九年级数学（第24章 圆）24.3 圆周角（沪科版 学习、上课课件）

第24章圆24.3圆周角 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2圆周角及圆周角定理圆周角定理的推论圆的内接多边形 知识点圆周角及圆周角定理知1－讲11.圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角.(1)特征：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②两边都和圆相交. 知1－讲(2)示例：如图24.3-1①中的角是圆周角，②③④中的角都不是圆周角. 2.圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.示例：如图24.3-2，∠ACB=∠AOB.知1－讲 知1－讲特别提醒圆心角与圆周角的区别与联系：圆心角圆周角区别顶点在圆心顶点在圆上在同圆中，一条弧所对的圆心角唯一在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个联系两边都与圆相交 知1－练如图24.3-3，AB是⊙O的直径，弦BC=BD，若∠BOD=50°，求∠A的度数.例1 知1－练解题秘方：连接OC，将求BC所对的圆周角转化为求BC所对的圆心角来解.技巧提醒圆周角定理可以将圆心角与圆周角进行转化，因此求一个圆周角的度数时，我们可以求与之相等的另一个圆周角的度数，也可以求同弧所对的圆心角的度数.根据题目所给的条件选用其一进行求解即可.︵︵ 知1－练解：如图24.3-3，连接OC.∵BC=BD，∴∠BOC=∠BOD=50°.∴∠A=∠BOC=×50°=25° 知识点圆周角定理的推论知2－讲21.推论1在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.2.推论2半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 知2－讲3.“五量关系”定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 知2－讲特别提醒“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”，结论就不成立了.因为一条弦所对的圆周角有两种情况，即顶点在优弧上的圆周角和顶点在劣弧上的圆周角. 知2－练如图24.3-4，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．求证：△ABC是等边三角形.例2解题秘方：紧扣“同弧所对的圆周角相等”来判断. 知2－练知识链接等边三角形的判定方法：方法1：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；方法2：三边都相等的三角形是等边三角形；方法3：三个角都相等的三角形是等边三角形；方法4：有两个角是60°的三角形是等边三角形. 知2－练证明：∵A，P，B，C是圆上的四个点，∴∠ABC=∠APC，∠BAC=∠CPB.又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°.∴△ABC是等边三角形. 知2－练[中考·山西]如图24.3-5，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B=20°，则∠CAD的度数是()A.60°B.65°C.70°D.75°例3 知2－练解法提醒题中条件有直径，因此作辅助线，构造直径所对的圆周角(直角)是常用的作辅助线的方法.解题秘方：本题考查了圆周角定理的推论、三角形内角和定理．熟练掌握圆周角定理的推论是解此题的关键． 知2－练解：如图24.3-5，连接CD.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°．∵∠D和∠B是AC所对的圆周角，∴∠D=∠B=20°，∴∠CAD=180°－∠ACD－∠D=70°．答案：C︵ 知2－练如图24.3-6，已知经过原点的⊙P与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C是圆上一点，则∠ACB的度数是()A.80°B.90°C.100°D.无法确定例4 知2－练通用技巧圆中常见的作辅助线的方法：1.有直径，通常作直径所对的圆周角，从而得出两直线互相垂直.简记为：见直径作直角.2.有90°的圆周角，通常作直径.简记为：有直角作直径.解题秘方：利用“90°的圆周角所对的弦是直径”，结合“直径所对的圆周角是直角”求解. 知2－练解：如图24.3-6，连接AB.∵∠AOB=90°，∴AB是⊙P的直径.∴∠ACB=90°.答案：B 知识点圆的内接多边形知3－讲31.圆的内接多边形一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 知3－讲2.圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角. 知3－讲特别解读每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆. 知3－练[中考·宜昌]如图24.3-7，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C=110°，则∠OBD的度数是()A.15°B.20°C.25°D.30°例5 知3－练解题秘方：紧扣圆内接四边形的性质和圆周角定理解题．特别提醒1.求圆中的某一个圆周角时，根据“圆内接四边形的对角互补”，可以转化为求其所在的内接四边形的对角的度数.2.圆内接四边形的一组对角其实是圆中一条弦所对的两个圆周角，因此，在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补. 知3－练解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C=180°，∴∠A=180°－∠C=70°．由圆周角定理得∠BOD=2∠A=140°．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB==20°．答案：B 圆周角圆周角定义定理直径所对的圆周角圆内接四边形的性质