人教版七年级数学下册（第五章 相交线与平行线）5.1 相交线（学习、上课资料）

5.1相交线第5章相交线与平行线5.1.1相交线 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2邻补角对顶角 知识点邻补角知1－讲感悟新知11.相交线：只有一个公共点的两条直线是相交线，这个公共点叫交点.特别提醒：(1)相交指的是同一平面内两条直线的一种位置关系；(2)两条直线相交有且只有一个交点. 知1－讲感悟新知2.邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.特别解读●邻补角是成对出现的，单独一个角不能称为邻补角.●邻补角定义中既指明了位置关系，又指明了数量关系.“邻”指的是位置相邻，即两个角有一条公共边，“补”指的是两个角的数量关系是互补. 知1－讲感悟新知特别提醒：互为邻补角的“两要素”(1)有一条公共边；(2)它们的另一边互为反向延长线. 知1－讲感悟新知3.邻补角与补角的区别：(1)互为邻补角是互为补角的特殊情况.互为邻补角的两个角除具备两角互补这一数量关系外，还要具备两角相邻的位置关系.(2)一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有多个. 感悟新知知1－练如图5.1-1，直线AB，CD，EF相交于点O，请找出图中∠AOC，∠EOB的邻补角.例1解题秘方：根据邻补角定义的“两要素”找已知角的邻补角. 感悟新知知1－练解：∠AOC的邻补角是∠AOD和∠BOC；∠EOB的邻补角是∠BOF和∠AOE.两条直线相交，同一个角的邻补角有两个. 感悟新知知1－练1-1.下列选项中∠1与∠2互为邻补角的是()D 知识点对顶角知2－讲感悟新知21.定义：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.特别提醒：对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个. 知2－讲感悟新知2.性质：对顶角相等.特别提醒：(1)两个角互为对顶角，它们一定相等；(2)相等的两个角不一定是对顶角. 知2－讲感悟新知特别解读对顶角的位置关系和数量关系：●位置关系：有公共顶点，两边分别互为反向延长线.●数量关系：对顶角相等. 感悟新知知2－练如图5.1-2，直线AE与CD相交于点O，OC平分∠AOB.例2 感悟新知知2－练(1)请找出图中∠3的对顶角；解题秘方：根据对顶角的位置特征找对顶角；解：∠3的对顶角是∠2； 感悟新知知2－练(2)若∠3=25°，求∠1的度数.解题秘方：根据对顶角的数量关系求未知角的度数.解：由对顶角相等，得∠2=∠3=25°，因为OC平分∠AOB，所以∠1=∠2=25°. 感悟新知知2－练2-1.[中考·安顺]如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2=60°，那么∠3是()A.150°B.120°C.60°D.30°A 课堂小结相交线相交线邻补角定义性质对顶角定义性质 5.1相交线第5章相交线与平行线5.1.2垂线 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2垂线垂线的画法及性质垂线段及点到直线的距离 知识点相似图形知1－讲感悟新知11.定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.特别解读垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角. 知1－讲感悟新知2.推理格式：如图5.1-10，直线AB，CD相交于点O.因为∠AOC=90°(已知)，所以AB⊥CD(垂直的定义).反过来：因为AB⊥CD(已知)，所以∠AOC=90°(垂直的定义). 感悟新知知1－练如图5.1-11，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，且∠COE=40°，求∠BOD的度数.例1解题秘方：利用垂直的定义及对顶角的性质，将要求的角向已知角转化. 感悟新知知1－练解：因为OE⊥AB，所以∠AOE=90°.又因为∠AOE=∠AOC+∠COE，∠COE=40°，所以∠AOC=90°－40°=50°.所以∠BOD=∠AOC=50° 感悟新知知1－练1-1.[中考·河南]如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O，若∠1=54°，则∠2的度数为()A.26°B.36°C.44°D.54°B 感悟新知知1－练将一张长方形纸片按如图5.1-12所示方式折叠，EF，EG为折痕，判断EF与EG的位置关系.解题秘方：利用折叠的性质求出两线的夹角，根据夹角是90°判断两条直线的位置关系.例2 感悟新知知1－练解：因为三角形A′EF是由三角形AEF折叠得到的，四边形B′EGC′是由四边形BEGC折叠得到的，所以∠AEF=∠A′EF，∠BEG=∠B′EG.所以∠A′EF=∠AEA′，∠A′EG=∠A′EB.所以∠FEG=∠A′EF+∠A′EG=∠AEA′+∠A′EB=(∠AEA′+∠A′EB)=×180°=90°.所以EF⊥EG.邻补角的平分线互相垂直. 感悟新知知1－练2-1.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=45°，∠AOD=3∠DOE.请猜想OE与AB的位置关系，并说明理由. 感悟新知知1－练解：OE⊥AB.理由如下：因为∠AOC＝45°，所以∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－45°＝135°.因为∠AOD＝3∠DOE，所以3∠DOE＝135°，所以∠DOE＝45°，所以∠AOE＝∠AOD－∠DOE＝135°－45°＝90°，所以OE⊥AB. 知识点垂线的画法及性质知2－讲感悟新知21.垂线的画法：经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线，步骤如下： 知2－讲感悟新知步骤内容示图一落让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合过点P作直线l的垂线：点P在直线l外点P在直线l上二移沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点三画沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 知2－讲感悟新知2.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.特别提醒性质中的唯一性有两个关键条件不能少：一是“同一平面”；二是过一点，这一点可以在直线上也可以在直线外. 感悟新知知2－练在图5.1-13中，分别过点P作AB的垂线.例3 感悟新知知2－练解题秘方：利用三角尺根据画垂线的步骤进行操作.温馨提示：作线段的垂线时，垂足不一定在线段上.若不在线段上，则必须将线段用虚线延长. 知2－讲感悟新知解：如图5.1-14. 感悟新知知2－练3-1.如图，分别过点P作线段MN的垂线. 知2－讲感悟新知解：如图所示． 知识点垂线段及点到直线的距离知3－讲感悟新知31.垂线段：特别解读垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系：1.区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂直是两条直线之间的位置关系；垂线段是一条与已知直线垂直的线段.2.联系：垂线段所在的直线是已知直线的垂线；垂线段所在的直线与已知直线垂直. 知3－讲感悟新知(1)定义：过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，叫做这点到已知直线的垂线段.(2)性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短. 知3－讲感悟新知2.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.(1)垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度. 知3－讲感悟新知(2)点到直线的距离与两点间的距离的区别：两点间的距离点到直线的距离定义连接两点的线段的长度直线外一点到这条直线的垂线段的长度性质两点之间，线段最短垂线段最短 感悟新知知3－练(1)如图5.1-15，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm，则点A到直线BC的距离为______cm，点B到直线AC的距离为______cm，点C到直线AB的距离为______cm.例4432.4 感悟新知知3－练解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段.解：根据点到直线的距离的定义可知，点A到直线BC的距离是线段AC的长，点B到直线AC的距离是线段BC的长，点C到直线AB的距离是线段CD的长.因为三角形ABC的面积S=AC·BC=AB·CD，所以AC·BC=AB·CD，进而可得CD=2.4cm.面积法求直角三角形斜边上的高 感悟新知知3－练(2)点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上的三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线m的距离()A.等于4cmB.等于2cmC.小于2cmD.不大于2cmD 感悟新知知3－练解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段.解：点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度，而垂线段是该点与直线上各点的连线中最短的.从条件看，PC是三条线段中最短的，但不一定是所有连线中最短的，所以点P到直线m的距离应该是不大于2cm. 感悟新知知3－练4-1.如图，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N是位于公路AB两侧的两个学校，若汽车在公路上行驶时会对学校教学造成影响，试通过画图分别确定出汽车行驶时对两所学校影响最大的位置. 感悟新知知3－练解：如图，C点是汽车对M学校影响最大的位置，D点是汽车对N学校影响最大的位置． 课堂小结垂线垂线段垂线性质点到直线的距离垂线的性质 5.1相交线第5章相交线与平行线5.1.3同位角、内错角、同旁内角 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2同位角内错角同旁内角 知识点同位角知1－讲感悟新知11.定义：两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.特别解读●同位角是成对出现的，并且是由三条直线组成的，即一对边共线，另一对边不共线.●“同”表示“相同”，“位”表示“位置”.“同位角”可理解为“相同位置的两个角”，即如果一个角在左上方，那么另一个角也应在左上方. 知1－讲感悟新知特别提醒：(1)同位角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系；(2)在“三线八角”中，有4对同位角. 知1－讲感悟新知2.位置特征：角的名称位置特征基本图形图形的结构特征同位角在截线同侧，在两条被截直线同一方形如字母“F”(或倒置、反置、旋转) 感悟新知知1－练如图5.1-23，∠1和∠2不是同位角的是()例1B 感悟新知知1－练解：选项B中的∠1与∠2由四条线构成，分别为PA，PC，QB，QD，不满足“三线”的条件，故选项B中的∠1与∠2不是同位角；其他A，C，D三个选项中的∠1，∠2均满足同位角的条件.解题秘方：根据同位角的位置特征进行识别. 感悟新知知1－练1-1.如图，两条直线l1，l2被第三条直线l3所截，其中一对同位角是()A.∠1与∠4B.∠2与∠4C.∠3与∠4D.∠1与∠3A 知识点四条线段成比例知2－讲感悟新知21.定义：两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中，两个角都在两条直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角.特别解读“内”可理解为夹在两直线之间，“错”可理解为交错，即位于第三条直线的两侧.内错角的位置关系具有“ 知2－讲感悟新知特别提醒：(1)内错角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系；(2)在“三线八角”中，有2对内错角. 知2－讲感悟新知2.位置特征：角的名称位置特征基本图形图形的结构特征内错角在截线两侧，在两条被截直线之间形如字母“Z”(或倒置、反置、旋转) 感悟新知知2－练如图5.1-24，试找出图中与∠2是同位角、内错角的角.例2解题秘方：根据同位角及内错角的位置特征进行识别. 知2－讲感悟新知解：在AF和AG被DE所截的这个基本图形中，可以看出∠6和∠2处于“同一个位置”，因此∠2的同位角为∠6.根据内错角的特征可知∠2和∠8是内错角.故∠2的同位角为∠6，∠2的内错角为∠8. 感悟新知知2－练2-1.下列图形中，∠1和∠2不是内错角的是()C 知识点同旁内角知3－讲感悟新知31.定义：两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中，两个角都在两条直线之间，并且它们都在第三条直线的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.特别提醒●同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系；●在“三线八角”中，有2对同旁内角. 知3－讲感悟新知2.位置特征：角的名称位置特征基本图形图形的结构特征同旁内角在截线同侧，在两条被截直线之间形如字母“U”(或倒置、反置、旋转) 感悟新知知3－练如图5.1-25，∠B与图中哪些角是同旁内角？分别指出它们是哪两条直线被哪条直线所截形成的同旁内角？例3解题秘方：先画出∠B的两边，然后按照同旁内角的位置关系找出另一条直线，再确定另一个角. 感悟新知知3－练解：∠B与∠EAB是直线DE，BC被直线AB所截形成的同旁内角；∠B与∠CAB是直线AC，BC被直线AB所截形成的同旁内角；∠B与∠ACB是直线AB，AC被直线BC所截形成的同旁内角. 感悟新知知3－练3-1.下列图形中，∠1与∠2是同旁内角的是()A 课堂小结同位角、内错角、同旁内角同位角三线八角内错角同旁内角两直线内部第三条直线同侧