八年级数学（第十七章 二次根式）17.4 一元二次方程的根与系数的关系（沪科版 学习、上课资料）

17.4一元二次方程的根与系数的关系第十七章一元二次方程 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2一元二次方程根与系数的关系二次项系数为1的一元二次方程的性质 知1－讲感悟新知知识点一元二次方程根与系数的关系11.一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，方程有实数根，设这两个实数根分别为x1，x2，这两个根与系数的关系是x1+x2=－，x1x2=.这个关系通常称为韦达定理. 感悟新知知1－讲特别提醒一元二次方程根与系数的关系存在的前提是a≠0，b2－4ac≥0. 感悟新知2.与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形(1)x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2；(2)(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2；(3)+=.知1－讲 知1－练感悟新知设x1，x2是方程4x2－7=2x2+8x的两个实数根，求x1+x2和x1x2的值.例1 知1－练感悟新知解：将方程整理，得2x2－8x－7=0.∴a=2，b=－8，c=－7.∴Δ=(－8)2－4×2×(－7)=120＞0.∴x1+x2=－=－=4，x1x2===－.解题秘方：根据根与系数的关系求值. 知1－练感悟新知特别提醒求一元二次方程两根之和、两根之积时，要把方程化成一元二次方程的一般形式，先确定方程有实数根，再代入公式直接计算即可. 知3－练感悟新知已知一元二次方程x2－6x+q=0有一个根为2，求方程的另一个根和q的值.例2 知3－练感悟新知解题秘方：利用两根之和与积求解.解：设这个方程的另一个根为m，则m+2=6，2m=q，∴m=4，q=8.∴方程的另一个根为4，q的值为8.也可以把x=2代入方程中，求得字母q=8，再解x2－6x+8=0，求得两根分别为2和4. 知3－练感悟新知教你一招：已知一根，利用根与系数的关系求方程中待定字母的值的策略求解此类问题时，若待定字母在一次项中，可先用两根之积的关系求出另一根，然后代入方程求出待定字母的值，或者用两根之和的关系求出待定字母的值.若待定字母在常数项中，可先用两根之和的关系求出另一根，然后代入方程求出待定字母的值，或者用两根之积的关系求出待定字母的值. 感悟新知知2－讲知识点二次项系数为1的一元二次方程的性质21.以x1，x2为根的一元二次方程是x2－(x1+x2)x+x1x2=0.2.如果方程x2+mx+n=0的两个实数根为x1，x2，那么x1+x2=－m，x1x2=n. 知2－讲感悟新知特别解读应用性质1能求一元二次方程，应用性质2能转化记忆一元二次方程根与系数的关系. 感悟新知知2－练[中考·淄博]已知实数x1，x2满足x1+x2=3，x12+x22=5，则以x1，x2为根的一元二次方程是()A.x2－3x+2=0B.x2+3x－2=0C.x2+3x+2=0D.x2－3x－2=0例3 知2－练感悟新知解题秘方：利用完全平方公式计算出x1·x2=2，然后根据根与系数的关系写出以x1，x2为根的一元二次方程. 知2－练感悟新知答案：A解：∵x12+x22=5，∴(x1+x2)2－2x1x2=5.又∵x1+x2=3，∴9－2x1x2=5.∴x1x2=2.∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2－3x+2=0. 知2－练感悟新知方法提醒二次项系数为1的一元二次方程与两根的关系是：两根之和是一次项系数的相反数，两根之积等于常数项. 一元二次方程的根与系数的关系意义一元二次方程的根与系数的关系使用条件两根之积两根之和应用判定两根的符号求涉根代数式的值已知一根求另一根及字母的值构建以两已知数为根的一元二次方程