九年级数学（第22章 相似形）22.4 图形的位似变换（沪科版 学习、上课课件）

22.4图形的位似变换第22章相似形 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2位似图形的定义位似图形的性质位似图形的画法平面直角坐标系中图形的位似变换 知识点位似图形的定义知1－讲11.位似图形与位似变换一般地，如果一个图形上的点A1，B1，…，P1和另一个图形上的点A，B，…，P分别对应，并且满足下面两点：(1)直线AA1，BB1，…，PP1都经过同一点O；(2)＝＝…＝＝k. 知1－讲那么，这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心.这两个图形之间的变换叫做位似变换.注意：两个位似图形的位似中心有且只有一个. 知1－讲2.位似与相似的关系(1)相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应顶点的连线所在直线相交于一点；(2)如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此,位似是相似的特殊情况. 知1－讲特别提醒位似中心可能位于两个位似图形的同侧，也可能位于两个位似图形之间，还可能位于两个位似图形的内部或边上或某一个顶点处.常见位似图形的构成如图22.4-1所示. 知1－练例1判断如图22.4-2所示的各图中的两个图形是不是位似图形，如果是，请指出其位似中心. 知1－练解题秘方：紧扣“位似图形的定义”进行判断.解：①是位似图形，位似中心为点A；②不是位似图形；③是位似图形，位似中心为点O. 知1－练方法提醒判断两个图形是否为位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似；然后看每组对应顶点的连线所在直线是否交于一点. 知2－讲知识点位似图形的性质2位似图形具有的性质(1)位似图形每组对应顶点的连线所在直线必过位似中心；(2)位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比；(3)位似图形的对应线段平行(或在一条直线上)，且对应线段之比相等；(4)两个图形位似，则两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 知2－讲特别提醒1.位似图形是相似图形，所以它具有相似图形的一切特征.2.位似与平移、轴对称、旋转一样，是图形的变换方式，但位似可以改变图形的位置和大小，即位似是图形的相似变换. 知2－练找出如图22.4-3所示的位似图形的位似中心.例2 知2－练解题秘方：紧扣“位似图形每组对应顶点的连线所在直线必过位似中心”进行查找.方法提醒确定位似图形的位似中心时，要认真观察图形，寻找对应顶点，然后经过每组对应顶点作直线，它们的交点即为位似中心.注意：实际作图时，只需作出两组对应顶点的连线所在直线即可. 知2－练解：如图22.4-4，点P1，P2，P3即为所求的位似中心. 知3－讲知识点位似图形的画法3画位似图形的步骤(1)确定位似中心(位似中心可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的边上或某一个顶点处)；(2)分别连接位似中心和能代表原图的关键点，并延长；(3)根据相似比，确定所画位似图形的关键点的位置；(4)顺次连接所作各点，得到放大或缩小的图形. 知3－讲注意：画位似图形时，要弄清相似比，即分清是已知图形与新图形的相似比，还是新图形与已知图形的相似比. 知3－练[开放题]如图22.4-5，已知四边形ABCD，将四边形ABCD放大，使放大后的图形与原图形是位似图形，且放大后的图形与原图形对应线段的比为2∶1.例3解题秘方：紧扣“位似图形的定义和性质”，按画位似图形的步骤作图. 知3－练解：根据位似中心的不同位置情况进行作图(画法不唯一).画法一位似中心在四边形的顶点上，如图22.4-6，以点A为位似中心，四边形AB1C1D1就是所求作的图形. 知3－练画法二位似中心在四边形的边上，如图22.4-7，以AD边上一点为位似中心，四边形A1B1C1D1就是所求作的图形. 知3－练另解位似中心在四边形内部，如图22.4-8，以四边形ABCD内部一点为位似中心，四边形A1B1C1D1就是所求作的图形. 知3－练位似中心在四边形外部，如图22.4-9，以四边形ABCD外部一点为位似中心，四边形A1B1C1D1就是所求作的图形. 知4－讲知识点平面直角坐标系中图形的位似变换41.位似变换时对应点的坐标变化规律在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.注意：这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边的比. 知4－讲2.位似变换与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别(1)位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变换是全等变换，而位似变换是相似变换. 知4－讲(2)在直角坐标系中，把一个图形进行平移、轴对称、旋转或位似变换，其对应点的坐标都有各自的变化规律：①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离；②在轴对称变换中，以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴，则纵坐标相等，横坐标互为相反数； 知4－讲③在旋转变换中，一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都分别互为相反数；④在位似变换中，当以原点为位似中心时，变换后与变换前两个图形对应点的横坐标之比的绝对值、纵坐标之比的绝对值都等于变换后的图形与变换前的图形的相似比. 知4－讲特别提醒1.在平面直角坐标系中，以原点为位似中心时，使位似图形与原图形的相似比为k，那么：当位似图形与原图形在原点的同侧时，原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)；当位似图形与原图形在原点的两侧时，原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(－kx，－ky).2.当k>1时，图形扩大为原来的k倍；当0<k<1时，图形缩小为原来的k. 知4－练[模拟·山东]在如图22.4-10的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(－2，－1)，B(－1，－3)，△O1A1B1是△OAB以点P为位似中心的位似图形．例4 知4－练解题秘方：根据位似中心是对应点连线所在直线的交点确定位似中心的坐标，再利用位似变换时对应点的坐标变化规律求对应点的坐标. 知4－练解：位似中心P的位置如图22.4-11所示，P(－5，－1)，B1(3，－5).(1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点B1的坐标； 知4－练解：△OA2B2如图22.4-11所示，B2(－2，－6).(2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的相似比为2∶1，并写出点B的对应点B2的坐标； 知4－练解：点M2(2a，2b)．(3)△OAB的内部一点M的坐标为(a，b)，写出M在△OA2B2中的对应点M2的坐标． 知4－练特别提醒以原点为位似中心的位似图形的坐标变化一定要注意坐标符号的变化，简单地说，若两个图形在原点同侧，则坐标符号不变；若两个图形在原点异侧，则坐标符号相反. 图形的位似变换位似图形画法坐标规律定义性质