八年级数学（第十六章 二次根式）16.2 二次根式的运算（沪科版 学习、上课资料）

16.2二次根式的运算第十六章二次根式第1课时二次根式的乘除 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2二次根式的乘法积的算术平方根二次根式的除法商的算术平方根最简二次根式 知识点二次根式的乘法知1－讲11.性质3如果a≥0，b≥0，那么有·=，即：两个非负数的算术平方根的积，等于这两个非负数的积的算术平方根. 知1－讲特别提醒1.法则中的被开方数a、b既可以是数，也可以是式子，但都必须是非负的.2.如果没有特别说明，本章中的所有字母都表示正数.3.二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因式时一定要开方.4.二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式. 知1－讲 知1－讲 知1－讲例1(2)·； 知1－讲(3)6×(－2)；6×(－2)=6×(－2)×=－12×=－12×4=－48. 知1－讲解题秘方：紧扣“二次根式乘法法则”进行计算.解法提醒：(1)(2)直接用法则计算.(3)按推广中（1）计算.(4)按推广中（2）计算，但注意要将带分数化为假分数计算. 知2－讲知识点积的算术平方根21.由等式对称性，性质3也可以写成=·(a≥0，b≥0)，积的算术平方根等于乘积中各个因式的算术平方根的积. 知2－讲特别提醒：公式中的a、b既可以是一个数，也可以是一个式子.积中各个因式必须都为非负数，若不是非负数，应将其化成非负数再运用公式化简. 知2－讲2.性质的应用(1)积的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的乘法法则，它对两个以上因数(式)的积的算术平方根同样适用；(2)运用此公式化简二次根式时，关键是将被开方数分解因数(或因式)，把含有a2形式的a(a＞0)移到根号外面. 知2－讲例2 知2－讲(3)； 知2－讲解题秘方：紧扣“积的算术平方根的性质”的特征进行化简. 知2－练特别提醒利用积的算术平方根的性质时，要注意以下两点：1.注意被开方数(式)的范围；2.注意被开方数(式)一定是乘积的形式，不要出现“=+”这样的错误. 知3－讲知识点二次根式的除法31.性质4如果a≥0，b＞0，那么有=，即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变. 知3－讲 知3－讲 知3－讲特别提醒法则中的被开方数a、b既可以是数，也可以是式子，但都必须是非负的且b不为0；若b=0，则式子无意义.进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算；若两个被开方数不能整除，则可以对二次根式化简或变形后再相除. 知3－讲例3若=成立，则x的值可以是()A.－2B.0C.2D.3 知3－讲解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”成立的条件求解.解：若=成立，则解得－1≤x＜2.故x的值可以是0.答案：B 知3－讲解法提醒要求使等式成立的字母的取值范围，只需使等式的每部分都有意义.这里包括二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为零，零指数幂和负整数指数幂的底数不为零等. 知3－讲例4计算：(1)；(2)÷；(3)÷(－)(a>1，b>0). 知3－讲解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”进行计算.解：(1)===2.(2)÷===3. 知3－讲技巧点拨(a≥0，b>0)的运算方法：1.当a是b的倍数或a，b为分数时，常先利用=计算.2.当，中的被开方数(式)含有完全平方的因数(式)时，常先将完全平方的因数(式)“开方”出来，再进行除法运算. 知3－讲3.当根号前含有系数时，根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得的结果相乘. 知3－讲(3)÷(－)=－=－=－=－2b(a－1). 知4－讲知识点商的算术平方根41.由等式对称性，性质4也可以写成(a≥0，b＞0).商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 知4－讲二次根式除法法则的逆用(商的算术平方根)2.去掉分母中的根号(分母有理化)的方法 知4－讲特别提醒1.商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法法则；2.公式中的a、b既可以是一个数，也可以是一个式子，但必须满足a≥0，b＞0.3.利用商的算术平方根的公式可以把被开方数中含有分母的二次根式化成被开方数不含分母的二次根式. 知4－讲例5 知4－讲 知4－讲解题秘方：紧扣“商的算术平方根的性质”进行化简. 知4－讲方法点拨利用商的算术平方根的性质化简二次根式的方法:1.若被开方数(式)的分母是一个完全平方数(式)，则可以直接利用二次根式除法法则的公式，先将分子、分母分别开平方，然后求商.2.若被开方数(式)的分母不是完全平方数(式)，则可根据分式的基本性质，先将分式的分子、分母同时乘一个不等于0的数或整式，使分母变成一个完全平方数(式)，然后利用商的算术平方根的性质进行化简. 知4－讲例6去掉下列分母中的根号：(1)；(2)；(3)；(4).解题秘方：紧扣“去掉分母中的根号的方法”进行变形. 知4－讲解：(1)===.(2)方法一：===.方法二：======. 知4－讲解：(3)===.(4)====5+2. 知4－讲解法提醒有多种方法：可以先运用二次根式的除法法则，再把被开方数进行化简，然后进行开方运算；也可以先分别把分子、分母进行化简，再将分子、分母同乘一个适当的数(式)，化去分母中的根号. 知4－讲解题通法去掉分母中的根号一般经历如下三步：“一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数(式)开方后移到根号外；“二乘”，即将分子、分母同乘分母的有理化因数式；“三化”，即化简计算. 知5－讲知识点最简二次根式51.定义如果一个二次根式满足以下两个条件，那么这个二次根式叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.. 知5－讲2.把二次根式化简成最简二次根式的步骤(1)“一分”，即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式；(2)“二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外.其中把根号内的分母中的因数(式)移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；(3)“三化”，即化去被开方数中的分母. 知5－讲特别提醒判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣两个条件：1.被开方数不含分母；2.被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每个因数(式)的指数都是1.注意：分母中含有根式的式子不是最简二次根式. 知5－讲例7下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由.；；；(x＞2)；－x；；(b＞0，a＞0)；；(a＞b＞0)；；. 知5－讲解：；；是最简二次根式.其余式子都不是.===9，==x－2(x＞2)， 知5－讲－x==－，==，=b(b＞0，a＞0)，=(a+b)(a＞b＞0)， 知5－讲=，∴；(x＞2)；－x；；(b＞0，a＞0)；(a＞b＞0)；都不是最简二次根式. 知5－讲解题秘方：紧扣“最简二次根式的定义”进行判断. 二次根式的乘除二次根式的乘除法顺用逆用互逆关系积的算术平方根二次根式的乘法顺用逆用互逆关系二次根式的除法商的算术平方根最简二次根式 16.2二次根式的运算第十六章二次根式第2课时二次根式的加减 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2同类二次根式二次根式的加减二次根式的混合运算 知识点同类二次根式知1－讲11.定义 将二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式. 知1－讲特别提醒1.同类二次根式必须同时满足：最简二次根式和被开方数相同这两个条件，它与根号前面的因数(式)无关；2.判断同类二次根式的前提是最简二次根式. 知1－讲2.合并的方法 合并同类二次根式与合并同类项类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律的逆向运用，即：a+b=(a+b)(m≥0). 知1－讲例1[期末·上海]下列二次根式中，与是同类二次根式的是()A.B.C.D. 知1－讲解题秘方：紧扣“同类二次根式”的定义中的两个必要条件进行识别.解法提醒判断两个二次根式是否为同类二次根式，应先把二次根式化为最简二次根式，然后看被开方数是否相同. 知1－讲解：A.==3，故选项错误；B.是最简二次根式，故选项错误；C.=，故正确；D.=，故选项错误.答案：C 知2－讲知识点二次根式的加减21.二次根式的加减法法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并.2.二次根式加减运算的步骤(1)“化”：将每个二次根式都化成最简；(2)“找”：找出同类二次根式；(3)“并”：将同类二次根式合并. 知2－讲特别提醒：1.化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分.2.整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则等在二次根式加减运算中仍然适用.3.根号外的因数就是这个二次根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式. 知2－讲3.二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别运算二次根式的乘除法二次根式的加减法系数系数相乘除系数相加减被开方数被开方数相乘除被开方数不变化简结果化为最简二次根式或整式先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 知2－讲例2计算：(1)－+；(2)+－－. 知2－讲解题秘方：紧扣“二次根式的加减法法则”进行计算. 知2－讲解法提醒二次根式加减运算的技巧：1.将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式.2.原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式进行合并. 知2－讲解：(1)－+(2)+－－=3+－－=+. 知3－讲知识点二次根式的混合运算31.二次根式的混合运算种类二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算.2.二次根式的混合运算顺序先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的；与整式的混合运算顺序相同. 知3－讲3.二次根式混合运算中的运算律实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的混合运算中仍然适用. 知3－讲4.二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法(1)(+)=+；(2)(+)(+)=+++；(3)(+)(－)=()2－(b)2=a－b； 知3－讲(4)(±)2=()2±2+()2=a±2ab+b；(5)(+)÷==；(6)(+)÷(－)===. 知3－讲特别提醒1.二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式(或整式)的形式并且分母中不含二次根式.2.进行二次根式的开方运算时，应使开出的因数(式)是非负数(式).3.在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地使用运算律. 知3－讲活学巧记二次根式混合算，加减乘除和乘方，运算顺序同实数，恰到好处运算律，乘法公式用到位，计算过程变容易. 知3－练感悟新知计算：(1)(－5)×；(2)(5+)（5－2）；(3)(4－8+)÷2.例3 知3－练感悟新知解题秘方：紧扣二次根式的混合运算顺序计算即可.解：(1)原式=×－5×6=－5=－15. 知3－练感悟新知解法提醒1.在进行二次根式混合运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”，然后类比整式的运算法则进行运算.二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式.2.在进行二次根式的计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，这样可以使计算过程大大简化. 知3－练感悟新知(2)原式=25－10+5－2=25－10+10－6=19. 知3－练感悟新知(3)方法一：原式=(8－2+4)÷2=10÷2=5.方法二：原式=(4－8+)×=2－4+=4－1+2=5. 知3－练感悟新知计算：(1)(+－)2－(－－)2；(2)(1+－)(1－+)；(3)(3+2)2023(3－2)2024.例4 知3－练感悟新知解题秘方：紧扣“乘法公式”和“幂的运算法则”的特征进行灵活运算. 知3－练感悟新知(2)原式=［1+(－)］［1－(－)］=12－(－)2=1－(5－2)=2－4.解：(1)原式=(+－+－－)(+－+－－)=(2－2)×2=4－12. 知3－练感悟新知(3)原式=(3+2)2023(3－2)2023(3－2)=［(3+2)(3－2)］2023(3－2)=12023×(3－2)=3－2. 知3－练感悟新知技巧点拨当题目中出现平方差形式的计算式时，如果先利用完全平方公式计算比较麻烦，可逆用平方差公式转化为乘积的形式计算；当题目中出现两个三项式的乘积的形式时，一般将相同的数看作m，相反的数看作n，利用平方差公式计算；当题目中出现两个大指数幂的积的形式时，一般先逆用同底数幂相乘和积的幂的运算法则，把算式化为底数相乘的幂再进行计算. 二次根式的加减二次根式的加减同类二次根式法则运算种类运算顺序