人教版八年级数学上册（第十四章 整式的乘法与因式分解）14.2 乘法公式（学习、上课资料）

14.2乘法公式第十四章整式的乘法与因式分解 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2平方差公式完全平方公式添括号 知识点平方差公式知1－讲11.平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即：用字母表示为(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 知1－讲2.平方差公式的几种常见变化及应用变化形式应用举例(1)位置变化(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2(2)符号变化(－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b)2－a2＝b2－a2(3)系数变化(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2(4)指数变化(a3＋b2)(a3－b2)＝(a3)2－(b2)2＝a6－b4(5)增项变化(a－b＋c)(a－b－c)＝(a－b)2－c2(6)连用公式(a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4 知1－讲特别解读公式的特征：1.等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.2.等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.3.理解字母a，b的意义，平方差公式中的a，b既可代表一个单项式，也可代表一个多项式. 知1－练例1计算：(1)(5m－3n)(5m＋3n)；(2)(－2a2＋5b)(－2a2－5b)；(3)；(4)(－3y－4x)(3y－4x).解题秘方：先确定公式中的“a”和“b”，然后根据平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2进行计算. 知1－练解：(5m－3n)(5m＋3n)＝(5m)2－(3n)2＝25m2－9n2；(1)(5m－3n)(5m＋3n)；(2)(－2a2＋5b)(－2a2－5b)；(－2a2＋5b)(－2a2－5b)＝(－2a2)2－(5b)2＝4a4－25b2； (3)；(4)(－3y－4x)(3y－4x).知1－练解：＝＝y2－＝y2－x2；(－3y－4x)(3y－4x)＝(－4x－3y)(－4x＋3y)＝(－4x)2－(3y)2＝16x2－9y2. 知1－练1-1.若(2－x)(2＋x)(4＋x2)＝16－xn，则n的值等于()A.6B.4C.3D.2B 知1－练1-2.若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则()A.m＝2，n＝3B.m＝－2，n＝－3C.m＝2，n＝－3D.m＝－2，n＝3B 知1－练1-3.计算：(1)(2a－3b)(2a＋3b)；(2)(－2a－1)(－1＋2a)；解：原式＝(2a)2－(3b)2＝4a2－9b2；原式＝(－1－2a)(－1＋2a)＝(－1)2－(2a)2＝1－4a2； 知1－练(3)；(4)(1＋a)(1－a)＋a(a－2).原式＝1－a2＋a2－2a＝1－2a. 知1－练计算：(1)10.3×9.7；(2)2022×2024－20232.解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式进行计算.例2 (1)10.3×9.7；(2)2022×2024－20232.知1－练解：10.3×9.7＝(10＋0.3)×(10－0.3)＝102－0.32＝100－0.09＝99.91；10.3与9.7的平均数为10.2022×2024－20232＝(2023－1)×(2023＋1)－20232＝20232－12－20232＝－1.2022与2024的平均数为2023. 知1－练2-1.运用平方差公式进行简便计算：(1)9.8×10.2；(2)1007×993；解：原式＝(10－0.2)×(10＋0.2)＝102－0.22＝100－0.04＝99.96；原式＝(1000＋7)×(1000－7)＝10002－72＝1000000－49＝999951； 知1－练(3)129×127－1282.解：原式＝(128＋1)×(128－1)－1282＝1282－12－1282＝－1. 知2－讲知识点完全平方公式21.完全平方公式两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.即：用字母表示为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 知2－讲2.完全平方公式的几种常见变形公式(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；(3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；(5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab； 知2－讲(6)ab＝［(a＋b)2－(a2＋b2)］＝［(a＋b)2－(a－b)2］；(7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；(8)a2＋b2＋c2＋ab＋ac＋bc＝［(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2］ 知2－讲特别解读1.弄清公式的特征：公式的左边是一个二项式的完全平方，公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方和，另一项是这两项的乘积的2倍.2.理解字母a，b的意义：公式中的字母a，b可以表示具体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式.3.口诀记忆：头平方和尾平方，头(乘)尾两倍在中央，中间符号照原样. 知2－练计算：(1)(x＋7y)2；(2)(－4a＋5b)2；(3)(－2m－n)2；(4)(2x＋3y)(－2x－3y).解题秘方：确定公式中的“a”和“b”，利用完全平方公式进行计算.例3 (1)(x＋7y)2；(2)(－4a＋5b)2；知2－练解：(x＋7y)2＝x2＋2·x·(7y)＋(7y)2＝x2＋14xy＋49y2；括号不能漏掉.(－4a＋5b)2＝(5b－4a)2＝(5b)2－2·(5b)·(4a)＋(4a)2＝25b2－40ab＋16a2；不能漏掉“2ab”项且符号与完全平方中的符号一致. (3)(－2m－n)2；(4)(2x＋3y)(－2x－3y).知2－练解：(－2m－n)2＝(2m＋n)2＝(2m)2＋2·(2m)·n＋n2＝4m2＋4mn＋n2；(2x＋3y)(－2x－3y)＝－(2x＋3y)2＝－［(2x)2＋2·(2x)·(3y)＋(3y)2］＝－(4x2＋12xy＋9y2)＝－4x2－12xy－9y2.两个二项式相乘，若有一项相同，另一项相反，则用平方差公式计算；若两项都相同或都相反，则用完全平方公式计算. 知2－练3-1.[中考·兰州]计算：(x＋2y)2＝()A.x2＋4xy＋4y2B.x2＋2xy＋4y2C.x2＋4xy＋2y2D.x2＋4y2A 知2－练3-2.计算：(1)(2y－1)2；(2)(3a＋2b)2；(3)(－x＋2y)2；(4)(－2xy－1)2.解：原式＝4y2－4y＋1；原式＝9a2＋12ab＋4b2；原式＝x2－4xy＋4y2；原式＝4x2y2＋4xy＋1. 知2－练计算：(1)9992；(2).解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展开计算即可.例4 (1)9992；(2).知2－练解：9992＝(1000－1)2＝10002－2×1000×1＋12＝1000000－2000＋1＝998001；＝＝302＋2×30×＋＝900＋20＋＝920. 知2－练4-1.运用完全平方公式进行简便计算：(1)1022；(2)99.82；(3).解：原式＝(100＋2)2＝10000＋400＋4＝10404；原式＝(100－0.2)2＝10000－40＋0.04＝9960.04； 知3－讲知识点添括号31.添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.即：用字母表示为a＋b＋c＝a＋(b＋c)＝a－(－b－c)；a－b－c＝a－(b＋c)＝a＋(－b－c). 知3－讲2.添括号法则的应用添括号在利用乘法公式的计算中应用广泛，先利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，再运用乘法公式计算. 知3－讲特别解读1.添括号只是一个变形，不改变式子的值.2.添括号是否正确，可利用去括号检验. 知3－练计算：(1)(2x－y＋4)(2x＋y－4)；(2)(m－2n＋1)(－2n－1＋m)；(3)(2a＋3b－1)(1－2a－3b)；(4)(3a－b＋c)2.例5解题秘方：先通过添括号把式子转化为符合平方差公式或完全平方公式的形式，再利用乘法公式进行计算. (1)(2x－y＋4)(2x＋y－4)；(2)(m－2n＋1)(－2n－1＋m)；知3－练解：(2x－y＋4)(2x＋y－4)＝[2x－(y－4)][2x＋(y－4)]＝(2x)2－(y－4)2＝4x2－y2＋8y－16；在(－y＋4)前面添加“－”(m－2n＋1)(－2n－1＋m)＝[(m－2n)＋1][(m－2n)－1]＝(m－2n)2－12＝m2－4mn＋4n2－1；应用加法的交换律和结合律 (3)(2a＋3b－1)(1－2a－3b)；知3－练解：(2a＋3b－1)(1－2a－3b)＝(2a＋3b－1)[－(2a＋3b－1)]＝－[(2a＋3b)－1]2＝－[(2a＋3b)2－2(2a＋3b)＋12]＝－(4a2＋12ab＋9b2－4a－6b＋1)＝－4a2－12ab－9b2＋4a＋6b－1＝－4a2－9b2－12ab＋4a＋6b－1； (4)(3a－b＋c)2.知3－练解：(3a－b＋c)2＝[(3a－b)＋c]2＝9a2－6ab＋b2＋6ac－2bc＋c2＝9a2＋b2＋c2－6ab＋6ac－2bc. 知3－练5-1.3ab－4bc＋1＝3ab－()，()中所填入的整式应是()A.－4bc＋1B.4bc＋1C.4bc－1D.－4bc－1C 知3－练5-2.为了应用平方差公式计算(x＋3y－1)(x－3y＋1)，下列变形正确的是()A.[x－(3y＋1)]2B.[x＋(3y＋1)]2C.[x＋(3y－1)][x－(3y－1)]D.[(x－3y)＋1][(x－3y)－1]C 知3－练5-3.运用乘法公式计算：(1)(a＋b－c)2；(2)(2a＋3b－1)(2a＋3b＋1).解：原式＝[(a＋b)－c]2＝(a＋b)2－2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2－2ac－2bc＋c2；原式＝[(2a＋3b)－1][(2a＋3b)＋1]＝(2a＋3b)2－12＝4a2＋12ab＋9b2－1. 乘法公式乘法公式添括号平方差公式完全平方公式