九年级数学（第23章 解直角三角形）23.2 解直角三角形及其应用（沪科版 学习、上课课件）

23.2解直角三角形及其应用第23章解直角三角形23.2.1解直角三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2解直角三角形的定义直角三角形中的边角关系 知识点解直角三角形的定义知1－讲1解直角三角形在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 知1－讲注意：(1)在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一个元素是边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三).(2)一个直角三角形可解，则其面积可求，但在解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积. 知1－讲深度理解1.已知两个角不能解直角三角形，因为只有角的条件，三角形边的大小不唯一，即有无数个三角形符合条件.2.已知一角一边时，角必须为锐角，若为已知直角，则不能求解. 知1－练例1根据下列所给的条件解直角三角形，不能求解的是()①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边.A.②③B.②④C.只有②D.②④⑤ 知1－练解题秘方：紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行解答.答案：C解：①能够求解；②不能求解；③能够求解；④能够求解；⑤能够求解. 知2－讲知识点直角三角形中的边角关系21.直角三角形中的边角关系在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么除直角外的五个元素之间有如下关系：(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理).(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 知2－讲(3)边角之间的关系：sinA＝＝，sinB＝＝；cosA＝＝，cosB＝＝；tanA＝＝，tanB＝＝.以上即为解直角三角形的依据. 知2－讲活学巧记口诀记忆法：有斜求对乘正弦，有斜求邻乘余弦，无斜求对乘正切.“有斜求对乘正弦”的意思是：在一个直角三角形中，对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边长，那么就用斜边长乘该锐角的正弦，其他口诀的意思可类推. 知2－讲2.运用表达式解直角三角形时，常常要用到以下变形式(∠C为直角，a，b为直角边，c为斜边)(1)锐角之间的关系：∠A＝90°－∠B，∠B＝90°－∠A.(2)三边之间的关系：a＝，b＝，c＝.(3)边角之间的关系：a＝csinA，a＝ccosB，a＝btanA，b＝csinB，b＝ccosA，b＝atanB. 知2－练根据下列条件，解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝20；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝2.例2解题秘方：紧扣“直角三角形的边角关系”选择合适的表达式求解. 知2－练(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝20；解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinA＝＝＝，∴∠A＝45°.∴∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°.∴b＝a＝20. 知2－练(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝2.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵a＝2，b＝2，∴c＝＝＝4.∵tanA＝＝＝，∴∠A＝60°.∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. 知2－练特别提醒解直角三角形的一般方法：在解直角三角形时，要求出所有未知元素，首先要分析出直角三角形中的已知元素，根据已知元素利用适当的边角关系进行求解，求边的长度时，一般要选择题目中的原始数据，尽量避免用中间所得的结果参与计算. 知2－练根据下列条件，解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6.解题秘方：求边时，一般用未知边比已知边(或已知边比未知边)，去找已知角的某一个三角函数.例3 知2－练(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12；解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝60°.∵tanA＝，∴＝，则a＝4.∴c＝2a＝8. 知2－练(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°.∵sinA＝，∴＝.∴a＝3.由勾股定理得b＝＝＝3. 知2－练解法提醒解直角三角形选择表达式常遵循的原则：当已知或求解中有斜边时，优先考虑用正弦或余弦，无斜边时，就用正切；当所求的元素既可以用乘法又可以用除法求解时，优先考虑用乘法.在解题过程中，既可以用原始数据又可以用解题过程中得到的数据时，优先考虑用原始数据. 解直角三角形解直角三角形依据定义条件三边之间的关系锐角之间的关系边角之间的关系 23.2解直角三角形及其应用第23章解直角三角形23.2.2解直角三角形的应用 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2解直角三角形在解实际问题中的应用解直角三角形在解仰角和俯角问题中的应用解直角三角形在解方向角问题中的应用解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用 知识点解直角三角形在解实际问题中的应用知1－讲11.利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤(1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题；(2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知识解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案. 知1－讲2.解决实际问题时，常见的基本图形及相应的表达式图形表达式图形表达式AC＝BC·tanα，AG＝AC＋BEBC＝DC－BD＝AD·(tanα－tanβ) 知1－讲续表图形表达式图形表达式AB＝DE＝AE·tanβ，CD＝CE＋DE＝AE·(tanα＋tanβ)BD＝BC－DC＝AC·，AG＝AC＋CG＝AC＋BE 知1－讲续表图形表达式图形表达式BC＝BD＋DC＝AD·BC＝BE＋EF＋CF＝BE＋AD＋CF＝AD＋h· 知1－讲特别提醒1.当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时，可利用解直角三角形的知识直接求解.2.若相关的角不是直角三角形的内角，应利用平行线的性质或互余、互补的角的性质将其转化为直角三角形的内角，再利用解直角三角形的知识求解.3.问题中有两个或两个以上的直角三角形，当用其中一个直角三角形不能求解时，可考虑分别由两个直角三角形找出含有相同未知元素的表达式，运用方程求解. 知1－练例1[三模·温州]为了解决楼房之间的采光问题，某市有关部门规定：两幢楼之间的最小距离要使中午12时不能遮光．如图23.2-5，旧楼的一楼窗台高1米，现计划在旧楼正南方向a米处再建一幢新楼． 知1－练已知该市冬天中午12时太阳从正南方向照射的光线与水平线的夹角最小为θ，新楼最高可建()A.atanθ米B.(atanθ＋1)米C.米D.米 知1－练解题秘方：此题考查了解直角三角形的应用．注意能根据题意构造直角三角形，并能借助解直角三角形的知识求解是解此题的关键． 知1－练解：如图23.2-6，过点D作DE⊥AB，垂足为E.在Rt△ADE中，∠ADE＝θ，DE＝BC＝a米，则AE＝DE·tanθ＝atanθ米，而EB＝DC＝1米，∴AB＝AE＋EB＝(atanθ＋1)米.答：新楼最高可建(atanθ＋1)米.答案：B 知1－练解法提醒解本题的关键是将实际中的相关数据，通过建立数学模型，归结到直角三角形中，再用锐角三角函数(正切函数)求解. 知1－练某工程队承包了一段铁路的施工，该铁路要经过某一隧道，如图23.2-7，已知隧道口分别为D，E.为了如期完工，需测量出DE的长度，为此，该工程队在山的一侧选取适当的点C，测得BC＝200m，∠ABC＝105°，∠C＝45°，AD＝18m，BE＝32m，且A，D，E，B在同一条直线上，已知该工程限定时间为10天，该工程队每天至少需要施工多少米？(结果保留一位小数)例2 知1－练解题秘方：在建立的非直角三角形模型中，用化斜为直法解含公共直角边的直角三角形. 知1－练解：如图23.2-7，过点B作BF⊥AC于点F.∵∠ABC＝105°，∠C＝45°，∴∠A＝30°，△BFC为等腰直角三角形.在Rt△BFC中，∵cosC＝，∴BF＝FC＝BC·cosC＝200×＝100(m). 知1－练在Rt△AFB中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BF＝200(m).又∵AD＝18m，BE＝32m，∴DE＝AB－AD－BE＝200－18－32＝150(m).∵150÷10≈21.2(m)，∴该工程队每天至少需要施工约21.2m. 知1－练教你一招解直角三角形的实际应用问题的求解方法：1.根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为与解直角三角形相关的数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系.2.若条件中有直角三角形，则直接选择合适的三角函数关系求解即可；若条件中没有直角三角形，一般需添加辅助线构造直角三角形，再选用合适的三角函数关系求解. 知2－讲知识点解直角三角形在解仰角和俯角问题中的应用21.仰角和俯角的定义在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角；当视线在水平线下方时叫做俯角. 知2－讲2.示图如图23.2-8所示. 知2－讲特别提醒1.仰角和俯角是视线的位置相对于水平线而言的，可巧记为“上仰下俯”.2.实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形中或转化到直角三角形中，注意确定水平线. 知2－练如图23.2-9，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4m.解题秘方：将实际问题转化为解直角三角形问题求解.例3 知2－练(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD(结果保留根号)；解：∵在教学楼上的B处观测旗杆底端D的俯角是30°，∴∠ADB＝30°.在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝4m，∴AD＝＝＝4(m).答：教学楼与旗杆的水平距离AD是4m. 知2－练另解∵在教学楼上的B处观测旗杆底端D的俯角是30°，∴∠ABD＝60°.在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝60°，AB＝4m，∴AD＝AB·tan60°＝4m.答：教学楼与旗杆的水平距离AD是4m. 知2－练(2)求旗杆CD的高度.解：在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，AD＝4m，∴CD＝AD·tan60°＝4×＝12(m).答：旗杆CD的高度是12m. 知2－练另解在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，∴∠ACD＝30°.又∵AD＝4m，∴AC＝8m.由勾股定理得CD＝＝＝12(m).答：旗杆CD的高度是12m. 知2－练方法点拨：求解有关仰角与俯角的问题，关键是根据仰角、俯角的定义画出水平线，找准视角，建立数学模型后构造直角三角形，并结合图形利用锐角三角函数解直角三角形. 知3－讲知识点解直角三角形在解方向角问题中的应用31.方向角的定义一般地，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点的指北方向线起，按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，变化范围为0°~360°，而方向角的变化范围是0°~90°. 知3－讲2.示图如图23.2-10，目标方向线OA，OB，OC的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°.南偏东45°习惯上又叫做东南方向，北偏东45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向，南偏西45°习惯上又叫做西南方向. 知3－讲特别提醒1.因为方向角是指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角，所以方向角通常都写成“北偏……”“南偏……”的形式.2.解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.3.观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助此性质进行角度转换. 知3－练为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度.一天，我国两艘海监船刚好在我国某岛东西海岸线上的A，B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域，如图23.2-11所示，AB＝60(＋)nmile，在B处测得C在北偏东45°的方向上，在A处测得C在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝120(－)nmile.例4 知3－练解题秘方：建立数学模型后，用化斜为直法，将斜三角形问题转化为直角三角形问题求解. 知3－练解：如图23.2-11，过点C作CE⊥AB于点E，可得∠ACE＝30°，∠BCE＝45°.(1)分别求出A与C及B与C的距离AC，BC(结果保留根号)； 知3－练设AE＝xnmile，则在Rt△ACE中，CE＝xnmile，AC＝2xnmile.在Rt△BCE中，BE＝CE＝xnmile，BC＝xnmile.∵AB＝AE＋BE，∴x＋x＝60(＋)，解得x＝60.∴AC＝120nmile，BC＝120nmile. 知3－练(2)已知在灯塔D周围100nmile范围内有暗礁群，在A处的海监船沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险？(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45) 知3－练解：如图23.2-11，过点D作DF⊥AC于点F，可得∠DAF＝60°.在Rt△AFD中，∵DF＝DA·sin60°＝DA，∴DF＝×120(－)＝60(3－)≈106.8(nmile).∵106.8>100，∴途中无触礁的危险. 知3－练解法提醒求解是否触礁问题的方法：一般都是求出暗礁中心到航线的距离，将这个距离与暗礁半径比较大小，距离小于或等于半径则有触礁的危险，距离大于半径则没有触礁的危险. 知3－练图解通过CE将原三角形分成两个直角三角形，如图23.2-12所示. 知4－讲知识点解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用41.坡角与坡度(坡比)的定义(1)坡角：坡面与水平面的夹角，如图23.2-13中的α. 知4－讲(2)坡度(坡比)：我们通常把坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡度(坡比)(如图23.2-13所示)，坡度(坡比)也可写成i＝h∶l的形式，在实际应用中常表示成1∶x的形式. 知4－讲2.坡度与坡角的关系i＝＝tanα，即坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也就越大. 知4－讲特别提醒1.坡度是两条线段的比值，不是度数.2.表示坡度时，通常把比的前项取作1，后项可以是小数.3.坡面的倾斜程度通常可用坡度表示.坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越缓. 知4－练如图23.2-14，李明在大楼30m高(即PH＝30m)的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°.已知该山坡的坡度i为1∶，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，B，C在同一条直线上，且PH⊥HC.例5解题秘方：将分散的条件集中到△ABP中求解. 知4－练30(1)山坡坡角的度数等于_______°；详解∵山坡坡角为∠ABC，坡度i＝1∶，∴tan∠ABC＝＝.∴∠ABC＝30° 知4－练解：由题意得∠PBH＝60°，∠APB＝60°－15°＝45°.又∵∠ABC＝30°，∴∠ABP＝90°.∴∠BAP＝45°，∴PB＝AB.(2)求A，B两点间的距离(结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732). 知4－练在Rt△PHB中，PB＝＝＝＝20(m).∴AB＝PB＝20≈34.6(m).答：A，B两点间的距离约为34.6m. 知4－练警示误区解决有关坡角、坡度问题时应注意：1.坡角是指坡面与水平面的夹角，而不是坡面与铅垂线的夹角；2.不能把坡比的分子和分母的位置颠倒. 解直角三角形的应用解直角三角形的应用类型仰角和俯角问题方向角问题坡角和坡度问题