人教版八年级数学上册（第十二章 全等三角形）12.3 角的平分线的性质（学习、上课资料）

12.3角的平分线的性质第十二章全等三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2作已知角的平分线角的平分线的性质证明几何命题的一般步骤角的平分线的判定三角形的角平分线的性质(拓展点) 知识点作已知角的平分线知1－讲11.角的平分线的作法(1)折叠法：将已知角折叠，使角的两边重合，折痕就是角的平分线所在的直线.(2)度量法：用量角器度量已知角的度数，并除以2，再用量角器画出这个角的平分线.(3)尺规作图法：保留作图痕迹，并指出结论. 知1－讲2.尺规作图步骤与图示已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.(2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.(3)画射线OC.射线OC即为所求(如图12.3-1). 知1－讲特别解读1.“大于MN的长为半径画弧”是因为若以小于MN的长为半径，则画出的两弧不能相交；2.“画射线OC”不能叙述为“连接OC”，因为角平分线是射线而不是线段. 知1－练例1如图12.3-2，已知：∠AOB，求作：∠AOM＝∠AOB.解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线即可. 知1－练解：作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点E，交OB于点F；(2)分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；(3)画射线OC；(4)同理，作∠AOC的平分线OM.∠AOM即为所求作的角(如图12.3-2). 知1－练1-1.如图是利用尺规作∠AOB的平分线OC.在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是()A.SSSB.SASC.ASAD.AASA 知2－讲知识点角的平分线的性质21.性质定理角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角的平分线的性质的两个必要条件：(1)点在角平分线上；(2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度.两者缺一不可. 知2－讲2.几何语言如图12.3-3，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PD＝PE.只要符合基本模型，直接得出结论不需要证全等. 知2－讲特别提醒●角的平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线)得到一个结论(线段相等).●利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”. 知2－练如图12.3-4，OD平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA＝OB，P为OD上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM＝PN.例2解题秘方：在图中找出符合角的平分线的性质的模型，利用角的平分线的性质证线段相等. 知2－练证明：∵OD平分∠EOF，∴∠BOD＝∠AOD.在△BOD和△AOD中，∴△BOD≌△AOD(SAS).∴∠BDO＝∠ADO，即DO平分∠BDA.又∵P为DO上一点，且PM⊥BD，PN⊥AD，∴PM＝PN. 知2－练2-1.[中考·台州]如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OA的距离是()A.1B.2C.D.4B 知2－练2-2.如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：BE＝CF. 知2－练如图12.3-5，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若AB＝8cm，求△DEB的周长.解题秘方：运用角的平分线的性质及全等三角形的性质，将△DEB的周长转化为线段AB的长.例3 知2－练解：在△ABC中，∠C＝90°，∴DC⊥AC.又∵DE⊥AB，AD平分∠CAB，∴DC＝DE.在Rt△ACD和Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC＝AE.∵AC＝BC，∴AE＝BC.∴△DEB的周长＝DE＋DB＋EB＝DC＋DB＋EB＝BC＋EB＝AE＋EB＝AB＝8cm. 知2－练3-1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列结论：①CD＝ED；②AC＋BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④DA平分∠CDE.其中正确的结论的个数是()A.1B.2C.3D.4D 知2－练如图12.3-6，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，求DE的长.例4解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和求解. 知2－练解：过点D作DF⊥BC，垂足为F，如图12.3-6.∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF.又∵S△ABC＝S△ABD＋S△BDC＝×18×DE＋×12×DF＝90(cm2)，∴DE＝6cm，即DE的长为6cm. 知2－练4-1.[中考·湖州]如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是()A.24B.30C.36D.42B 知3－讲知识点证明几何命题的一般步骤31.证明一个几何命题的一般步骤(1)明确命题中的已知和求证；(2)根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 知3－讲2.推理证明中常见的分析方法(1)综合法：从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，逐步推出要证的结论.(2)分析法：从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，寻找使结论成立所需的条件，这样一步步逆推，一直追溯到结论成立的条件与已知条件吻合. 知3－讲(3)“两头凑”的方法：分别从已知条件和结论入手，当从已知条件推导出的结论与从结论倒推出所需的条件相吻合时，问题可得证. 知3－讲特别提醒●证明一个命题的步骤不是固定不变的，要根据题目的情况而定，但是总体必须是完整的，并且证明的过程必须“步步有据”.●证明几何命题所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图时，要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明. 知3－练求证：两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等.例5解题秘方：紧扣证明几何命题的一般步骤进行解答. 知3－练解：已知：如图12.3-7，在△ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分别为∠BAC，∠B′A′C′的平分线，且∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，AD＝A′D′.求证：△ABC≌△A′B′C′. 知3－练证明：∵AD，A′D′分别平分∠BAC，∠B′A′C′，∴∠1＝∠BAC，∠2＝∠B′A′C′.∵∠BAC＝∠B′A′C′，∴∠1＝∠2.在△ABD和△A′B′D′中，∴△ABD≌△A′B′D′(AAS).∴AB＝A′B′.在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(ASA). 知3－练5-1.“全等三角形对应边上的中线相等”这个命题的已知是________________，结论是___________________.两个三角形全等对应边上的中线相等 知3－练5-2.求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半. 知3－练 知3－练 知4－讲知识点角的平分线的判定41.判定定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 知4－讲特别提醒1.使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.2.角的平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线).3.角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷. 知4－讲2.几何语言如图12.3-8，∵点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上. 知4－讲3.角的平分线的判定定理与性质定理的关系(1)如图12.3-8，都与距离有关，即条件PD⊥OA，PE⊥OB都具备；(2)点在角的平分线上(角的内部的)点到角两边的距离相等.性质判定 知4－练如图12.3-9，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D.求证：AD平分∠BAC.例6 知4－练解题秘方：利用角的平分线的判定定理证明角平分线时，紧扣点在角的内部且点到角两边的距离相等进行证明. 知4－练证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS).∴DE＝DF.又∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴AD平分∠BAC. 知4－练6-1.[中考·株洲]如图，点O在一块直角三角尺ABC上(其中∠ABC＝30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝_______°．15 知4－练6-2.如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，且BO＝CO.求证：AO平分∠BAC. 知4－练 知4－练如图12.3-10，∠MAC和∠NCA是△ABC的外角，∠ABC的平分线BD与∠MAC的平分线AD交于点D.求证：CD平分∠ACN.例7 知4－练解题秘方：紧扣“到CA，CN的距离相等的点在∠ACN的平分线上”进行证明. 知4－练证明：如图12.3-10，过点D作DE⊥BM于点E，DF⊥BN于点F，DG⊥AC于点G.∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF.∵AD平分∠MAC，∴DE＝DG.∴DG＝DF，∴CD平分∠ACN.由此例的结论可知，三角形的一条内角平分线与两条外角平分线相交于一点. 知4－练7-1.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC的平分线BE交于点E.若∠BAC＝70°，则∠CAE＝_______°.55 知5－讲知识点三角形的角平分线的性质(拓展点)51.性质定理三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.这一点叫三角形的内心. 知5－讲2.几何语言如图12.3-11，在△ABC中，AD，BM，CN分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线，AD，BM，CN交于一点O，且点O到三边BC，AB，AC的距离(OE，OG，OF的长)相等，即OE＝OG＝OF. 知5－讲特别解读三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等.反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点. 知5－练如图12.3-12，在△ABC中，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，AB＋BC＋AC＝20.过O作OD⊥BC于点D.且OD＝3,求△ABC的面积.例8解题秘方：紧扣三角形内角平分线的性质，关键是内心到三边的距离相等. 知5－练解：如图12.3-12，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，连接OA.∵点O是∠ABC的平分线与∠ACB的平分线的交点，∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD＝3.∴S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝×3×(AB＋BC＋AC)＝×3×20＝30. 知5－练8-1.如图，有一块三角形的空地ABC.其三边长AB，AC，BC分别为30m，40m，50m.现要把它分成面积比为3∶4∶5的三部分种植三种不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由. 知5－练解：方案如图．分别作∠ABC和∠ACB的平分线，两线交于点P，连接AP，则△ABP，△ACP，△BCP即为所求的三块地．理由：∵P为△ABC的三个内角平分线的交点，∴点P到AB，AC，BC的距离均相等．∴△ABP，△ACP，△BCP的面积比即为它们的底边AB，AC，BC的长度的比，即3∶4∶5. 角的平分线的性质角的平分线性质尺规全等作已知角的平分线判定几何命题的证明