邻角互补特性四个角都是直角四个角都是直角对角线共性对角线互相平分特性对角线相等对角线互相垂直对角线相等且互相垂直 知2－讲感悟新知特别提醒1.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图19.3－35所示. 知2－讲感悟新知2.正方形的特殊性质：(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；(2)周长相等的四边形中，正方形的面积最大. 解题秘方：从正方形中获取边、角相等的信息.知2－练如图19.3－36所示，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.例2 知2－练感悟新知解法提醒利用正方形的性质解题，由于正方形的性质较多，解题时不宜一一列出来，需要根据题中已知条件，结合要证明的结论，选择证明结论成立所需要的性质，使解题思路更简洁. 知2－练(1)求证：△BCE≌△DCF；证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°.又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF. 知2－练(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.解：∵△BCE≌△DCF，∠BEC=60°，∴∠DFC=∠BEC=60°.∵CE=CF，∠ECF=90°，∴∠CFE=45°.∴∠EFD=∠DFC－∠CFE=60°－45°=15°. 感悟新知知3－讲知识点正方形的判定31.判定方法(1)从四边形出发：①四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形；(2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； 感悟新知知3－讲(3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；(4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形. 感悟新知知3－讲2.四边形间的关系 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转化关系如下所示. 知3－讲感悟新知特别提醒常见的判定思路：从边上证明.矩形正方形；从角上证明.菱形正方形；邻边相等有一个角是直角 知3－讲感悟新知从对角线上证明.(1)矩形正方形；(2)菱形正方形；(3)平行四边形正方形；(4)四边形正方形；对角线互相垂直对角线相等对角线相等且互相垂直对角线相等且互相垂直平分 知3－练感悟新知如图19.3－37，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E，F，G，H分别在AB，AD，DC，BC上，若EG，FH均过点O，且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.例3 知3－练感悟新知解题秘方：紧扣正方形的几种判定方法，找准切入点是解决问题的关键. 知3－练感悟新知证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OB=OC，∠ABO=∠BCO=45°，∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH，∴∠BOE+∠BOH=90°，∴∠COH=∠BOE，∴△CHO≌△BEO，∴OH=OE.同理可得OE=OF=OG=OH，∴OE+OG=OF+OH，即EG=HF.又EG⊥FH，∴四边形EFGH为正方形. 知3－练感悟新知方法点拨判定四边形是正方形的方法1.如果已知条件是平行四边形，需证它既是矩形又是菱形；2.如果已知条件是四边形，若按边角关系证明，则需证它的四条边相等，四个角是直角；若按特殊四边形证明，则要先证它是平行四边形，再证它既是矩形又是菱形 知3－练感悟新知3.如果已知条件是矩形，再证它的邻边相等或对角线互相垂直即可；4.如果已知条件是菱形，再证它有一个角是直角或对角线相等即可. 正方形正方形性质判定对角线相等正方形的面积公式特殊的矩形一组邻边相等对角线互相垂直特殊的菱形一个角是直角