八年级数学（第十四章 一次函数）14.2 三角形全等的判定（沪科版 学习、上课资料）

14.2三角形全等的判定第十四章全等三角形 学习目标课时讲解1基本事实“边角边”或“SAS”基本事实“角边角”或“ASA”基本事实“边边边”或“SSS”三角形的稳定性“角角边”或“AAS”定理斜边、直角边(“HL”)定理 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时流程2 知1－讲感悟新知知识点基本事实“边角边”或“SAS”11.基本事实两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.(可以简写为成“边角边”或“SAS”). 感悟新知知1－讲要点提醒1.相等的元素：两边及这两边的夹角.2.书写顺序：边→角→边.特别解读两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 感悟新知2.书写格式 如图14.2-1，在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).知1－讲 知1－练感悟新知[中考·宜宾]如图14.2-2，已知OA=OC，OB=OD，∠AOC=∠BOD．求证：△AOB≌△COD．例1 知1－练感悟新知解题秘方：根据条件找出两个三角形中的两条边及其夹角对应相等，根据“SAS”判定两个三角形全等. 感悟新知方法点拨常见的隐含等角的情况：①公共角相等；②对顶角相等；③等角加(或减)等角，其和(或差)仍相等；④同角或等角的余(或补)角相等；⑤由角平分线的定义得出角相等；⑥由垂直的定义得出角相等；⑦由平行线得到同位角或内错角相等.另外，一些自然规律如“太阳光线可以看成是平行的”“光的反射角等于入射角”等也是常见的隐含条件.知1－练 知1－练感悟新知证明：∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC－∠AOD=∠BOD－∠AOD，即∠COD=∠AOB.在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△COD.(SAS) 感悟新知知2－讲知识点基本事实“角边角”或“ASA”21.基本事实两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 感悟新知知2－讲2.书写格式 如图14.2-3，在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′.(ASA) 知2－讲感悟新知特别解读1.相等的元素：两角及两角的夹边.2.书写顺序：角→边→角.3.夹边即两个角的公共边. 感悟新知知2－练[中考·衢州]如图14.2-4，已知∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AB=AD．例2 感悟新知方法点拨运用“ASA”判定两个三角形全等，既找边相等，又找角相等，除已知条件外，看缺什么条件，就去找什么条件.知2－练 知2－练感悟新知解题秘方：本题考查了全等三角形的判定和性质，根据等角的补角相等找到对应角相等是解本题的关键． 知2－练感悟新知证明：∵∠3=∠4，∠ACB+∠3=180°，∠ACD+∠4=180°，∴∠ACB=∠ACD.在△ACB和△ACD中，∴△ACB≌△ACD.(ASA)∴AB=AD． 感悟新知知3－讲知识点基本事实“边边边”或“SSS”31.基本事实三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”). 感悟新知知3－讲2.书写格式 如图14.2-5，在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′.(SSS) 知3－讲感悟新知特别提醒在列举两个三角形全等的条件时，应把三个条件按顺序排列(一般是把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧)，并用大括号将其括起来. 感悟新知知3－练如图14.2-6，已知点A、D、B、F在同一条直线上，AC=FE，BC＝DE，AD＝FB.求证：△ABC≌△FDE.例3 知3－练感悟新知解题秘方：紧扣“SSS”找出两个三角形中三边对应相等的条件来判定两个三角形全等.证明：∵AD=FB，∴AD+DB=FB+DB，即AB=FD.在△ABC和△FDE中，∴△ABC≌△FDE.(SSS) 感悟新知方法点拨运用“SSS”证明两个三角形全等主要就是找边相等，边相等除了题目中已知的边相等，还有些相等的边隐含在题设或图形中，常见的隐含的等边有：①公共边相等；②等边加(或减)等边，其和(或差)仍相等；③由中线的定义得出线段相等.知3－练 感悟新知知4－讲知识点三角形的稳定性41.三角形的稳定性(1)如果三角形的三边长确定了，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定性.(2)四边形及四边以上的图形不具有稳定性，在生活中也有广泛的应用. 感悟新知知4－讲2.三角形稳定性的应用(1)稳定性是三角形特有的，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定性的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等.(2)四边形及四边以上的图形不具有稳定性，为保证其稳定性，常在图形中构造三角形.四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用，如活动挂架、伸缩门等. 知4－讲感悟新知示图钢架桥(如图14.2-7) 感悟新知知4－练李明家有一个由六根钢管连接而成的钢架ABCDEF，如图14.2-10，为了使这个钢架稳固，他计划在钢架的内部用三根钢管来连接使它不变形.请帮李明解决这个问题.例4 感悟新知解法提醒◆判断一个图形是否具有稳定性要看它的基本组成部分是不是三角形.若是，则具有稳定性；若不是，则不具有稳定性.◆为了保证四边形及四边以上的图形稳定，最简单的方法是连对角线(不相邻两个顶点的连线).知4－练 知4－练感悟新知解题秘方：紧扣“三角形的稳定性”进行解答.解：答案不唯一.只要将图形分割成三角形即可.供参考的两种方法如图14.2-11①②. 感悟新知知5－讲知识点角角边”或“AAS”定理51.定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”). 感悟新知知5－讲2.书写格式 如图14.2-12，在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′.(AAS) 感悟新知知5－讲3.“ASA”与“AAS”的区别与联系“S”的意义书写格式联系ASA“S”是两角的夹边把夹边相等写在两角相等的中间由三角形内角和定理可知，“AAS”可由“ASA”推导得出AAS“S”是其中一角的对边把两角相等写在一起，边相等放在最后 知5－讲感悟新知特别解读判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的.2.在两个三角形的六个元素(三条边和三个角)中，由已知的三个元素可判定两个三角形全等的组合有4个：“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”，不能判定两个三角形全等的组合是“AAA”和“SSA”.3.由于“角角边”和“角边角”是可以互相转化的，故能用“角角边”证明的问题，一般也可以用“角边角”证明. 知5－练感悟新知[中考·宜宾]如图14.2-13，已知点A、D、C、F在同一直线上，AB∥DE，∠B=∠E，BC=EF．求证AD=CF．例5 知5－练感悟新知解题秘方：找出两个三角形中两个角及其中一角的对边对应相等，利用“AAS”判定两个三角形全等，根据全等三角形的性质，可得出结论. 知5－练感悟新知 感悟新知教你一招证明三角形全等找条件的方法：证明三角形全等时，有些条件是已知的，有些条件是隐含在题设或图形中的，比如对顶角、公共角、公共边等，还有些条件是通过证明三角形全等，利用全等三角形的性质得到的.知5－练 感悟新知知6－讲知识点斜边、直角边”（“HL”）定理61.定理斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 感悟新知知6－讲2.书写格式如图14.2-14，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.(HL) 感悟新知知6－讲3.判定两个三角形全等常用的思路方法已知对应相等的元素可选择的判定方法需寻找的条件锐角三角形或钝角三角形两边(SS)SSS或SAS可证第三边对应相等或证两边的夹角对应相等一边及其邻角(SA)SAS或ASA或AAS可证已知角的另一邻边对应相等或证已知边的另一邻角对应相等或证已知边的对角对应相等一边及其对角(SA)AAS可证另一角对应相等两角(AA)ASA或AAS可证两角的夹边对应相等或证其中一已知角的对边对应相等 知6－讲感悟新知直角三角形一锐角(A)ASA或AAS可证直角与已知锐角的夹边对应相等或锐角(或直角)的对边对应相等斜边(H)HL或AAS可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等一直角边(L)HL或SAS或ASA或AAS可证斜边对应相等或证另一直角边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等 知6－讲感悟新知特别提醒1.应用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写时两个三角形符号前一定要加上“Rt”.2.判定两个直角三角形全等的特殊方法(“HL”)，只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用. 知6－讲感悟新知3.判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等同样适用.4.在用一般方法证明直角三角形全等时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可. 知6－练感悟新知如图14.2-15，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E、F.求证：CE=DF.例6 知6－练感悟新知解题秘方：利用“HL”证明两个直角三角形全等，为证明两条线段相等创造条件. 知6－练感悟新知证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB=∠BDA=90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD.(HL)∴∠CBE=∠DAF.∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠CEB=∠DFA=90°. 知6－练感悟新知在△BCE和△ADF中，∴△BCE≌△ADF.(AAS)∴CE=DF. 感悟新知方法点拨证明线段或角相等的方法：1.观察要证明的线段或角(或通过等量代换得到的线段或角)在哪两个可能全等的三角形中，当待证线段或角不分布在两个全等的三角形中时，常需添加辅助线构造全等三角形；2.分析需要证明全等的两个三角形，确定已知条件(包含图形中的隐含条件)是什么，还缺什么条件；3.设法推导出所缺的条件；4.整理书写证明过程.知6－练 三角形全等的判定两角一边(ASA或AAS)斜边、直角边(HL)三角形全等的判定方法两边及夹角(SAS)三边(SSS)直角三角形全等的判定方法