九年级数学（第24章 圆）24.1 旋转（沪科版 学习、上课课件）

24.1旋转第24章圆 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2旋转及其相关概念旋转的性质旋转作图中心对称及其性质中心对称的作图中心对称图形关于原点对称的点的坐标(拓展点) 知识点旋转及其相关概念知1－讲11.旋转的定义在平面内，一个图形绕着一个定点(如点O)，旋转一定的角度(如θ)，得到另一个图形的变换，叫做旋转.定点O叫做旋转中心，θ叫做旋转角. 知1－讲2.旋转的“三要素”旋转中心、旋转方向和旋转角.(1)在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点；(2)旋转方向有顺时针和逆时针两种；(3)在描述一个旋转过程时，需要指明旋转的“三要素”，即旋转中心、旋转方向和旋转角. 3.对应元素旋转得到的图形能与原图形重合，我们把能够重合的点叫做对应点，能够重合的线段叫做对应线段，能够重合的角叫做对应角.知1－讲 知1－讲特别提醒1.“平面内一个图形绕着一个定点O旋转一定的角度”是指图形上的每一个点都绕点O沿相同的方向旋转相等的角度.2.确定旋转角的关键是找到旋转中心.3.旋转前后对应点与旋转中心所连线段的夹角就是旋转角. 知1－练如图24.1－1，A，B，C三点共线，△ACD和△BCE都是等边三角形，△ACE经过旋转后到达△DCB的位置.例1 知1－练解题秘方：紧扣“图形旋转时，固定不动的点是旋转中心，转过的角是旋转角”进行判断.解法提醒两个三角形的对应边所夹的角即为旋转角. 知1－练(1)旋转中心是哪一点？解：点C是旋转中心.点C在△ACE旋转的过程中保持不动. 知1－练(2)旋转角是多少度？解：△ACE经过旋转后到达△DCB的位置，AC绕点C旋转到DC，AC转过的角即∠ACD就是旋转角.因为△ACD是等边三角形，所以∠ACD=60°，即旋转角是60°. 知识点旋转的性质知2－讲21.旋转的性质(1)在一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；(2)两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；(3)旋转中心是唯一不动的点. 知2－讲2.旋转与平移、轴对称的对比图形变换异同点旋转平移轴对称不同点对应线段、对应角旋转变换前、后两个图形的任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角平移变换前、后两个图形的对应线段平行(或共线)，对应角的两边分别平行(或共线)，平移方向一致如果成轴对称的两个图形的对应线段或其延长线相交，那么交点在对称轴上，成轴对称的两个图形的对应点的连线被对称轴垂直平分作图、运动方式作图所需要的条件不同，运动方式不同 知2－讲图形变换异同点旋转平移轴对称相同点(1)都是在平面内进行的图形变换；(2)都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前、后图形的对应边相等，对应角相等；(3)都是把一个已知图形变换后得到另一个图形 知2－讲特别提醒旋转的性质的作用：1.可以用来判断线段或角是否相等.2.可以用来计算图形的面积、线段的长度或角的度数.3.可以用来确定旋转中心.因为对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上，因此旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 知2－练如图24.1－2，在正方形ABCD中，点E在BC上，∠FDE=45°，△DEC按顺时针方向旋转一个角度后到达△DGA的位置.例2 知2－练解题秘方：紧扣旋转的性质解答相关问题.解题通法由于旋转后图形的形状、大小未发生改变，因此我们在利用旋转解决相关问题时，应抓住以下三点：1.明确旋转中的“变”与“不变”；2.找准旋转前后的“对应关系”，正确判断旋转前后图形的对应点、对应角、对应线段、旋转中心以及旋转角；3.充分挖掘旋转过程中的相等关系. 知2－练(1)图中哪一个点是旋转中心？旋转角是多少度？解：图中的点D是旋转中心，旋转角是90°.(2)试指明图中旋转图形的对应线段与对应角.图中DE与DG，DC与DA，EC与GA是对应线段；∠CDE与∠ADG，∠C与∠DAG，∠DEC与∠G是对应角. 知2－练(3)请写出图中除直角和正方形的四条边外的相等角与相等线段及能够完全重合的三角形.解：相等角：∠G=∠DEC=∠ADE，∠ADG=∠CDE，∠GDF=∠EDF，∠AFD=∠CDF；相等线段：DG=DE，GA=EC；能够完全重合的三角形：△DEC与△DGA. 知2－练(4)你能求出∠GDF的度数吗？说明你的理由.解：相等角：∠G=∠DEC=∠ADE，∠ADG=∠CDE，∠GDF=∠EDF，∠AFD=∠CDF；相等线段：DG=DE，GA=EC；能够完全重合的三角形：△DEC与△DGA. 知识点旋转作图知3－讲31.旋转对称图形在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度θ(0°<θ<360°)后，能够与原图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点就是旋转中心.2.旋转作图的一般步骤(1)确定旋转中心、旋转方向和旋转角.(2)找出图形的关键点. 知3－讲(3)作关键点旋转后的对应点，方法如下：①连：连接图形的每个关键点与旋转中心；②转：把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度(作旋转角)；③截：在作出的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点. 知3－讲(4)按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形.(5)写出结论，说明作出的图形即为所求作的图形. 知3－讲特别提醒确定旋转中心的方法：在图形旋转的过程中，判断旋转中心的位置，要看旋转中心是在图形上还是不在图形上.若在图形上，哪一点在旋转的过程中位置没有改变，那一点就是旋转中心；若不在图形上，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心. 知3－练如图24.1－3，分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°，180°和270°后的图形．例3 知3－练解题秘方：本题主要考查了旋转变换的作图，熟练掌握旋转的性质是作图的关键．作图提醒为了避免作图混乱，可以先对一个关键点进行连、转、截，找到其对应点后再找下一个关键点的对应点.已知旋转中心和一对对应点，画旋转图形时，要先将这对对应点与旋转中心相连，找出旋转方向和旋转角.由此将此类问题转化成已知旋转三要素的旋转作图. 知3－练解：如图24.1－4，旋转90°得到△A1B1C1，旋转180°得到△A2B2C2，旋转270°得到△A3B3C3． 知识点中心对称及其性质知4－讲41.中心对称的定义把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心.特别解读中心对称是特殊的旋转对称，其旋转角为180°.中心对称是指两个图形的位置关系. 知4－讲2.中心对称的性质(1)成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；反之，如果两个图形的对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称.利用这一性质可以识别中心对称. 知4－讲(2)成中心对称的两个图形是全等图形，对应角相等，对应线段平行(或在同一直线上)且相等.全等的两个图形不一定成中心对称，而成中心对称的两个图形一定是全等图形. 知4－讲3.确定对称中心的方法方法一：连接任意一对对应点，取这条线段的中点，则该中点为对称中心.方法二：连接任意两对对应点，这两条线段的交点就是对称中心. 知4－讲深度理解由中心对称的性质可以得到如下结论：1.对称中心在一对对应点的连线上;2.对称中心到一对对应点的距离相等. 知4－练如图24.1－5，已知四边形ABCD关于点O的中心对称图形是四边形A1B1C1D1，请回答下列问题：例4 知4－练解题秘方：紧扣中心对称的性质进行判断.解法提醒找对应点是解决问题的关键.每一对对应点与对称中心在同一条直线上，根据对应点来找对应线段、对应角；由中心对称的性质得到对应线段、对应角的相等关系，从而确定三角形的形状和大小关系. 知4－练(1)点A的对应点是点____，点B的对应点是点____.(2)指出图中在同一条直线上的三点.A1B1解：图中在同一条直线上的三点有A，O，A1；B，O，B1；C，O，C1；D，O，D1. 知4－练(3)指出图中相等的线段和全等的三角形.解：图中相等的线段有OA=OA1，OB=OB1，OC=OC1，OD=OD1，AB=A1B1，BC=B1C1，CD=C1D1，DA=D1A1；全等的三角形有△ABO与△A1B1O，△ADO与△A1D1O，△BCO与△B1C1O，△DCO与△D1C1O. 知识点中心对称的作图知5－讲51.作图关键确定对称中心，再作出原图形上关键点关于对称中心的对应点. 知5－讲2.作图步骤(1)分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接；(2)将以上连线延长找对应点，使得对应点与对称中心的距离和关键点与对称中心的距离相等；(3)将对应点按原图形的形状顺次连接起来，即可得到关于对称中心成中心对称的图形. 知5－讲特别提醒作一个图形关于某点成中心对称的图形，要运用中心对称的性质，将已知图形的关键点与对称中心连接并延长至某点，使之到对称中心的距离与已知关键点到对称中心的距离相等. 知5－练如图24.1－6，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关于点O成中心对称.例5 知5－练解题秘方：此题只要作出点A，B，C，D关于点O成中心对称的对应点，然后顺次连接即可.作图通法作已知图形关于某一点成中心对称的图形的方法：1.作图依据:对称中心是对应点所连线段的中点.2.作图步骤：(1)连接；(2)延长；(3)等长截取；(4)顺次连接对应点. 知5－练解：如图24.1－7，(1)连接AO并延长到A′，使OA′=OA，得到点A关于点O成中心对称的对应点A′.(2)按同样的方法分别画出点B，C，D关于点O成中心对称的对应点B′，C′，D′.(3)连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′.则四边形A′B′C′D′即为所求作的图形． 知识点中心对称图形知6－讲61.中心对称图形把一个图形绕某一个定点旋转180°，如果旋转后的图形能和原来图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点就是对称中心. 知6－讲2.中心对称图形的性质(1)中心对称图形上对应点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形所交的两点是对应点；中心对称图形上所有的点关于对称中心的对应点都在这个图形上.(2)过对称中心的任意一条直线把中心对称图形分成了全等的两部分. 知6－讲3.中心对称与中心对称图形的区别和联系中心对称中心对称图形区别(1)是针对两个图形而言的；(2)是指两个图形的位置关系；(3)对应点在两个图形上(1)是针对一个图形而言的；(2)是指具有某种性质的一个图形；(3)对应点在一个图形上联系若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称 知6－讲特别提醒判断中心对称图形的方法：1.中心对称图形的“三要素”：(1)对称中心；(2)旋转180°；(3)与本身重合.2.常见的中心对称图形有线段、平行四边形、矩形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆等. 知6－练如图24.1－8，▱ABCD是中心对称图形吗？如果是，找出它的对称中心，并说明理由.例6 知6－练解题秘方：紧扣中心对称图形的“三要素”进行说明.特别提醒确定中心对称图形的对称中心，只需连接两对对应点，所连线段的交点即是对称中心；说明它是对称中心，需说明这个点是各对对应点连线的中点. 知6－练解：▱ABCD是中心对称图形.如图24.1－8，连接AC，BD交于点O，则点O是它的对称中心.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，AB=DC.∴点A与点C关于点O对称，点B与点D关于点O对称. 知6－练∴将▱ABCD绕点O旋转180°后，点A与点C重合，点B与点D重合.从而AD与CB重合，AB与CD重合，即▱ABCD绕点O旋转180°后与自身重合.∴▱ABCD是中心对称图形，点O是它的对称中心. 知6－练如图24.1－9是一个中心对称图形，点A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=1，则BB′的长为()A.4B.C.D.例7 知6－练解题秘方：紧扣中心对称图形的对称中心平分对应点的连线解答.审题提醒“图形是中心对称图形”即已知AB=AB’，AC=AC’，B，A，B’和C，A，C’均三点共线，△ABC≌△AB’C’等. 知6－练解：∵∠C=90°，∠B=30°，∴AC=AB.又∵BC=1，∴易得AB=.∴BB′=2AB=.答案：D 知识点关于原点对称的点的坐标(拓展点)知7－讲71.关于原点对称的点的坐标两个点关于原点对称，它们的横、纵坐标分别互为相反数，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y). 2.图形绕原点旋转后点的坐标的变化情况知7－讲原图形上任一点的坐标以原点O为旋转中心按逆时针方向旋转后对应点的坐标旋转90°旋转180°旋转270°旋转360°(x，y)(－y，x)(－x，－y)(y，－x)(x，y) 知7－讲拓宽视野1.若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)关于点P(x，y)对称，则x=，y=.2.P(x，y)P′(y，x)关于直线y=x对称 知7－练△ABC在平面直角坐标系中的位置如图24.1－10所示，A，B，C三点在格点上.例8 知7－练解题秘方：紧扣“关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征”来解答.作图通法在坐标平面内作对称图形的方法：先按对应点的坐标的特征，求出原图形上关键点的对应点的坐标，再在平面直角坐标系中描出对应点，最后将这些对应点顺次连接即可. 知7－练解：△A1B1C1如图24.1－10所示，点C1的坐标是(－3，2).(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； 知7－练解：△A2B2C2如图24.1－10所示，点C2的坐标是(－3，－2).(2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标. 旋转三要素旋转旋转中心旋转角旋转方向性质对称旋转180°全等变换旋转对称图形中心对称图形